Спектральная плотность - Spectral density

Спектральная плотность флуоресцентный свет как функция оптической длины волны показывает пики на атомных переходах, обозначенные пронумерованными стрелками.

Форма звуковой волны с течением времени (слева) имеет широкий спектр мощности звука (справа).

Спектр мощности ${ Displaystyle S_ {хх} (е)}$ из Временные ряды ${ Displaystyle х (т)}$ описывает распределение мощность на частотные компоненты, составляющие этот сигнал.^[1] Согласно с Анализ Фурье, любой физический сигнал можно разложить на несколько дискретных частот или на спектр частот в непрерывном диапазоне. Среднее статистическое значение определенного сигнала или типа сигнала (включая шум ), анализируемый с точки зрения его частотного содержания, называется его спектр.

Когда энергия сигнала сосредоточена вокруг конечного интервала времени, особенно если его полная энергия конечна, можно вычислить спектральная плотность энергии. Чаще используется спектральная плотность мощности (или просто спектр мощности), что относится к сигналам, существующим более все время, или в течение достаточно большого периода времени (особенно в отношении продолжительности измерения), чтобы это могло также происходить в течение бесконечного временного интервала. Спектральная плотность мощности (СПМ) тогда относится к спектральному распределению энергии, которое может быть найдено в единицу времени, так как полная энергия такого сигнала за все время, как правило, будет бесконечной. Суммирование или интегрирование спектральных компонентов дает полную мощность (для физического процесса) или дисперсию (в статистическом процессе), идентичную той, которая была бы получена путем интегрирования ${ Displaystyle х ^ {2} (т)}$ во временной области, как диктуется Теорема Парсеваля.^[2]

Спектр физического процесса ${ Displaystyle х (т)}$ часто содержит важную информацию о природе ${ displaystyle x}$. Например, подача и тембр музыкального инструмента сразу определяются из спектрального анализа. В цвет источника света определяется спектром электрического поля электромагнитной волны ${ displaystyle E (t)}$ так как он колеблется с очень высокой частотой. Получение спектра из таких временных рядов включает в себя преобразование Фурье, и обобщения на основе анализа Фурье. Во многих случаях временная область специально не используется на практике, например, когда дисперсионная призма используется для получения спектра света в спектрограф или когда звук воспринимается через его воздействие на слуховые рецепторы внутреннего уха, каждый из которых чувствителен к определенной частоте.

Однако в этой статье основное внимание уделяется ситуациям, в которых временные ряды известны (по крайней мере, в статистическом смысле) или непосредственно измерены (например, с помощью микрофона, производимого компьютером). Спектр мощности важен в статистическая обработка сигналов и в статистическом исследовании случайные процессы, а также во многих других отраслях физика и инженерное дело. Обычно процесс является функцией времени, но можно аналогичным образом обсудить данные в пространственной области, разлагаемые с точки зрения пространственная частота.^[3]

Объяснение

Любой сигнал, который можно представить как переменную, изменяющуюся во времени, имеет соответствующий частотный спектр. Сюда входят знакомые объекты, такие как видимый свет (воспринимается как цвет ), музыкальные ноты (воспринимаются как подача ), радио / ТВ (определяется их частотой, а иногда длина волны ) и даже регулярное вращение земли. Когда эти сигналы рассматриваются в форме частотного спектра, выявляются определенные аспекты принимаемых сигналов или лежащие в основе процессы, их производящие. В некоторых случаях частотный спектр может включать отчетливый пик, соответствующий синусоидальная волна составная часть. И дополнительно могут быть пики, соответствующие гармоники основного пика, указывающего на периодический сигнал, который нет просто синусоидальный. Или непрерывный спектр может показывать узкие частотные интервалы, которые сильно усиливаются в соответствии с резонансами, или частотные интервалы, содержащие почти нулевую мощность, как если бы режекторный фильтр.

