Ковариантная формулировка классического электромагнетизма - Covariant formulation of classical electromagnetism

Часть цикла статей о
Электромагнетизм
Электричество Магнетизм История Учебники
Электростатика Электрический заряд Закон Кулона Дирижер Плотность заряда Разрешающая способность Электрический дипольный момент Электрическое поле Электрический потенциал Электрический поток  / потенциальная энергия Электростатический разряд Закон Гаусса Индукция Изолятор Плотность поляризации Статичное электричество Трибоэлектричество
Магнитостатика Закон Ампера Закон Био – Савара Закон Гаусса для магнетизма Магнитное поле Магнитный поток Магнитный дипольный момент Магнитная проницаемость Магнитный скалярный потенциал Намагничивание Магнитодвижущая сила Правило правой руки
Электродинамика Закон силы Лоренца Электромагнитная индукция Закон Фарадея Закон Ленца Ток смещения Магнитный векторный потенциал Уравнения Максвелла Электромагнитное поле Электромагнитный импульс Электромагнитное излучение Тензор Максвелла Вектор Пойнтинга Потенциал Льенара – Вихерта Уравнения Ефименко Вихревой ток Уравнения Лондона Математические описания электромагнитного поля
Электрическая сеть Переменный ток Емкость Постоянный ток Электрический ток Электролиз Плотность тока Джоулевое нагревание Электродвижущая сила Импеданс Индуктивность Закон Ома Параллельная схема Сопротивление Резонансные полости Последовательная схема Напряжение Волноводы
Ковариантная формулировка Электромагнитный тензор (тензор энергии-импульса ) Четырехтоковый Электромагнитный четырехпотенциальный
Ученые Ампер Биот Кулон Дэви Эйнштейн Фарадей Физо Гаусс Хевисайд Генри Герц Джоуль Ленц Лоренц Максвелл Ørsted Ом Ричи Savart Певица Тесла Вольта Вебер

В ковариантный формулировка классический электромагнетизм относится к способам записи законов классического электромагнетизма (в частности, Уравнения Максвелла и Сила Лоренца ) в форме, явно инвариантной относительно Преобразования Лоренца, в формализме специальная теория относительности используя прямолинейный инерциальные системы координат. Эти выражения упрощают доказательство того, что законы классического электромагнетизма принимают одинаковую форму в любой инерциальной системе координат, а также предоставляют способ перевода полей и сил из одной системы координат в другую. Однако это не так часто, как Уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени или непрямолинейные системы координат.

В этой статье используется классическая трактовка тензоров и Соглашение о суммировании Эйнштейна повсюду и Метрика Минковского имеет вид diag (+1, −1, −1, −1). Там, где уравнения заданы как удерживаемые в вакууме, можно было бы вместо этого рассматривать их как формулировку уравнений Максвелла в терминах Всего заряд и ток.

Для более общего обзора отношений между классическим электромагнетизмом и специальной теорией относительности, включая различные концептуальные значения этой картины, см. Классический электромагнетизм и специальная теория относительности.

Ковариантные объекты

Предварительные четырехвекторы

В этой статье для описания тел или частиц могут использоваться тензоры Лоренца следующих видов:

• четырехцилиндровый:

${displaystyle x ^ {alpha} = (ct, mathbf {x}) = (ct, x, y, z) ,.}$

• Четырехскоростной:

${displaystyle u ^ {alpha} = gamma (c, mathbf {u}),}$

куда γ(ты) это Фактор Лоренца на 3-х скоростной ты.

• Четыре импульса:

${displaystyle p ^ {alpha} = (E / c, mathbf {p}) = m_ {0} u ^ {alpha},}$

куда ${displaystyle mathbf {p}}$ 3-импульсный, ${displaystyle E}$ это полная энергия, и ${displaystyle m_ {0}}$ является масса покоя.

• Четыре градиента

${displaystyle partial ^ {u} = {frac {partial} {partial x_ {u}}} = left ({frac {1} {c}} {frac {partial} {partial t}}, - mathbf {abla} ight ) ,,}$

• В д'Аламбертиан оператор обозначается ${displaystyle {partial} ^ {2}}$, ${displaystyle partial ^ {2} = {frac {1} {c ^ {2}}} {частичное вместо частичного t} {частичное вместо частичного t} -abla ^ {2}}$.

Знаки в следующем тензорном анализе зависят от соглашение используется для метрический тензор. Используемое здесь соглашение (+ − − −), соответствующий Метрический тензор Минковского:

${displaystyle eta ^ {mu u} = {egin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & -1end {pmatrix}},}$

Электромагнитный тензор

Электромагнитный тензор представляет собой комбинацию электрического и магнитного полей в ковариантную антисимметричный тензор записи которых являются величинами B-поля.^[1]

${displaystyle F_ {alpha eta} = left ({egin {matrix} 0 & E_ {x} / c & E_ {y} / c & E_ {z} / c -E_ {x} / c & 0 & -B_ {z} & B_ {y} - E_ {y} / c & B_ {z} & 0 & -B_ {x} - E_ {z} / c & -B_ {y} & B_ {x} & 0end {matrix}} ight),}$

и результатом повышения его показателей будет

${displaystyle F ^ {mu u}, {stackrel {mathrm {def}} {=}}, eta ^ {mu alpha}, F_ {alpha eta}, eta ^ {eta u} = left ({egin {matrix} 0 & -E_ {x} / c & -E_ {y} / c & -E_ {z} / c E_ {x} / c & 0 & -B_ {z} & B_ {y} E_ {y} / c & B_ {z} & 0 & -B_ {x} E_ {z} / c & -B_ {y} & B_ {x} & 0end {matrix}} ight) ,.}$

куда E это электрическое поле, B то магнитное поле, и c то скорость света.

