Формула лармора - Larmor formula

А Яги-уда антенна. Радиоволны могут излучаться антенной за счет ускорения электронов в антенне. Это последовательный Таким образом, общая излучаемая мощность пропорциональна квадрату числа ускоряющихся электронов.

В электродинамика, то Формула лармора используется для расчета общей мощность излучается нерелятивистским точечным зарядом при ускорении. Впервые он был получен Дж. Дж. Лармор в 1897 г.,^[1] в контексте волновая теория света.

Когда любая заряженная частица (например, электрон, протон или ион ) ускоряется, он излучает энергию в виде электромагнитные волны. Для скоростей, малых по сравнению с скорость света, полная излучаемая мощность определяется формулой Лармора:

{ displaystyle P = {2 over 3} { frac {q ^ {2} a ^ {2}} {4 pi varepsilon _ {0} c ^ {3}}} = { frac {q ^ {2} a ^ {2}} {6 pi varepsilon _ {0} c ^ {3}}} { mbox {(единицы СИ)}}}

{ displaystyle P = {2 over 3} { frac {q ^ {2} a ^ {2}} {c ^ {3}}} { mbox {(единицы cgs)}}}

где ${ displaystyle a}$ правильное ускорение, ${ displaystyle q}$ это заряд, и ${ displaystyle c}$ это скорость света. Релятивистское обобщение дает Потенциалы Льенара – Вихерта.

В любой единичной системе мощность, излучаемая одним электроном, может быть выражена через классический радиус электрона и масса электрона так как:

{ displaystyle P = {2 over 3} { frac {m_ {e} r_ {e} a ^ {2}} {c}}}

Одно из следствий состоит в том, что электрон вращается вокруг ядра, как в Модель Бора, должен потерять энергию, упасть на ядро и атом должен схлопнуться. Эта загадка не была решена до тех пор, пока квантовая теория был представлен.

Вывод

Вывод 1: Математический подход (с использованием единиц СГС)

Сначала нам нужно найти форму электрического и магнитного полей. Поля можно записать (более полный вывод см. Потенциал Льенара – Вихерта )

{ displaystyle mathbf {E} ( mathbf {r}, t) = q left ({ frac { mathbf {n} - { boldsymbol { beta}}} { gamma ^ {2} (1 - { boldsymbol { beta}} cdot mathbf {n}) ^ {3} R ^ {2}}} right) _ { rm {ret}} + { frac {q} {c}} left ({ frac { mathbf {n} times [( mathbf {n} - { boldsymbol { beta}}) times { dot { boldsymbol { beta}}}]} {(1 - { boldsymbol { beta}} cdot mathbf {n}) ^ {3} R}} right) _ { rm {ret}}}

и

{ displaystyle mathbf {B} = mathbf {n} times mathbf {E},}

где ${ displaystyle { boldsymbol { beta}}}$ скорость заряда, деленная на ${ displaystyle c}$ , ${ displaystyle { dot { boldsymbol { beta}}}}$ есть ускорение заряда, деленное на c, ${ Displaystyle mathbf {п}}$ является единичным вектором в ${ displaystyle mathbf {r} - mathbf {r} _ {0}}$ направление ${ displaystyle R}$ это величина ${ displaystyle mathbf {r} - mathbf {r} _ {0}}$ , ${ displaystyle mathbf {r} _ {0}}$ - местонахождение заряда, и ${ Displaystyle гамма = (1- бета ^ {2}) ^ {- 1/2}}$ . Условия справа оцениваются на замедленное время ${ displaystyle t _ { text {r}} = t-R / c}$ .

Правая часть представляет собой сумму электрических полей, связанных со скоростью и ускорением заряженной частицы. Поле скорости зависит только от ${ displaystyle { boldsymbol { beta}}}$ а поле ускорения зависит как от ${ displaystyle { boldsymbol { beta}}}$ и ${ displaystyle { dot { boldsymbol { beta}}}}$ и угловые отношения между ними. Поскольку поле скорости пропорционально ${ displaystyle 1 / R ^ {2}}$ , он очень быстро падает с расстоянием. С другой стороны, поле ускорения пропорционально ${ displaystyle 1 / R}$ , что означает, что с расстоянием он падает намного медленнее. Из-за этого поле ускорения представляет собой поле излучения и отвечает за унос большей части энергии от заряда.