В физика, сигнал может быть волной, например электромагнитная волна, акустическая волна, или вибрация механизма. В спектральная плотность мощности (PSD) сигнала описывает мощность присутствует в сигнале как функция частоты на единицу частоты. Спектральная плотность мощности обычно выражается в Вт на герц (Вт / Гц).^[4]

Когда сигнал определяется только с точки зрения Напряжение например, не существует уникальной мощности, связанной с указанной амплитудой. В этом случае "мощность" просто рассчитывается в единицах квадрата сигнала, так как это всегда будет пропорциональный к фактической мощности, передаваемой этим сигналом в данный сопротивление. Таким образом, можно использовать единицы V² Гц⁻¹ для PSD и V² с Гц⁻¹ для ОУР (спектральная плотность энергии)^[5] даже при том, что никакая фактическая «мощность» или «энергия» не указана.

Иногда встречается амплитудная спектральная плотность (ASD), который является квадратным корнем из PSD; ASD сигнала напряжения имеет единицы измерения В Гц^−1/2.^[6] Это полезно, когда форма спектра является довольно постоянным, поскольку изменения в ASD будут пропорциональны изменениям самого уровня напряжения сигнала. Но математически предпочтительнее использовать PSD, поскольку только в этом случае площадь под кривой будет значимой с точки зрения фактической мощности на всей частоте или в указанной полосе пропускания.

В общем случае единицы PSD будут отношением единиц отклонения на единицу частоты; так, например, серия значений смещения (в метрах) с течением времени (в секундах) будет иметь PSD в единицах m²/ Гц. Для анализа случайной вибрации, единицы измерения грамм² Гц⁻¹ часто используются для PSD ускорение. Здесь грамм обозначает перегрузка.^[7]

Математически нет необходимости назначать физические размеры сигналу или независимой переменной. В следующем обсуждении значение х (т) останется неопределенным, но предполагается, что это независимая переменная времени.

Определение

Спектральная плотность энергии

Спектральная плотность энергии описывает, как энергия сигнала или Временные ряды распространяется с частотой. Здесь термин энергия используется в обобщенном смысле обработки сигналов;^[8] то есть энергия ${ displaystyle E}$ сигнала ${ Displaystyle х (т)}$ является

${ Displaystyle E = int _ {- infty} ^ { infty} | х (т) | ^ {2} dt}$

Спектральная плотность энергии наиболее подходит для переходных процессов, то есть импульсных сигналов, имеющих конечную общую энергию. Конечное или нет, Теорема Парсеваля ^[9] (или теорема Планшереля) дает нам альтернативное выражение для энергии сигнала:

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} | x (t) | ^ {2} , dt = int _ {- infty} ^ { infty} | { hat {x} } (е) | ^ {2} df}$

куда

${ displaystyle { hat {x}} (е) = int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- i2 pi ft} x (t) dt}$

это преобразование Фурье сигнала и ${ displaystyle f}$ это частота в Гц, то есть циклов в секунду, и считается амплитудной спектральной плотностью. Часто используется угловая частота ${ displaystyle omega = 2 pi f}$. Поскольку интеграл в правой части представляет собой энергию сигнала, подынтегральное выражение ${ Displaystyle влево | { шляпа {х}} (е) вправо | ^ {2}}$ можно интерпретировать как функция плотности описывающая энергию на единицу частоты, содержащуюся в сигнале на частоте ${ displaystyle f}$. В связи с этим спектральная плотность энергии сигнала ${ Displaystyle х (т)}$ определяется как^[9]

${ displaystyle { bar {S}} _ {xx} (f) = left | { hat {x}} (f) right | ^ {2}}$

(Уравнение 1)

В качестве физического примера того, как можно измерить спектральную плотность энергии сигнала, предположим ${ Displaystyle V (т)}$ представляет потенциал (в вольт ) электрического импульса, распространяющегося по линия передачи из сопротивление ${ displaystyle Z}$, и предположим, что линия заканчивается символом совпадает резистор (чтобы вся энергия импульса передавалась на резистор, и никакая энергия не отражалась обратно). К Закон Ома, мощность, подаваемая на резистор за время ${ displaystyle t}$ равно ${ Displaystyle V (т) ^ {2} / Z}$, поэтому полная энергия находится путем интегрирования ${ Displaystyle V (т) ^ {2} / Z}$ относительно времени по длительности импульса. Чтобы найти значение спектральной плотности энергии ${ displaystyle { bar {S}} _ {xx} (е)}$ с частотой ${ displaystyle f}$, между линией передачи и резистором можно было вставить a полосовой фильтр который пропускает лишь узкий диапазон частот (${ displaystyle Delta f}$скажем) около интересующей частоты, а затем измерить полную энергию ${ displaystyle E (f)}$ рассеивается на резисторе. Значение спектральной плотности энергии при ${ displaystyle f}$ тогда оценивается как ${ Displaystyle E (f) / Delta f}$. В этом примере, поскольку мощность ${ Displaystyle V (т) ^ {2} / Z}$ имеет единицы V² Ω⁻¹, энергия ${ displaystyle E (f)}$ имеет единицы V² с Ω⁻¹ = J, а значит, оценка ${ Displaystyle E (f) / Delta f}$ спектральной плотности энергии имеет единицы Дж Гц⁻¹, как требуется. Во многих ситуациях обычно отказываются от шага деления на ${ displaystyle Z}$ так что спектральная плотность энергии вместо этого имеет единицы V² Гц⁻¹.

