Слабая формулировка - Weak formulation

Слабые составы являются важными инструментами для анализа математических уравнения которые разрешают передачу концепции из линейная алгебра для решения проблем в других областях, таких как уравнения в частных производных. В слабой формулировке уравнение больше не требуется для абсолютного выполнения (и это даже не определено четко), а вместо этого слабые решения только в отношении определенных "тестовых векторов" или "тестовые функции ". Это равносильно постановке проблемы, требующей решения в смысле распространение.^{[нужна цитата ]}

Мы вводим слабые формулировки на нескольких примерах и представляем основную теорему для решения: Теорема Лакса – Милграма. Теорема названа в честь Питер Лакс и Артур Милгрэм, который доказал это в 1954 году.

Общая концепция

Позволять ${ displaystyle V}$ быть Банахово пространство. Мы хотим найти решение ${ displaystyle u in V}$ уравнения

{ displaystyle Au = f}

,

куда ${ Displaystyle A двоеточие V to V '}$ и ${ displaystyle f in V '}$ , с ${ displaystyle V '}$ будучи двойной из ${ displaystyle V}$ .

Это эквивалентно нахождению ${ displaystyle u in V}$ такой, что для всех ${ displaystyle v in V}$ держит:

{ Displaystyle [Au] (v) = f (v)}

.

Здесь мы называем ${ displaystyle v}$ тестовый вектор или тестовая функция.

Мы приводим это в общую форму слабой формулировки, а именно находим ${ displaystyle u in V}$ такой, что

{ Displaystyle а (и, v) = е (v) четырехъядерный forall v в V,}

путем определения билинейная форма

{ displaystyle a (u, v): = [Au] (v).}

Поскольку это очень абстрактно, давайте рассмотрим несколько примеров.

Пример 1: линейная система уравнений

Теперь позвольте ${ Displaystyle V = mathbb {R} ^ {n}}$ и ${ displaystyle A: V to V}$ - линейное отображение. Тогда слабая формулировка уравнения

{ displaystyle Au = f}

включает поиск ${ displaystyle u in V}$ такой, что для всех ${ displaystyle v in V}$ имеет место следующее уравнение:

{ Displaystyle langle Au, v rangle = langle f, v rangle,}

куда ${ Displaystyle langle cdot, cdot rangle}$ обозначает внутренний продукт.

С ${ displaystyle A}$ является линейным отображением, достаточно проверить с базисными векторами, и мы получаем

{ displaystyle langle Au, e_ {i} rangle = langle f, e_ {i} rangle quad i = 1, ldots, n.}

Собственно, расширение ${ displaystyle u = sum _ {j = 1} ^ {n} u_ {j} e_ {j}}$ , получаем матричную форму уравнения

{ displaystyle mathbf {A} mathbf {u} = mathbf {f},}

куда ${ displaystyle a_ {ij} = langle Ae_ {j}, e_ {i} rangle}$ и ${ displaystyle f_ {i} = langle f, e_ {i} rangle}$ .

Билинейная форма, связанная с этой слабой формулировкой, есть

{ displaystyle a (u, v) = mathbf {v} ^ {T} mathbf {A} mathbf {u}.}

Пример 2: уравнение Пуассона

Наша цель - решить Уравнение Пуассона

{ displaystyle - nabla ^ {2} и = е,}

на домене ${ displaystyle Omega subset mathbb {R} ^ {d}}$ с ${ displaystyle u = 0}$ на его границе, и мы хотим указать пространство решений ${ displaystyle V}$ потом. Мы будем использовать ${ displaystyle L ^ {2}}$ -скалярный продукт

{ displaystyle langle u, v rangle = int _ { Omega} uv , dx}

чтобы вывести нашу слабую формулировку. Затем тестирование с дифференцируемыми функциями ${ displaystyle v}$ , мы получили

{ displaystyle - int _ { Omega} ( nabla ^ {2} u) v , dx = int _ { Omega} fv , dx.}

