Теорема Лайонса – Лакса – Милгрэма - Википедия - Lions–Lax–Milgram theorem

В математика, то Теорема Лайонса – Лакса – Милграма (или просто Теорема льва) является результатом функциональный анализ с приложениями в изучении уравнения в частных производных. Это обобщение известного Теорема Лакса – Милграма, что дает условия, при которых билинейная функция можно "перевернуть", чтобы показать существование и уникальность слабое решение к данному краевая задача. Результат назван в честь математиков. Жак Луи Лайонс, Питер Лакс и Артур Милгрэм.

Формулировка теоремы

Позволять ЧАС быть Гильбертово пространство и V а нормированное пространство. Позволять B : ЧАС × V → р быть непрерывный, билинейная функция. Тогда следующие эквиваленты:

• (принуждение ) для некоторой постоянной c > 0,^{[нужна цитата ]}

${ Displaystyle Inf _ { | v | _ {V} = 1} sup _ { | h | _ {H} leq 1} | B (h, v) | geq c;}$

• (наличие «слабого обратного») для каждого непрерывный линейный функционал ж ∈ V^∗, есть элемент час ∈ ЧАС такой, что

${ displaystyle B (h, v) = langle f, v rangle { mbox {для всех}} v in V.}$

Связанные результаты

Теорема Лионса – Лакса – Милграма может быть применена, используя следующий результат, гипотезы которого довольно распространены и легко проверяются на практике:

Предположим, что V является постоянно внедренный в ЧАС и это B является V-эллиптический, т.е.

• для некоторых c > 0 и все v ∈ V,

${ Displaystyle | v | _ {H} Leq c | v | _ {V};}$

• для некоторых α > 0 и все v ∈ V,

${ Displaystyle B (v, v) geq alpha | v | _ {V} ^ {2}.}$

Тогда указанное выше условие коэрцитивности (и, следовательно, результат существования) выполняется.

Важность и приложения

Обобщение Лайонса важно, поскольку оно позволяет решать краевые задачи за пределами гильбертова пространства исходной теории Лакса – Милграма. Чтобы проиллюстрировать силу теоремы Лионса, рассмотрим уравнение теплопроводности в п пространственные размеры (Икс) и одно временное измерение (т):

${ Displaystyle partial _ {т} и (т, х) = дельта и (т, х),}$

где Δ обозначает Оператор Лапласа. Сразу возникает два вопроса: на каком домене в пространство-время нужно ли решать уравнение теплопроводности и какие граничные условия ставить? Первый вопрос - форма области - это тот, в котором можно увидеть силу теоремы Лайонса – Лакса – Милграма. В простых настройках достаточно учесть цилиндрические домены: то есть фиксируется интересующая пространственная область Ω и максимальное время, Т ∈ (0, + ∞], и переходит к решению уравнения теплопроводности на «цилиндре»

${ displaystyle [0, T) times Omega substeq [0, + infty) times mathbf {R} ^ {n}.}$

Затем можно перейти к решению уравнения теплопроводности, используя классическую теорию Лакса – Милграма (и / или Галёркинские приближения ) на каждом "временном отрезке" {т} × Ω. Это все очень хорошо, если кто-то хочет решить уравнение теплопроводности только для области, которая не меняет свою форму в зависимости от времени. Однако есть много приложений, для которых это неверно: например, если кто-то хочет решить уравнение теплопроводности на Полярная шапка необходимо учитывать изменение формы объема льда по мере его испаряется и / или айсберги вырваться. Другими словами, нужно хотя бы уметь обрабатывать домены. грамм в пространстве-времени, которые не выглядят одинаково на каждом «временном отрезке». (Существует также дополнительное усложнение доменов, форма которых изменяется в зависимости от решения ты проблемы.) Такие области и граничные условия находятся за пределами досягаемости классической теории Лакса – Милграма, но их можно атаковать с помощью теоремы Лионса.

Смотрите также

• Теорема Бабушки – Лакса – Милграма

Рекомендации

• Шоуолтер, Ральф Э. (1997). Монотонные операторы в банаховом пространстве и нелинейные уравнения в частных производных. Математические обзоры и монографии 49. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. С. xiv + 278. ISBN  0-8218-0500-2. МИСТЕР1422252 (глава III)