Связь между разделами физики
В этой статье рассказывается о Уравнение Шредингера с формулировка интеграла по путям квантовой механики используя простой нерелятивистский одномерный одночастичный Гамильтониан состоит из кинетической и потенциальной энергии.
Фон
Уравнение Шредингера
Уравнение Шредингера в обозначение бюстгальтера, является
![я hbar frac {d} {dt} | psi rangle = hat H | psi rangle](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa7b066bb5e1744251989858be7109e2b62d1c19)
куда
это Гамильтонов оператор.
Оператор Гамильтона можно записать
![hat H = frac { hat {p} ^ 2} {2m} + V ( hat q)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/452efc67debded77bb07dfb91d40faeb37f8c551)
куда
это потенциальная энергия, m - масса, и мы для простоты предположили, что существует только одно пространственное измерение q.
Формальное решение уравнения:
![| psi (t) rangle = exp left (- frac {i} { hbar} hat H t right) | q_0 rangle Equiv exp left (- frac {i} { hbar} hat H t right) | 0 rangle](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b6c6433b186553fd673e729de1485cfd5a17ec4)
где мы предположили, что начальное состояние является пространственным состоянием свободных частиц
.
В амплитуда вероятности перехода для перехода из начального состояния
к конечному пространственному состоянию свободных частиц
вовремя Т является
![{ displaystyle langle F | psi (T) rangle = left langle F { bigg |} exp left (- { frac {i} { hbar}} { hat {H}} T right) { bigg |} 0 right rangle.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/238036f993aa648ee57d652f3b5982bc416ab92f)
Формулировка интеграла по путям
Формулировка интеграла по путям гласит, что амплитуда перехода - это просто интеграл от величины
![exp left ( frac {i} { hbar} S right)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91b5a80b0c8cadeb24a72b1b1c38a5b52b4c1bab)
по всем возможным путям от начального состояния до конечного состояния. Здесь S - классический действие.
Переформулировка этой переходной амплитуды, первоначально сделанная Дираком[1] и концептуализирован Фейнманом,[2] составляет основу формулировки интеграла по путям.[3]
От уравнения Шредингера к формулировке интеграла по путям
Следующий вывод[4] использует Формула продукта Trotter, который утверждает, что для самосопряженных операторов А и B (удовлетворяющих определенным техническим условиям) имеем
,
даже если А и B не ездить на работу.
Мы можем разделить временной интервал [0, Т] в N отрезки длины
![delta t = frac {T} {N}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdca1fd20535705b8c50089660bf53539b708c20)
Тогда амплитуду перехода можно записать
![left langle F bigg | exp left (- frac {i} { hbar} hat H T right) bigg | 0 right rangle = left langle F bigg | exp left (- frac {i} { hbar} hat H delta t right) exp left (- frac {i} { hbar} hat H delta t right) cdots exp left (- frac {i} { hbar} hat H delta t right) bigg | 0 право рангл.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c913d58c9b41db4309fce5db64f033ff07d26fd5)
Хотя операторы кинетической энергии и потенциальной энергии не коммутируют, формула произведения Троттера, процитированная выше, гласит, что для каждого небольшого интервала времени мы можем игнорировать эту некоммутативность и писать
![{ displaystyle exp left (- { frac {i} { hbar}} { hat {H}} delta t right) приблизительно exp left ({- {i over hbar} { { hat {p}} ^ {2} over 2m} delta t} right) exp left ({- {i over hbar} V left (q_ {j} right) delta t }верно).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9a3e938c0da17f04851c1c03002b583725cab3e)
Для упрощения обозначений мы пока откладываем эту замену.
Мы можем вставить единичную матрицу
![I = int dq | q rangle langle q |](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2127b63c5a99709e90a8f630b7a45f6cf595951)
N − 1 раз между экспонентами, чтобы получить
![left langle F bigg | exp left (- frac {i} { hbar} hat H T right) bigg | 0 right rangle = left ( prod_ {j = 1} ^ {N-1} int dq_j right)
left langle F bigg | exp left (- frac {i} { hbar} hat H delta t right) bigg | q_ {N-1} right rangle
left langle q_ {N-1} bigg | exp left (- frac {i} { hbar} hat H delta t right) bigg | q_ {N-2} right rangle
cdots left langle q_ {1} bigg | exp left (- frac {i} { hbar} hat H delta t right) bigg | 0 право рангл.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b320d6f7c099da0db0b569ece24066251c014ad)
Теперь мы реализуем замену, связанную с формулой произведения Троттера, так что мы эффективно
![left langle q_ {j + 1} bigg | exp left (- frac {i} { hbar} hat H delta t right) bigg | q_j right rangle = left langle q_ {j + 1} Bigg | exp left ({- {i over hbar} {{ hat p} ^ 2 over 2m} delta t} right) exp left ({- {i over hbar} V left (q_j right) delta t} right) Bigg | q_j right rangle.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51f15e1e719cdda705dbf6fcad26c9f26301c88e)
Мы можем вставить личность
![I = int {dp over 2 pi} | p rangle langle p |](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adead3e98a98734dd67f144fc7058998e45fd115)
в амплитуду, чтобы дать
![{ displaystyle { begin {align} left langle q_ {j + 1} { bigg |} exp left (- { frac {i} { hbar}} { hat {H}} delta t right) { bigg |} q_ {j} right rangle & = exp left (- { frac {i} { hbar}} V left (q_ {j} right) delta t right) int { frac {dp} {2 pi}} left langle q_ {j + 1} { bigg |} exp left (- { frac {i} { hbar}} { frac {p ^ {2}} {2m}} delta t right) { bigg |} p right rangle langle p | q_ {j} rangle & = exp left (- { frac {i} { hbar}} V left (q_ {j} right) delta t right) int { frac {dp} {2 pi}} exp left (- { frac {i} { hbar}} { frac {p ^ {2}} {2m}} delta t right) left langle q_ {j + 1} | p right rangle left langle p | q_ {j} right rangle & = exp left (- { frac {i} { hbar}} V left (q_ {j} right) delta t right) int { frac {dp} {2 pi hbar}} exp left (- { frac {i} { hbar}} { frac {p ^ {2}} {2m}} delta t - { frac {i} { hbar}} p left (q_ {j + 1} -q_ {j} right) right) end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf74a1431ea32d6a613a623cba50d4811e3881ee)
где мы использовали тот факт, что волновая функция свободной частицы равна
.