Мы можем сделать левую часть этого уравнения более симметричной, интеграция по частям с помощью Личность Грина и предполагая, что ${ displaystyle v = 0}$ на ${ displaystyle partial Omega}$ :

{ displaystyle int _ { Omega} nabla u cdot nabla v , dx = int _ { Omega} fv , dx.}

Это то, что обычно называют слабой формулировкой Уравнение Пуассона. Нам еще предстоит указать пробел ${ displaystyle V}$ в котором нужно найти решение, но, как минимум, он должен позволить нам записать это уравнение. Поэтому мы требуем, чтобы функции в ${ displaystyle V}$ равны нулю на границе и имеют интегрируемые с квадратом производные. Подходящим пространством для удовлетворения этих требований является Соболевское пространство ${ displaystyle H_ {0} ^ {1} ( Omega)}$ функций с слабые производные в ${ Displaystyle L ^ {2} ( Omega)}$ и с нулевыми граничными условиями, поэтому положим ${ Displaystyle V = H_ {0} ^ {1} ( Omega)}$

Мы получаем общий вид, полагая

{ Displaystyle а (и, v) = int _ { Omega} набла и cdot набла v , dx}

и

{ Displaystyle f (v) = int _ { Omega} fv , dx.}

Теорема Лакса – Милграма

Это формулировка Теорема Лакса – Милграма которое опирается на свойства симметричной части билинейная форма. Это не самая общая форма.

Позволять ${ displaystyle V}$ быть Гильбертово пространство и ${ Displaystyle а ( cdot, cdot)}$ а билинейная форма на ${ displaystyle V}$ , который

ограниченный: ${ Displaystyle | а (и, v) | Leq С | и | | v |}$ и
принудительный: ${ Displaystyle а (и, и) geq с | и | ^ {2}.}$

Тогда для любого ${ displaystyle f in V '}$ , есть уникальное решение ${ displaystyle u in V}$ к уравнению

{ Displaystyle а (и, v) = е (v) quad forall v in V}

и он держит

{ displaystyle | u | leq { frac {1} {c}} | f | _ {V '}.}

Применение к примеру 1

Здесь применение теоремы Лакса – Милграма определенно является более сильным результатом, чем необходимо, но мы все же можем использовать его и придать этой проблеме ту же структуру, что и другие.

Ограниченность: все билинейные формы на ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ ограничены. В частности, у нас есть
${ Displaystyle | а (и, v) | Leq | A | , | и | , | v |}$
Коэрцитивность: на самом деле это означает, что действительные части собственных значений ${ displaystyle A}$ не меньше чем ${ displaystyle c}$ . Поскольку это, в частности, означает, что никакое собственное значение не равно нулю, система разрешима.

Дополнительно получаем оценку

{ displaystyle | u | leq { frac {1} {c}} | f |,}

куда ${ displaystyle c}$ - минимальная действительная часть собственного значения ${ displaystyle A}$ .

Применение к примеру 2

Здесь, как мы упоминали выше, мы выбираем ${ Displaystyle V = H_ {0} ^ {1} ( Omega)}$ с нормой

{ Displaystyle | v | _ {V}: = | набла v |,}

где норма справа - это ${ displaystyle L ^ {2}}$ -норма на ${ displaystyle Omega}$ (это дает истинную норму ${ displaystyle V}$ посредством Неравенство Пуанкаре Но мы видим, что ${ Displaystyle | а (и, и) | = | набла и | ^ {2}}$ и по Неравенство Коши – Шварца, ${ Displaystyle | а (и, v) | leq | набла и | , | набла v |}$ .

Поэтому для любого ${ displaystyle f in [H_ {0} ^ {1} ( Omega)] '}$ , есть уникальное решение ${ displaystyle u in V}$ из Уравнение Пуассона и имеем оценку

{ displaystyle | nabla u | leq | f | _ {[H_ {0} ^ {1} ( Omega)] '}.}

Смотрите также

внешняя ссылка

Страница MathWorld по теореме Лакса – Милграма