Это определение прямо обобщается на дискретный сигнал с бесконечным числом значений. ${ displaystyle x_ {n}}$ например, сигнал, дискретизированный в дискретные моменты времени ${ displaystyle x_ {n} = x (n Delta t)}$:

${ displaystyle { bar {S}} _ {xx} (f) = lim _ {N to infty} ( Delta t) ^ {2} left | sum _ {n = -N} ^ {N} x_ {n} e ^ {- i2 pi fn Delta t} right | ^ {2} = { hat {x}} _ {d} (f) { hat {x}} _ { г} ^ {*} (е)}$

куда ${ displaystyle { hat {x}} _ {d} (f)}$ это преобразование Фурье с дискретным временем из ${ displaystyle x_ {n}}$ и ${ displaystyle { hat {x}} _ {d} ^ {*} (е)}$ это комплексно сопряженный из ${ displaystyle { hat {x}} _ {d} (f).}$ Интервал выборки ${ displaystyle Delta t}$ необходим для сохранения правильных физических единиц и для обеспечения восстановления непрерывного случая в пределах ${ displaystyle Delta t to 0}$; однако в математических науках интервал часто устанавливается равным 1.

Спектральная плотность мощности

Вышеприведенное определение спектральной плотности энергии подходит для переходных процессов (импульсных сигналов), энергия которых сосредоточена вокруг одного временного окна; тогда обычно существуют преобразования Фурье сигналов. Для непрерывных сигналов в течение всего времени, таких как стационарные процессы, лучше определить спектральная плотность мощности (PSD); это описывает, как мощность сигнала или временного ряда распределяется по частоте, как в простом примере, приведенном ранее. Здесь мощность может быть реальной физической мощностью или, чаще, для удобства абстрактных сигналов, просто отождествляется с квадратом значения сигнала. Например, статистики изучают отклонение функции с течением времени ${ Displaystyle х (т)}$ (или над другой независимой переменной) и, используя аналогию с электрическими сигналами (среди других физических процессов), принято называть его спектр мощности даже когда не задействована физическая сила. Если бы нужно было создать физический Напряжение источник, который последовал ${ Displaystyle х (т)}$ и применил его к клеммам 1 ом резистор, тогда действительно мгновенная мощность, рассеиваемая в этом резисторе, будет равна ${ Displaystyle х (т) ^ {2}}$ Вт.

Средняя мощность ${ displaystyle P}$ сигнала ${ Displaystyle х (т)}$ следовательно, за все время определяется следующим средним временем, где период ${ displaystyle T}$ сосредоточено вокруг некоторого произвольного времени ${ displaystyle t = t_ {0}}$:

${ displaystyle P = lim _ {T to infty} { frac {1} {T}} int _ {t_ {0} -T / 2} ^ {t_ {0} + T / 2} | х (t) | ^ {2} , dt}$

Однако, чтобы иметь дело с математикой, которая следует ниже, удобнее иметь дело с временными ограничениями в самом сигнале, чем с временными ограничениями в границах интеграла. Таким образом, у нас есть альтернативное представление средней мощности, где ${ Displaystyle x_ {T} (t) = x (t) w_ {T} (t)}$ и ${ displaystyle w_ {T} (t)}$ равно единице внутри произвольного периода и нулю где-либо еще.