Мы можем найти энергия поток плотности поля излучения путем вычисления его Вектор Пойнтинга:

{ displaystyle mathbf {S} = { frac {c} {4 pi}} mathbf {E} _ { text {a}} times mathbf {B} _ { text {a}}, }

где нижние индексы «а» подчеркивают, что мы берем только поле ускорения. Подставляя соотношение между магнитным и электрическим полями, предполагая, что частица мгновенно покоится в момент времени ${ displaystyle t _ { text {r}}}$ и упрощение дает^{[примечание 1]}

{ displaystyle mathbf {S} = { frac {q ^ {2}} {4 pi c}} left | { frac { mathbf {n} times ( mathbf {n} times { точка { boldsymbol { beta}}})} {R}} right | ^ {2} mathbf {n}.}

Если мы допустим угол между ускорением и вектором наблюдения равным ${ displaystyle theta}$ , и введем ускорение ${ displaystyle mathbf {a} = { dot { boldsymbol { beta}}} c}$ , то мощность излучения на единицу телесный угол является

{ displaystyle { frac {dP} {d Omega}} = { frac {q ^ {2}} {4 pi c}} { frac { sin ^ {2} ( theta) , а ^ {2}} {c ^ {2}}}.}

Полная излучаемая мощность находится путем интегрирования этой величины по всем телесным углам (то есть по ${ displaystyle theta}$ и ${ displaystyle phi}$ ). Это дает

{ displaystyle P = { frac {2} {3}} { frac {q ^ {2} a ^ {2}} {c ^ {3}}},}

что является результатом Лармора для нерелятивистского ускоренного заряда. Он связывает мощность, излучаемую частицей, с ее ускорением. Это ясно показывает, что чем быстрее заряд разгоняется, тем сильнее будет излучение. Этого следовало ожидать, поскольку поле излучения зависит от ускорения.

Вывод 2: подход Эдварда М. Перселла

Полный вывод можно найти здесь.^[2]

Вот объяснение, которое может помочь понять вышеуказанную страницу.

Этот подход основан на конечной скорости света. Заряд, движущийся с постоянной скоростью, имеет радиальное электрическое поле ${ displaystyle E_ {r}}$ (на расстоянии ${ displaystyle R}$ от заряда), всегда выходящего из будущего положения заряда, и отсутствует тангенциальная составляющая электрического поля ${ displaystyle (E_ {t} = 0)}$ Это будущее положение полностью детерминировано, пока скорость постоянна. Когда скорость заряда изменяется (скажем, он отскакивает назад в течение короткого времени), будущее положение "прыгает", так что с этого момента и на радиальном электрическом поле ${ displaystyle E_ {r}}$ выходит из новыйдолжность. Учитывая тот факт, что электрическое поле должно быть непрерывным, отличная от нуля тангенциальная составляющая электрического поля ${ displaystyle E_ {t}}$ появляется, который уменьшается как ${ displaystyle 1 / R}$ (в отличие от радиальной составляющей, которая уменьшается как ${ displaystyle 1 / R ^ {2}}$ ).

Следовательно, на больших расстояниях от заряда радиальная составляющая пренебрежимо мала по сравнению с тангенциальной составляющей, и, кроме того, поля, которые ведут себя как ${ displaystyle 1 / R ^ {2}}$ не могут излучать, потому что связанные с ними векторы Пойнтинга будут вести себя как ${ displaystyle 1 / R ^ {4}}$ .

Выходит тангенциальная составляющая (единицы СИ):

{ displaystyle E_ {t} = {{ea sin ( theta)} over {4 pi varepsilon _ {0} c ^ {2} R}}.}

И чтобы получить формулу Лармура, нужно проинтегрировать по всем углам на большом расстоянии ${ displaystyle R}$ от зарядаВектор Пойнтинга связан с ${ displaystyle E_ {t}}$ , который:

{ displaystyle mathbf {S} = {E_ {t} ^ {2} over mu _ {0} c} mathbf { hat {r}} = {{e ^ {2} a ^ {2} sin ^ {2} ( theta)} over {16 pi ^ {2} varepsilon _ {0} c ^ {3} R ^ {2}}} mathbf { hat {r}}}

