Общие интегралы в квантовой теории поля все варианты и обобщения Гауссовские интегралы в комплексную плоскость и в несколько измерений.[1] Другие интегралы могут быть аппроксимированы вариантами гауссова интеграла. Также рассматриваются интегралы Фурье.
Вариации простого гауссовского интеграла
Гауссов интеграл
Первый интеграл, широко применяемый за пределами квантовой теории поля, - это интеграл Гаусса.
![G эквивалент int _ {- infty} ^ {infty} e ^ {- {1 больше 2} x ^ 2}, dx](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f135cd95d0ce0ff3d79044b1c7e9e42b9cd4f675)
В физике обычно используется множитель 1/2 в аргументе экспоненты.
Примечание:
![G ^ 2 = left (int _ {- infty} ^ {infty} e ^ {- {1 over 2} x ^ 2}, dx ight) cdot left (int _ {- infty} ^ {infty} e ^ {- {1 более 2} y ^ 2}, dy ight) = 2pi int_ {0} ^ {infty} re ^ {- {1 более 2} r ^ 2}, dr = 2pi int_ {0} ^ {infty} e ^ {- w}, dw = 2 пи.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22b368db478f92ed15e254140a5658fe37eba7cb)
Таким образом, получаем
![int _ {- infty} ^ {infty} e ^ {- {1 больше 2} x ^ 2}, dx = sqrt {2pi}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27d390913d1cdeb770b84037e53e040b3327ba2b)
Небольшое обобщение гауссова интеграла
![int _ {- infty} ^ {infty} e ^ {- {1 больше 2} a x ^ 2}, dx = sqrt {2pi over a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4daf7bb1011965e617b21d1755ed9e08a6fb5290)
где мы масштабировались
.
Интегралы от показателей и четных степеней Икс
![int _ {- infty} ^ {infty} x ^ 2 e ^ {- {1 больше 2} ax ^ 2}, dx = -2 {dover da} int _ {- infty} ^ {infty} e ^ {- {1 over 2} ax ^ 2}, dx = -2 {dover da} left ({2pi over a} ight) ^ {1over 2} = left ({2pi over a} ight) ^ {1over 2} {1over a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cffb5eb6b56cd7b933295ff7d8ba5a95d9173acb)
и
![int _ {- infty} ^ {infty} x ^ 4 e ^ {- {1 больше 2} ax ^ 2}, dx = left (-2 {dover da} ight) left (-2 {dover da} ight) int_ { -infty} ^ {infty} e ^ {- {1 больше 2} ax ^ 2}, dx = left (-2 {dover da} ight) left (-2 {dover da} ight) left ({2pi over a} ight) ^ {1over 2} = left ({2pi over a} ight) ^ {1over 2} {3over a ^ 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7361e6d15a29d68bfd5a4fc2e02e28539b5eecc5)
В целом
![int _ {- infty} ^ {infty} x ^ {2n} e ^ {- {1 над 2} ax ^ 2}, dx = left ({2pi over a} ight) ^ {1over {2}} {1over a ^ {n}} влево (2n -1 полёт) влево (2n-3 полёта) cdots 5 cdot 3 cdot 1 = влево ({2pi over a} полёт) ^ {1over {2}} {1over a ^ {n}} влево (2н -1 полет) !!](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b893f2465c169d1b8a0268c4f228c6c73f1bf0a)
Обратите внимание, что интегралы от показателей и нечетных степеней x равны 0 из-за странный симметрия.
Интегралы с линейным членом в аргументе показателя степени
![int _ {- infty} ^ {infty} expleft (- {1 больше 2} a x ^ 2 + Jxight) dx](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dc96a95febef0cf61c5ef4bf8e6cc0ccd825e22)
Этот интеграл можно выполнить, заполнив квадрат:
![left (- {1 над 2} ax ^ 2 + Jxight) = - {1 над 2} слева (x ^ 2 - {2 Jx над a} + {J ^ 2 над a ^ 2} - {J ^ 2 над a ^ 2} ight) = - {1 над 2} a left (x - {J over a} ight) ^ 2 + {J ^ 2 over 2a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7a75951fae0b9ad09767d41746da7a86f7e7be7)
Следовательно:
![{displaystyle {egin {align} int _ {- infty} ^ {infty} exp left (- {1 over 2} ax ^ {2} + Jxight), dx & = exp left ({J ^ {2} over 2a} ight ) int _ {- infty} ^ {infty} exp left [- {1 над 2} слева (x- {J над a} ight) ^ {2} ight], dx [8pt] & = exp left ({J ^ {2} над 2a} ight) int _ {- infty} ^ {infty} exp left (- {1 over 2} aw ^ {2} ight), dw [8pt] & = left ({2pi over a} ight) ^ {1 больше 2} exp влево ({J ^ {2} больше 2a} ight) end {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70339555c7cfe2e9f4a72d4ce69f1ef4453b3618)
Интегралы с мнимым линейным членом в аргументе экспоненты
Интегральный
![int _ {- infty} ^ {infty} expleft (- {1 над 2} ax ^ 2 + iJxight) dx = left ({2pi over a} ight) ^ {1over 2} expleft (- {J ^ 2 over 2a} ight )](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acbcdef69196c0c78cf62aa364bdfa4776f0bd52)
пропорционально преобразование Фурье гауссиана, где J это сопряженная переменная из Икс.