${ displaystyle P = lim _ {T to infty} { frac {1} {T}} int _ {- infty} ^ { infty} | x_ {T} (t) | ^ {2 } , dt}$

Обратите внимание, что стационарный процесс например, может иметь конечную мощность, но бесконечную энергию. В конце концов, энергия - это интеграл мощности, а стационарный сигнал продолжается бесконечное время. Это причина того, что мы не можем использовать спектральную плотность энергии, как определено выше в таких случаях.

При анализе частотного состава сигнала ${ Displaystyle х (т)}$, можно было бы вычислить обычное преобразование Фурье ${ displaystyle { hat {x}} ( omega)}$; однако для многих представляющих интерес сигналов преобразование Фурье формально не существует.^{[N 1]} Несмотря на, Теорема Парсеваля сообщает нам, что мы можем переписать среднюю мощность следующим образом.

${ displaystyle P = lim _ {T to infty} { frac {1} {T}} int _ {- infty} ^ { infty} | { hat {x}} _ {T} (е) | ^ {2} , df}$

Тогда спектральная плотность мощности просто определяется как подынтегральное выражение выше.^[11][12]

${ displaystyle S_ {xx} (f) = lim _ {T to infty} { frac {1} {T}} | { hat {x}} _ {T} (f) | ^ {2 } ,}$

(Уравнение 2)

Отсюда мы также можем просмотреть ${ displaystyle | { hat {x}} _ {T} (f) | ^ {2}}$ как преобразование Фурье времени свертка из ${ displaystyle x_ {T} ^ {*} (- t)}$ и ${ Displaystyle x_ {T} (т)}$

${ displaystyle | { hat {x}} _ {T} (f) | ^ {2} = { mathcal {F}} left {x_ {T} ^ {*} (- t) { mathbf {*}} x_ {T} (t) right } = int _ {- infty} ^ { infty} left [ int _ {- infty} ^ { infty} x_ {T} ^ {*} (t- tau) x_ {T} (t) dt right] e ^ {- i2 pi f tau} d tau}$

Теперь, если мы разделим указанную выше свертку времени на период ${ displaystyle T}$ и возьмем предел как ${ Displaystyle Т rightarrow infty}$, становится автокорреляция функция безоконного сигнала ${ Displaystyle х (т)}$, который обозначается как ${ Displaystyle R_ {хх} ( тау)}$, при условии всех результатов ${ Displaystyle х (т)}$ равновероятны, что обычно, но не всегда верно^[13].

${ displaystyle lim _ {T to infty} { frac {1} {T}} | { hat {x}} _ {T} (f) | ^ {2} = int _ {- infty} ^ { infty} left [ lim _ {T to infty} { frac {1} {T}} int _ {- infty} ^ { infty} x_ {T} ^ {* } (t- tau) x_ {T} (t) dt right] e ^ {- i2 pi f tau} d tau = int _ {- infty} ^ { infty} R_ {xx } ( tau) e ^ {- i2 pi f tau} d tau}$

Отсюда мы видим, что в таких равновероятных случаях мы также можем определить спектральную плотность мощности как преобразование Фурье автокорреляционной функции (Теорема Винера – Хинчина ).

${ displaystyle S_ {xx} (f) = int _ {- infty} ^ { infty} R_ {xx} ( tau) e ^ {- i2 pi f tau} , d tau = { hat {R}} _ {xx} (е)}$

(Уравнение 3)

Многие авторы используют это равенство, чтобы на самом деле определять спектральная плотность мощности.^[14]

Мощность сигнала в заданной полосе частот ${ Displaystyle [е_ {1}, е_ {2}]}$, куда ${ displaystyle 0$, можно рассчитать интегрированием по частоте. С ${ Displaystyle S_ {хх} (- е) = S_ {хх} (е)}$, равное количество мощности может быть отнесено к положительным и отрицательным полосам частот, что составляет коэффициент 2 в следующей форме (такие тривиальные факторы зависят от используемых соглашений):

${ displaystyle P _ { mathsf {bandlimited}} = 2 int _ {f_ {1}} ^ {f_ {2}} S_ {xx} (f) , df}$