подача (единицы СИ)

{ displaystyle P = {{e ^ {2} a ^ {2}} over {6 pi varepsilon _ {0} c ^ {3}}}.}

Математически это эквивалентно:

{ displaystyle P = {{ mu _ {0} e ^ {2} a ^ {2}} over {6 pi c}}.}

поскольку ${ displaystyle c ^ {2} = 1 / mu _ {0} epsilon _ {0}}$ , мы восстанавливаем результат, указанный в начале статьи, а именно

{ displaystyle P = {2 over 3} { frac {q ^ {2} a ^ {2}} {4 pi varepsilon _ {0} c ^ {3}}} = { frac {q ^ {2} a ^ {2}} {6 pi varepsilon _ {0} c ^ {3}}}.}

Релятивистское обобщение

Ковариантная форма

Написано с точки зрения импульса, $п$ , нерелятивистская формула Лармора (в единицах СГС)^[3]

{ displaystyle P = { frac {2} {3}} { frac {q ^ {2}} {m ^ {2} c ^ {3}}} | { dot { mathbf {p}}} | ^ {2}.}

Сила $п$ можно показать как Инвариант Лоренца.^[3] Следовательно, любое релятивистское обобщение формулы Лармора должно относиться к $п$ к некоторой другой инвариантной лоренцевой величине. Количество ${ displaystyle | { точка { mathbf {p}}} | ^ {2}}$ в нерелятивистской формуле предполагает, что релятивистски правильная формула должна включать скаляр Лоренца, найденный путем взятия внутреннего произведения четырехскоростной $а μ = дп μ / d τ$ с собой [здесь $п μ = (γ MC, γ м v)$ это четырехимпульсный ]. Правильное релятивистское обобщение формулы Лармора (в единицах СГС)^[3]

${ displaystyle P = - { frac {2} {3}} { frac {q ^ {2}} {m ^ {2} c ^ {3}}} { frac {dp _ { mu}} { d tau}} { frac {dp ^ { mu}} {d tau}}.}$

Можно показать, что этот внутренний продукт определяется выражением^[3]

{ displaystyle { frac {dp _ { mu}} {d tau}} { frac {dp ^ { mu}} {d tau}} = beta ^ {2} left ({ frac { dp} {d tau}} right) ^ {2} - left ({ frac {d { mathbf {p}}} {d tau}} right) ^ {2},}

и так в пределе $β ≪ 1$ , это сводится к ${ displaystyle - | { точка { mathbf {p}}} | ^ {2}}$ , таким образом воспроизводя нерелятивистский случай.

Нековариантная форма

Вышеупомянутый внутренний продукт также можно записать в терминах $β$ и его производная по времени. Тогда релятивистское обобщение формулы Лармора (в единицах СГС)^[3]

${ displaystyle P = { frac {2q ^ {2} gamma ^ {6}} {3c}} left [({ dot { boldsymbol { beta}}}) ^ {2} - ({ boldsymbol { beta}} times { dot { boldsymbol { beta}}}) ^ {2} right].}$

Это результат Льенара, который был впервые получен в 1898 году. ${ displaystyle gamma ^ {6}}$ означает, что когда Фактор Лоренца ${ displaystyle gamma = 1 / { sqrt {1- beta ^ {2}}}}$ очень близко к единице (т.е. ${ displaystyle beta ll 1}$ ) излучение, испускаемое частицей, вероятно, будет незначительным. Однако, как ${ displaystyle beta rightarrow 1}$ радиация растет как ${ displaystyle gamma ^ {6}}$ поскольку частица пытается потерять свою энергию в виде электромагнитных волн. Кроме того, когда ускорение и скорость ортогональны, мощность уменьшается в раз. ${ Displaystyle 1- бета ^ {2} = 1 / гамма ^ {2}}$ , т.е. фактор ${ displaystyle gamma ^ {6}}$ становится ${ displaystyle gamma ^ {4}}$ . Чем быстрее становится движение, тем сильнее становится это уменьшение.

Мы можем использовать результат Льенара, чтобы предсказать, какого рода радиационные потери следует ожидать при различных видах движения.