Снова завершая квадрат, мы видим, что преобразование Фурье гауссиана также является гауссовым, но в сопряженной переменной. Чем больше а есть, чем уже гауссиан в Икс и чем шире гауссиан в J. Это демонстрация принцип неопределенности.
Этот интеграл также известен как Преобразование Хаббарда-Стратоновича используется в теории поля.
Интегралы с комплексным аргументом показателя степени
Интересующий интеграл (пример приложения см. Связь между уравнением Шредингера и формулировкой интеграла по путям квантовой механики )
![int _ {- infty} ^ {infty} expleft ({1 больше 2} i a x ^ 2 + iJxight) dx.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0badf7c81db18982c1bffb10446491907e3efd0)
Предположим теперь, что а и J может быть сложным.
Завершение квадрата
![left ({1 over 2} iax ^ 2 + iJxight) = {1 over 2} ia left (x ^ 2 + {2Jx over a} + left ({J over a} право) ^ 2 - left ({J over a} ight) ^ 2 ight) = - {1over 2} {a over i} left (x + {Jover a} ight) ^ 2 - {iJ ^ 2 over 2a}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc3a48c9a4c2eacb1ebfdf0bbc43736cb52e1600)
По аналогии с предыдущими интегралами
![int _ {- infty} ^ {infty} expleft ({1 над 2} iax ^ 2 + iJxight) dx = left ({2pi i over a} ight) ^ {1over 2} expleft ({-iJ ^ 2 over 2a} ight ).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8886fa231f1cb5e3af0dc6090c0bdb369accf03)
Этот результат действителен как интегрирование в комплексной плоскости, пока а отлична от нуля и имеет полуположительную мнимую часть. Видеть Интеграл Френеля.
Гауссовские интегралы в высших измерениях
Одномерные интегралы можно обобщить на несколько измерений.[2]
![int expleft (- frac 1 2 x cdot A cdot x + J cdot x ight) d ^ nx = sqrt {frac {(2pi) ^ n} {det A}} exp left ({1over 2} J cdot A ^ {- 1} cdot J ight)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d35d6d20d2b4a31ce7ac66a61a124454dd4621b)
Здесь А действительно положительно определенный симметричная матрица.
Этот интеграл выполняется диагонализация из А с ортогональное преобразование
![D = O ^ {- 1} A O = O ^ T A O](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6075185688346bb5f167fa98c0bb35944a5fc155)
куда D это диагональная матрица и О является ортогональная матрица. Это разделяет переменные и позволяет выполнять интегрирование как п одномерные интеграции.
Лучше всего это проиллюстрировать на двумерном примере.
Пример: простое гауссовское интегрирование в двух измерениях
Гауссовский интеграл в двух измерениях равен
![int expleft (- frac 1 2 A_ {ij} x ^ i x ^ j ight) d ^ 2x = sqrt {frac {(2pi) ^ 2} {det A}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcc453fb2bb84bbddf3ae1358f826be1c47413a2)
куда А - двумерная симметричная матрица с компонентами, указанными как
![A = начало {bmatrix} a & c c & bend {bmatrix}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daf5abf64da168e1709674c8fc64f253f2e0ab7c)
и мы использовали Соглашение о суммировании Эйнштейна.