В более общем плане подобные методы могут использоваться для оценки изменяющейся во времени спектральной плотности. В этом случае временной интервал ${ displaystyle T}$ конечно, а не приближается к бесконечности. Это приводит к снижению спектрального охвата и разрешения, поскольку частоты ниже ${ displaystyle 1 / T}$ не отбираются, и результаты с частотами, не кратными целому числу ${ displaystyle 1 / T}$ не независимы. Просто используя один такой временной ряд, оценочный спектр мощности будет очень "шумным"; однако это можно уменьшить, если можно оценить ожидаемое значение (в приведенном выше уравнении), используя большое (или бесконечное) количество краткосрочных спектров, соответствующих статистические ансамбли реализации ${ Displaystyle х (т)}$ оценивается в течение указанного временного окна.

Как и в случае со спектральной плотностью энергии, определение спектральной плотности мощности можно обобщить на дискретное время переменные ${ displaystyle x_ {n}}$. Как и раньше, мы можем рассматривать окно ${ Displaystyle -N Leq п Leq N}$ с дискретизацией сигнала в дискретные моменты времени ${ displaystyle x_ {n} = x (n Delta t)}$ за общий период измерения ${ Displaystyle T = (2N + 1) Delta t}$.

${ displaystyle S_ {xx} (f) = lim _ {N to infty} { frac {( Delta t) ^ {2}} {T}} left | sum _ {n = -N } ^ {N} x_ {n} e ^ {- i2 pi fn Delta t} right | ^ {2}}$

Обратите внимание, что единственная оценка PSD может быть получена с помощью конечного числа выборок. Как и раньше, фактическая PSD достигается, когда ${ displaystyle N}$ (и поэтому ${ displaystyle T}$) приближаются к бесконечности, и формально применяется ожидаемое значение. В реальном приложении обычно можно усреднить PSD конечного измерения по множеству испытаний, чтобы получить более точную оценку теоретической PSD физического процесса, лежащего в основе отдельных измерений. Этот вычисленный PSD иногда называют периодограмма. Эта периодограмма сходится к истинной PSD как количество оценок, так и временной интервал усреднения. ${ displaystyle T}$ приближение к бесконечности (Браун и Хван)^[15].

Если оба сигнала обладают спектральной плотностью мощности, то кросс-спектральная плотность аналогично можно рассчитать; поскольку PSD связана с автокорреляцией, так же кросс-спектральная плотность связана с взаимная корреляция.

Свойства спектральной плотности мощности

Некоторые свойства PSD включают:^[16]

• Спектр реально оцениваемого процесса (или даже сложного процесса, использующего приведенное выше определение) реален и даже функция частоты: ${ Displaystyle S_ {хх} (- е) = S_ {хх} (е)}$.
• Если процесс непрерывный и чисто недетерминированный^{[требуется разъяснение ]}функция автоковариации может быть восстановлена ​​с помощью Обратное преобразование Фурье
• PSD можно использовать для вычисления отклонение (средняя мощность) процесса путем интегрирования по частоте:

${ displaystyle P = { text {Var}} (x) = int _ {- infty} ^ { infty} ! S_ {xx} (f) , df}$

• Основываясь на преобразовании Фурье, PSD является линейной функцией автоковариационной функции в том смысле, что если ${ displaystyle R_ {xx}}$ раскладывается на две функции

${ Displaystyle R_ {хх} ( тау) = альфа _ {1} R_ {хх, 1} ( тау) + альфа _ {2} R_ {хх, 2} ( тау)}$ ,

тогда

${ Displaystyle S_ {xx} (f) = alpha _ {1} S_ {xx, 1} (f) + alpha _ {2} S_ {xx, 2} (f).}$

В интегрированный спектр или спектральное распределение мощности ${ Displaystyle F (е)}$ определяется как^{[сомнительный – обсудить][17]}

${ Displaystyle F (f) = int _ {- infty} ^ {f} S_ {xx} (f ') , df'.}$

Перекрестная спектральная плотность мощности

Учитывая два сигнала ${ Displaystyle х (т)}$ и ${ Displaystyle у (т)}$, каждая из которых обладает спектральной плотностью мощности ${ Displaystyle S_ {хх} (е)}$ и ${ displaystyle S_ {yy} (е)}$, можно определить кросс-спектральная плотность мощности (CPSD) или кросс-спектральная плотность (CSD). Для начала рассмотрим среднюю мощность такого комбинированного сигнала.