Угловое распределение

Угловое распределение излучаемой мощности дается общей формулой, применимой независимо от того, является ли частица релятивистской. В единицах CGS эта формула^[4]

{ displaystyle { frac {dP} {d Omega}} = { frac {q ^ {2}} {4 pi c}} { frac {| mathbf { hat {n}} times [ ( mathbf { hat {n}} - { boldsymbol { beta}}) times { dot { boldsymbol { beta}}}] | ^ {2}} {(1- mathbf { hat {n}} cdot { boldsymbol { beta}}) ^ {5}}},}

где ${ Displaystyle mathbf { шляпа {п}}}$ - единичный вектор, направленный от частицы к наблюдателю. В случае линейного движения (скорость параллельна ускорению) это упрощается до^[5]

{ displaystyle { frac {dP} {d Omega}} = { frac {q ^ {2} a ^ {2}} {4 pi c ^ {3}}} { frac { sin ^ { 2} theta} {(1- beta cos theta) ^ {5}}},}

где ${ displaystyle theta}$ угол между наблюдателем и движением частицы.

Проблемы и последствия

Радиационная реакция

Излучение заряженной частицы несет энергию и импульс. Чтобы обеспечить сохранение энергии и импульса, заряженная частица должна испытывать отдачу во время испускания. Излучение должно оказывать на заряженную частицу дополнительную силу. Эта сила известна как Сила Абрахама – Лоренца в нерелятивистском пределе и Сила Абрахама – Лоренца – Дирака в релятивистской обстановке.

Атомная физика

Классический электрон, вращающийся вокруг ядра, испытывает ускорение и должен излучать. Следовательно, электрон теряет энергию, и электрон в конечном итоге должен спирально проникнуть в ядро. Следовательно, атомы, согласно классической механике, нестабильны. Это классическое предсказание нарушается наблюдением стабильных электронных орбит. Проблема решена с помощью квантово-механический описание атомная физика, изначально предусмотренная моделью Бора. Классические решения проблемы стабильности электронных орбиталей могут быть продемонстрированы с использованием Безызлучательные условия^[6] и в соответствии с известными физическими законами.^{[нужна цитата ]}

Смотрите также

Заметки

^ Случай, когда ${ Displaystyle бета влево (т _ { текст {r}} вправо) neq 0}$ является более сложным и рассматривается, например, в теории Гриффитса. Введение в электродинамику.

использованная литература

^ Лармор Дж (1897). «LXIII. К теории магнитного влияния на спектры и на излучение движущихся ионов». Философский журнал. 5. 44 (271): 503–512. Дои:10.1080/14786449708621095. Формула упоминается в тексте на последней странице.
^ Упрощенный Перселл
^ ^а ^б ^c ^d ^е Джексон, J.D., Классическая электродинамика (3-е изд.), Стр. 665–8
^ Уравнение Джексона (14,38)
^ Уравнение Джексона (14,39)
^ Условие отсутствия излучения

Дж. Лармор, "К динамической теории электрической и светоносной среды", Философские труды Королевского общества 190, (1897) стр. 205–300 (Третья и последняя в одноименной серии статей).
Джексон, Джон Д. (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.). Вайли. ISBN 0-471-30932-X. (Раздел 14.2ff)
Миснер, Чарльз; Thorne, Kip S .; Уилер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация. Сан-Франциско: В. Х. Фриман. ISBN 0-7167-0344-0.
Р. П. Фейнман; Ф. Б. Моринго; В. Г. Вагнер (1995). Лекции Фейнмана по гравитации. Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-62734-5.

[2] Случай, когда ${ Displaystyle бета влево (т _ { текст {r}} вправо) neq 0}$ является более сложным и рассматривается, например, в теории Гриффитса. Введение в электродинамику.

[1] Лармор Дж (1897). «LXIII. К теории магнитного влияния на спектры и на излучение движущихся ионов». Философский журнал. 5. 44 (271): 503–512. Дои:10.1080/14786449708621095. Формула упоминается в тексте на последней странице.

[3] Упрощенный Перселл

[jackson665-4] а ^б ^c ^d ^е Джексон, J.D., Классическая электродинамика (3-е изд.), Стр. 665–8

[5] Уравнение Джексона (14,38)

[6] Уравнение Джексона (14,39)

[7] Условие отсутствия излучения

[1]

[примечание 1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]