Интеграл по p можно провести (см. Общие интегралы в квантовой теории поля ) чтобы получить
![left langle q_ {j + 1} bigg | exp left (- frac {i} { hbar} hat H delta t right) bigg | q_j right rangle = left ({-im over 2 pi delta t hbar} right) ^ {1 over 2} exp left [{i over hbar} delta t left ({1 over 2} m left ({q_ {j + 1} -q_j over delta t} right) ^ 2 - V left (q_j right) right) right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a4e108782042a613c91946d775c37f06cca1f82)
Амплитуда перехода за весь период времени равна
![left langle F bigg | exp left (- frac {i} { hbar} hat HT right) bigg | 0 right rangle = left ({-im over 2 pi delta t hbar} right) ^ {N over 2} left ( prod_ {j = 1} ^ {N-1} int dq_j right) exp left [{i over hbar} sum_ {j = 0} ^ { N-1} delta t left ({1 over 2} m left ({q_ {j + 1} -q_j over delta t} right) ^ 2 - V left (q_j right) верно-верно].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab215491a2c8ad5982da01a127c6d7566a4353be)
Если мы возьмем предел больших N амплитуда перехода уменьшается до
![left langle F bigg | exp left ({- {i over hbar} hat HT} right) bigg | 0 right rangle = int Dq (t) exp left [{i over hbar} S верно]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6081bac6180bb3c5b34f91ab9009508d0b85c009)
где S - классическая действие данный
![S = int_0 ^ T dt L left (q (t), dot {q} (t) right)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63217f9a0404a6c133041be8254c9e529c0bc404)
а L - классический Лагранжиан данный
![L left (q, dot {q} right) = {1 over 2} m { dot {q}} ^ 2 - V (q)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f7f9698be9519f99af0243803a15c7176cfb248)
Любой возможный путь частицы от начального до конечного состояния аппроксимируется ломаной линией и включается в меру интеграла
![int Dq (t) = lim_ {N to infty} left ( frac {-im} {2 pi delta t hbar} right) ^ { frac {N} {2}} слева ( prod_ {j = 1} ^ {N-1} int dq_j right)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eb24146cd24c5970208c34926cbc7fdf3b23b47)
Это выражение фактически определяет способ вычисления интегралов по путям. Передний коэффициент необходим для того, чтобы выражение имело правильные размеры, но он не имеет никакого отношения к физическому применению.
Это восстанавливает формулировку интеграла по путям из уравнения Шредингера.
От формулировки интеграла по путям к уравнению Шредингера
Интеграл по путям воспроизводит уравнение Шредингера для начального и конечного состояния даже при наличии потенциала. Это легче всего увидеть, взяв интеграл по путям за бесконечно малые промежутки времени.
![{ displaystyle psi (y; t + varepsilon) = int _ {- infty} ^ { infty} psi (x; t) int _ {x (t) = x} ^ {x (t + varepsilon) = y} exp left (i int limits _ {t} ^ {t + varepsilon} left ({ tfrac {1} {2}} { dot {x}} ^ {2} - V (x) right) , dt right) , Dx (t) , dx qquad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5270be9839050c951379d9b0c272724fcdeff889)
Поскольку временное разделение бесконечно мало и компенсирующие колебания становятся сильными для больших значений Икс, интеграл по путям имеет наибольший вес при у рядом с Икс. В этом случае до низшего порядка потенциальная энергия постоянна, и только вклад кинетической энергии нетривиален. (Это разделение членов кинетической и потенциальной энергии в показателе экспоненты по существу является Формула продукта Trotter.) Экспонента действия равна
![{ displaystyle e ^ {- я varepsilon V (x)} e ^ {я { frac {{ dot {x}} ^ {2}} {2}} varepsilon}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0bbb2a67794e00226a656c2031f1e78554830ec)
Первый член вращает фазу ψ(Икс) локально на величину, пропорциональную потенциальной энергии. Второй член - пропагатор свободной частицы, соответствующий я раз процесс распространения. В самый низкий порядок в ε они аддитивны; в любом случае с (1):
![{ Displaystyle psi (y; t + varepsilon) приблизительно int psi (x; t) e ^ {- i varepsilon V (x)} e ^ { frac {i (xy) ^ {2}} {2 varepsilon}} , dx ,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b561b8044049c91d0fef8d840548e78ec2e16f7a)
Как уже упоминалось, разброс в ψ является диффузным из-за распространения свободных частиц с дополнительным бесконечно малым вращением фазы, которое медленно изменяется от точки к точке в зависимости от потенциала:
![{ displaystyle { frac { partial psi} { partial t}} = я cdot left ({ tfrac {1} {2}} nabla ^ {2} -V (x) right) psi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d96c015c4233b89f3279e11b712efefe68af35e)
и это уравнение Шредингера. Обратите внимание, что нормализация интеграла по путям должна быть зафиксирована точно так же, как и в случае свободных частиц. Произвольный непрерывный потенциал не влияет на нормализацию, хотя сингулярные потенциалы требуют осторожного обращения.
Рекомендации