${ displaystyle P = lim _ {T to infty} { frac {1} {T}} int _ {- infty} ^ { infty} left [x_ {T} (t) + y_ {T} (t) right] ^ {*} left [x_ {T} (t) + y_ {T} (t) right] dt = lim _ {T to infty} { frac { 1} {T}} int _ {- infty} ^ { infty} | x_ {T} (t) | ^ {2} + x_ {T} ^ {*} (t) y_ {T} (t ) + y_ {T} ^ {*} (t) x_ {T} (t) + | y_ {T} (t) | ^ {2} dt}$

Используя те же обозначения и методы, которые использовались для вывода спектральной плотности мощности, мы используем теорему Парсеваля и получаем

${ displaystyle S_ {xy} (f) = lim _ {T to infty} { frac {1} {T}} left [{ hat {x}} _ {T} ^ {*} ( f) { hat {y}} _ {T} (f) right] S_ {yx} (f) = lim _ {T to infty} { frac {1} {T}} left [{ hat {y}} _ {T} ^ {*} (f) { hat {x}} _ {T} (f) right]}$

где опять же вклады ${ Displaystyle S_ {хх} (е)}$ и ${ displaystyle S_ {yy} (е)}$ уже поняли. Обратите внимание, что ${ Displaystyle S_ {xy} ^ {*} (f) = S_ {yx} (f)}$, поэтому полный вклад в перекрестную мощность, как правило, составляет удвоенную действительную часть каждого отдельного CPSD. Как и раньше, отсюда мы преобразовываем эти продукты в преобразование Фурье временной свертки, которое при делении на период и доведении до предела ${ displaystyle T to infty}$ превращается в преобразование Фурье взаимная корреляция функция.^[18]

${ Displaystyle S_ {ху} (е) = int _ {- infty} ^ { infty} left [ lim _ {T to infty} { frac {1} {T}} int _ {- infty} ^ { infty} x_ {T} ^ {*} (t- tau) { mathbf {*}} y_ {T} (t) dt right] e ^ {- i2 pi f tau} d tau = int _ {- infty} ^ { infty} R_ {xy} ( tau) e ^ {- i2 pi f tau} d tau}$

${ displaystyle S_ {yx} (f) = int _ {- infty} ^ { infty} left [ lim _ {T to infty} { frac {1} {T}} int _ {- infty} ^ { infty} y_ {T} ^ {*} (t- tau) { mathbf {*}} x_ {T} (t) dt right] e ^ {- i2 pi f tau} d tau = int _ {- infty} ^ { infty} R_ {yx} ( tau) e ^ {- i2 pi f tau} d tau}$

куда ${ Displaystyle R_ {ху} ( тау)}$ это взаимная корреляция из ${ Displaystyle х (т)}$ с ${ Displaystyle у (т)}$ и ${ Displaystyle R_ {yx} ( тау)}$ это взаимная корреляция из ${ Displaystyle у (т)}$ с ${ Displaystyle х (т)}$. В свете этого PSD рассматривается как частный случай CSD для ${ Displaystyle х (т) = у (т)}$. В случае, если ${ Displaystyle х (т)}$ и ${ Displaystyle у (т)}$ сигналы напряжения или тока, их амплитудные спектральные плотности ${ displaystyle { hat {x}} (е)}$ и ${ displaystyle { hat {y}} (е)}$ строго положительные по соглашению. Следовательно, при типичной обработке сигналов полная CPSD это всего лишь один из CPSDs в два раза.

${ displaystyle CPSD_ {Full} = 2S_ {xy} (f) = 2S_ {yx} (f)}$

Для дискретных сигналов Икс_п и у_п, связь между кросс-спектральной плотностью и кросс-ковариацией равна

${ Displaystyle S_ {ху} (е) = сумма _ {п = - infty} ^ { infty} R_ {ху} ( тау _ {п}) е ^ {- i2 пи е тау _ { n}} Delta tau}$

Предварительный расчет

Цель оценки спектральной плотности - оценивать спектральная плотность случайный сигнал из последовательности временных отсчетов. В зависимости от того, что известно о сигнале, методы оценки могут включать параметрический или непараметрический подходы и могут быть основаны на анализе во временной или частотной области. Например, общий параметрический метод включает подгонку наблюдений к авторегрессионная модель. Распространенным непараметрическим методом является периодограмма.

