Формула интерполяции Уиттекера – Шеннона - Википедия - Whittaker–Shannon interpolation formula

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален Найдите источники: «Интерполяционная формула Уиттекера – Шеннона»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Март 2013 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В Формула интерполяции Уиттекера – Шеннона или же интерполяция sinc это метод построения непрерывное время ограниченный диапазон функция из последовательности действительных чисел. Формула восходит к работам Э. Борель в 1898 г. и Э. Т. Уиттакер в 1915 г. и цитировался по произведениям Дж. М. Уиттакер в 1935 г. и в формулировке Теорема выборки Найквиста – Шеннона к Клод Шеннон в 1949 году. Его также обычно называют Формула интерполяции Шеннона и Формула интерполяции Уиттекера. Э. Т. Уиттакер, опубликовавший его в 1915 г., назвал его Кардинальная серия.

Определение

На рисунке слева показана функция (серым / черным), которую отбирают и восстанавливают (в золоте) при постоянно увеличивающейся плотности выборки, а на рисунке справа показан частотный спектр функции серого / черного, который не меняется. . Самая высокая частота в спектре составляет ½ ширины всего спектра. Ширина постоянно увеличивающейся розовой штриховки равна частоте дискретизации. Когда он охватывает весь частотный спектр, он вдвое больше максимальной частоты, и именно тогда восстановленная форма сигнала совпадает с выбранной.

Учитывая последовательность действительных чисел, Икс[п], непрерывная функция

${ displaystyle x (t) = sum _ {n = - infty} ^ { infty} x [n] , { rm {sinc}} left ({ frac {t-nT} {T} }верно),}$

(где "sinc" обозначает нормализованная функция sinc ) имеет преобразование Фурье, Икс(ж), ненулевые значения которой приурочены к области |ж| ≤ 1/(2Т). Когда параметр Т имеет единицы секунд, ограничение диапазона, 1/(2Т), имеет единицы циклов / сек (герц ). Когда Икс[п] последовательность представляет временные выборки с интервалом Т, непрерывной функции величина ж_s = 1/Т известен как частота дискретизации, и ж_s/ 2 - соответствующий Частота Найквиста. Когда функция выборки имеет ограничение диапазона, B, меньше частоты Найквиста, Икс(т) это идеальная реконструкция исходной функции. (Видеть Теорема выборки.) В противном случае частотные составляющие выше частоты Найквиста «складываются» в суб-Найквистскую область Икс(ж), что приводит к искажению. (Видеть Сглаживание.)

Эквивалентная формулировка: свертка / фильтр нижних частот

Формула интерполяции выводится в Теорема выборки Найквиста – Шеннона статья, в которой указывается, что это также может быть выражено как свертка из бесконечный импульсный поезд с функция sinc:

${ Displaystyle х (т) = влево ( сумма _ {п = - infty} ^ { infty} underbrace {T cdot x (nT)} _ {x [n]} cdot delta left (t-nT right) right) circledast left ({ frac {1} {T}} { rm {sinc}} left ({ frac {t} {T}} right) right ).}$

Это эквивалентно фильтрации последовательности импульсов идеальным (кирпичная стена) фильтр нижних частот с усилением 1 (или 0 дБ) в полосе пропускания. Если частота дискретизации достаточно высока, это означает, что изображение основной полосы частот (исходный сигнал до дискретизации) передается без изменений, а другие изображения удаляются каменным фильтром.

Конвергенция

Формула интерполяции всегда сходится абсолютно и локально равномерно так долго как

${ displaystyle sum _ {n in mathbb {Z}, , n neq 0} left | { frac {x [n]} {n}} right | < infty.}$

Посредством Неравенство Гёльдера это выполняется, если последовательность ${ Displaystyle scriptstyle (х [п]) _ {п in mathbb {Z}}}$ принадлежит любому из ${ Displaystyle scriptstyle ell ^ {p} ( mathbb {Z}, mathbb {C})}$ пробелы с 1 ≤п <∞, то есть

${ displaystyle sum _ {n in mathbb {Z}} left | x [n] right | ^ {p} < infty.}$

Это условие достаточно, но не обязательно. Например, сумма обычно сходится, если последовательность выборки получается из выборки практически любого стационарный процесс, в этом случае последовательность выборок не суммируется с квадратом и не входит в ${ Displaystyle scriptstyle ell ^ {p} ( mathbb {Z}, mathbb {C})}$ Космос.

Стационарные случайные процессы

Если Икс[п] представляет собой бесконечную последовательность выборок выборочной функции широкого смысла. стационарный процесс, то он не входит ни в одну ${ Displaystyle scriptstyle ell ^ {p}}$ или же L^п Космос, с вероятностью 1; то есть бесконечная сумма отсчетов в степени п не имеет конечного ожидаемого значения. Тем не менее, формула интерполяции сходится с вероятностью 1. Сходимость легко показать, вычислив дисперсии усеченных членов суммирования и показывая, что дисперсия может быть сделана сколь угодно малой путем выбора достаточного количества членов. Если среднее значение процесса не равно нулю, то необходимо рассмотреть пары терминов, чтобы также показать, что ожидаемое значение усеченных членов сходится к нулю.

Поскольку случайный процесс не имеет преобразования Фурье, условие, при котором сумма сходится к исходной функции, также должно быть другим. Стационарный случайный процесс имеет автокорреляционная функция и, следовательно, спектральная плотность согласно Теорема Винера – Хинчина. Подходящим условием для сходимости к функции выборки из процесса является то, что спектральная плотность процесса равна нулю на всех частотах, равных половине частоты дискретизации и выше.

Смотрите также

• Сглаживание, Фильтр сглаживания, Пространственное сглаживание
• Прямоугольная функция
• Выборка (обработка сигнала)
• Сигнал (электроника)
• Функция Sinc, Sinc фильтр
• Передискретизация по Ланцошу