Диагонализировать матрицу
Первый шаг - это диагонализировать матрица.[3] Обратите внимание, что
![A_ {ij} x ^ ix ^ j эквив x ^ TAx = x ^ T влево (OO ^ Tight) A влево (OO ^ Tight) x = left (x ^ TO ight) влево (O ^ TAO вправо) влево (O ^ Tx ight)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31495bdac1b2fe068cd9b0fc0011f6e994a84245)
где, поскольку А настоящий симметричная матрица, мы можем выбрать О быть ортогональный, а значит, и унитарная матрица. О можно получить из собственные векторы из А. Мы выбрали О такой, что: D ≡ ОТАО диагональный.
Собственные значения А
Чтобы найти собственные векторы А сначала находят собственные значения λ из А данный
![egin {bmatrix} a & c c & bend {bmatrix} egin {bmatrix} u v end {bmatrix} = lambda egin {bmatrix} u vend {bmatrix}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff1150cd767d91497c89ff482c493236ca84c211)
Собственные значения являются решениями характеристический многочлен
![(a - лямбда) (b-лямбда) -c ^ 2 = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9864396de5902b8f5195160b40c45d5eafa02b0)
![{displaystyle lambda ^ {2} -lambda (a + b) + ab-c ^ {2} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d9bd404f9700e0a4951a9964c621b3e2dbf2e3f)
которые находятся с помощью квадратное уровненеие:
![{displaystyle lambda _ {pm} = {1 over 2} (a + b) pm {1 over 2} {sqrt {(a + b) ^ {2} -4 (ab-c ^ {2})}}. }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5501dd2be379f96de3cf79f52a3a665af4901a09)
![{displaystyle lambda _ {pm} = {1 больше 2} (a + b) pm {1 over 2} {sqrt {a ^ {2} + 2ab + b ^ {2} -4ab + 4c ^ {2}}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff42b8d542577b1c29991a88747542e6e0aae4b7)
![lambda_ {pm} = {1over 2} (a + b) pm {1over 2} sqrt {(a-b) ^ 2 + 4c ^ 2}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/223cdff68df0d00404107c0a0299061faf12d152)
Собственные векторы А
Подстановка собственных значений обратно в уравнение собственного вектора дает
![v = - {left (a - lambda_ {pm} ight) u над c}, qquad v = - {cu over left (b - lambda_ {pm} ight)}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5ebdb07cd3bcae3349507830f61811a669cde4c)
Из характеристического уравнения мы знаем
![{a - lambda_ {pm} over c} = {c over b - lambda_ {pm}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47dec903d70b22863ad90ebc1ab9734cf0c41234)
Также обратите внимание
![{a - lambda_ {pm} over c} = - {b - lambda_ {mp} over c}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0c0d0dc39f1a83d716847933b39868ab00ccb54)
Собственные векторы можно записать как:
![egin {bmatrix} frac {1} {eta} -frac {a - lambda _-} {ceta} end {bmatrix}, qquad egin {bmatrix} -frac {b - lambda _ +} {ceta} frac {1} { eta} конец {bmatrix}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09360c6a6ed3d018e5e7f2cc7e0eb03591f39123)
для двух собственных векторов. Здесь η нормализующий коэффициент, определяемый
![eta = sqrt {1 + left (frac {a - lambda _ {-}} {c} ight) ^ 2} = sqrt {1 + left (frac {b - lambda _ {+}} {c} ight) ^ 2}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c69dfc0ef9468596ab4a777c04aee92cd089ccda)
Легко проверить, что два собственных вектора ортогональны друг другу.
Построение ортогональной матрицы
Ортогональная матрица создается путем назначения нормированных собственных векторов в качестве столбцов в ортогональной матрице
![O = egin {bmatrix} frac {1} {eta} & -frac {b - lambda _ {+}} {c eta} -frac {a - lambda _ {-}} {c eta} и frac {1} {eta} конец {bmatrix}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6ad20481b5c9a83e48faf598eeabdfcb174eeb5)
Обратите внимание, что det (О) = 1.
Если мы определим
![sin (heta) = -frac {a - lambda _ {-}} {c eta}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81011f0ba48b2334432f6e2877f9bdbc7fec44a2)
тогда ортогональная матрица может быть записана
![O = egin {bmatrix} cos (heta) & -sin (heta) sin (heta) & cos (heta) end {bmatrix}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79ba6d5fbb615c9088a6c18b6c91a212bd0882bf)
который представляет собой просто поворот собственных векторов с обратным:
![O ^ {- 1} = O ^ T = egin {bmatrix} cos (heta) & sin (heta) -sin (heta) & cos (heta) end {bmatrix}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/501c45560909d462ae4d9cd3775562116864d39a)
Диагональная матрица
Диагональная матрица становится