Спектральная плотность обычно оценивается с помощью преобразование Фурье методы (такие как Метод Велча ), но другие методы, такие как максимальная энтропия также может быть использован метод.

Характеристики

• Спектральная плотность ${ displaystyle f (t)}$ и автокорреляция из ${ displaystyle f (t)}$ образуют пару преобразований Фурье (для PSD и ESD используются разные определения автокорреляционной функции). Этот результат известен как Теорема Винера – Хинчина.
• Одним из результатов анализа Фурье является Теорема Парсеваля в котором говорится, что площадь под кривой спектральной плотности энергии равна площади под квадратом величины сигнала, полной энергии:

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} left | f (t) right | ^ {2} dt = int _ {- infty} ^ { infty} left | { hat {f}} (t) right | ^ {2} df}$

Приведенная выше теорема верна и в дискретных случаях. Аналогичный результат справедлив для мощности: площадь под кривой спектральной плотности мощности равна полной мощности сигнала, которая равна ${ displaystyle R_ {xx} (0)}$, автокорреляционная функция при нулевом запаздывании. Это также (с точностью до константы, которая зависит от коэффициентов нормализации, выбранных в используемых определениях) дисперсия данных, составляющих сигнал.

Связанные понятия

• В спектральный центроид сигнала является средней точкой его функции спектральной плотности, то есть частотой, которая делит распределение на две равные части.
• В спектральная граничная частота сигнала - это расширение предыдущей концепции до любой пропорции вместо двух равных частей.
• Спектральная плотность - это функция частоты, а не времени. Однако спектральная плотность малых окон более длинного сигнала может быть вычислена и нанесена на график в зависимости от времени, связанного с окном. Такой граф называется спектрограмма. Это основа ряда методов спектрального анализа, таких как кратковременное преобразование Фурье и вейвлеты.
• «Спектр» обычно означает спектральную плотность мощности, как обсуждалось выше, которая отображает распределение содержания сигнала по частоте. Это не следует путать с частотный отклик из функция передачи который также включает в себя фазу (или, что то же самое, действительную и мнимую части как функцию частоты). Для передаточных функций (например, Сюжет Боде, щебетать ) полная частотная характеристика может быть представлена ​​в виде графика в виде двух частей: амплитуда в зависимости от частоты и фаза в зависимости от частоты (или, реже, как действительная и мнимая части передаточной функции). В импульсивный ответ (во временной области) ${ Displaystyle ч (т)}$, как правило, не может быть однозначно восстановлен только из части амплитудной спектральной плотности без фазовой функции. Хотя это также пары преобразования Фурье, нет симметрии (как есть для автокорреляции), заставляющей преобразование Фурье быть действительным. Видеть спектральная фаза и фазовый шум.

Приложения

Электротехника

Спектрограмма FM радио сигнал с частотой по горизонтальной оси и увеличением времени по вертикальной оси.

Концепция и использование спектра мощности сигнала является фундаментальным в электротехника, особенно в системы электронной связи, включая радиосвязь, радары и сопутствующие системы, а также пассивные дистанционное зондирование технологии. Электронные инструменты под названием анализаторы спектра используются для наблюдения и измерения спектры мощности сигналов.

Анализатор спектра измеряет величину кратковременное преобразование Фурье (STFT) входного сигнала. Если анализируемый сигнал можно рассматривать как стационарный процесс, STFT представляет собой хорошую сглаженную оценку его спектральной плотности мощности.

Космология

Первозданные колебания, вариации плотности в ранней Вселенной, количественно оцениваются с помощью спектра мощности, который дает мощность вариаций как функцию пространственного масштаба.

Смотрите также

• Спектральная плотность шума
• Оценка спектральной плотности
• Спектральная эффективность
• Спектральное распределение мощности
• Температура яркости
• Цвета шума
• Спектральная утечка
• Оконная функция
• Биспектр
• Малая вероятность

Примечания

Рекомендации

внешняя ссылка

• Скрипты Matlab Power Spectral Density