Теорема Бабушки – Лакса – Милграма - Babuška–Lax–Milgram theorem

В математика, то Теорема Бабушки – Лакса – Милграма является обобщением известного Теорема Лакса – Милграма, что дает условия, при которых билинейная форма можно "перевернуть", чтобы показать существование и уникальность слабое решение к данному краевая задача. Результат назван в честь математики Иво Бабушка, Питер Лакс и Артур Милгрэм.

Фон

В современном, функционально-аналитический подход к изучению уравнения в частных производных, никто не пытается решить данное уравнение в частных производных напрямую, но с использованием структуры векторное пространство возможных решений, например а Соболевское пространство W^k,п. Абстрактно рассмотрим два настоящий нормированные пространства U и V с их непрерывные двойственные пространства U^∗ и V^∗ соответственно. Во многих приложениях U пространство возможных решений; учитывая некоторые оператор в частных производных Λ:U → V^∗ и указанный элемент ж ∈ V^∗, цель - найти ты ∈ U такой, что

{displaystyle Lambda u = f.}

Однако в слабая формулировка, это уравнение требуется только при "проверке" на всех других возможных элементах V. Это «тестирование» осуществляется с помощью билинейной функции B : U × V → р кодирующий дифференциальный оператор Λ; а слабое решение проблема заключается в том, чтобы найти ты ∈ U такой, что

{displaystyle B (u, v) = langle f, vangle {mbox {для всех}} vin V.}

Достижение Лакса и Милграма в их результате 1954 г. заключалось в том, чтобы указать достаточные условия для того, чтобы эта слабая формулировка имела единственное решение, которое непрерывно по указанным данным ж ∈ V^∗: достаточно, чтобы U = V это Гильбертово пространство, который B непрерывно, и что B сильно принудительный, т.е.

{displaystyle | B (u, u) | geq c | u | ^ {2}}

для некоторой постоянной c > 0 и все ты ∈ U.

Например, в решении Уравнение Пуассона на ограниченный, открыто область Ω ⊂р^п,

{displaystyle {egin {cases} -Delta u (x) = f (x), & xin Omega; u (x) = 0, & xin partial Omega; end {cases}}}

космос U можно принять за пространство Соболева ЧАС₀¹(Ω) с двойственным ЧАС⁻¹(Ω); первое является подпространством L^п Космос V = L²(Ω); билинейная форма B связанный с −Δ, является L²(Ом) внутренний продукт производных:

{displaystyle B (u, v) = int _ {Omega} abla u (x) cdot abla v (x), mathrm {d} x.}

Следовательно, слабая формулировка уравнения Пуассона с учетом ж ∈ L²(Ω) - найти ты_ж такой, что

{displaystyle int _ {Omega} abla u_ {f} (x) cdot abla v (x), mathrm {d} x = int _ {Omega} f (x) v (x), mathrm {d} x {mbox { для всех}} vin H_ {0} ^ {1} (Omega).}

Формулировка теоремы

В 1971 году Бабушка представил следующее обобщение более раннего результата Лакса и Милграма, которое начинается с отказа от требования, что U и V быть таким же пространством. Позволять U и V - два вещественных гильбертовых пространства, и пусть B : U × V → р - непрерывный билинейный функционал. Предположим также, что B слабо принудительный: для некоторой постоянной c > 0 и все ты ∈ U,