Четырехтоковый

Четыре-ток - это контравариантный четырехвектор, объединяющий плотность электрического заряда ρ и плотность электрического тока j:

${displaystyle J ^ {alpha} = (cho, mathbf {j}) ,.}$

Четырехпотенциальный

Электромагнитный четырехпотенциал - это ковариантный четырехвектор, содержащий электрический потенциал (также называемый скалярный потенциал ) ϕ и магнитный векторный потенциал (или же векторный потенциал ) А, следующим образом:

${displaystyle A ^ {alpha} = left (phi / c, mathbf {A} ight) ,.}$

Дифференциал электромагнитного потенциала равен

${displaystyle F_ {alpha eta} = partial _ {alpha} A_ {eta} -partial _ {eta} A_ {alpha} ,.}$

На языке дифференциальные формы, что обеспечивает обобщение искривленных пространств-времени, это компоненты 1-формы ${displaystyle A = A_ {alpha} dx ^ {alpha}}$ и 2-форма ${displaystyle F = dA = {frac {1} {2}} F_ {alpha eta} dx ^ {alpha} клин dx ^ {eta}}$ соответственно. Здесь, ${displaystyle d}$ это внешняя производная и ${displaystyle wedge}$ то клин.

Электромагнитный тензор энергии-напряжения

Электромагнитный тензор энергии-импульса можно интерпретировать как плотность потока четырехвектора импульса и представляет собой контравариантный симметричный тензор, который представляет собой вклад электромагнитных полей в общую тензор энергии-импульса:

${displaystyle T ^ {alpha eta} = {egin {pmatrix} epsilon _ {0} E ^ {2} / 2 + B ^ {2} / 2mu _ {0} & S_ {x} / c & S_ {y} / c & S_ { z} / c S_ {x} / c & -sigma _ {xx} & - sigma _ {xy} & - sigma _ {xz} S_ {y} / c & -sigma _ {yx} & - sigma _ {yy } & - sigma _ {yz} S_ {z} / c & -sigma _ {zx} & - sigma _ {zy} & - sigma _ {zz} end {pmatrix}} ,,}$

куда ${displaystyle epsilon _ {0}}$ это электрическая проницаемость вакуума, μ₀ это магнитная проницаемость вакуума, то Вектор Пойнтинга является

${displaystyle mathbf {S} = {frac {1} {mu _ {0}}} mathbf {E} imes mathbf {B}}$

и Тензор напряжений Максвелла дан кем-то

${displaystyle sigma _ {ij} = epsilon _ {0} E_ {i} E_ {j} + {frac {1} {mu _ {0}}} B_ {i} B_ {j} -left ({frac {1 } {2}} эпсилон _ {0} E ^ {2} + {frac {1} {2mu _ {0}}} B ^ {2} ight) delta _ {ij} ,.}$

Тензор электромагнитного поля F строит электромагнитный тензор энергии-напряжения Т уравнением:

${displaystyle T ^ {alpha eta} = {frac {1} {mu _ {0}}} слева (eta ^ {alpha u} F_ {u gamma} F ^ {gamma eta} + {frac {1} {4} } eta ^ {alpha eta} F_ {gamma u} F ^ {gamma u} ight)}$^[2]

куда η это Метрика Минковского тензор (с подписью (+ − − −)). Обратите внимание, что мы используем тот факт, что

${displaystyle epsilon _ {0} mu _ {0} c ^ {2} = 1 ,,}$

что предсказывается уравнениями Максвелла.

Уравнения Максвелла в вакууме

В вакууме (или для микроскопических уравнений, не включая описания макроскопических материалов) уравнения Максвелла могут быть записаны в виде двух тензорных уравнений.

Два неоднородных уравнения Максвелла, Закон Гаусса и Закон Ампера (с поправкой Максвелла) объединить в (с (+ − − −) метрическая):^[3]

а однородные уравнения - Закон индукции Фарадея и Закон Гаусса для магнетизма объединить в форму:

куда F^αβ это электромагнитный тензор, J^α это четырехканальный, ε^αβγδ это Символ Леви-Чивита, а индексы ведут себя согласно Соглашение о суммировании Эйнштейна.

Каждое из этих тензорных уравнений соответствует четырем скалярным уравнениям, по одному для каждого значения β.

С использованием антисимметричный тензор обозначения и запятые для частной производной (см. Исчисление Риччи ), второе уравнение также можно записать более компактно:

${displaystyle F _ {[alpha eta, gamma]} = 0.}$

В отсутствие источников уравнения Максвелла сводятся к:

${displaystyle partial ^ {u} partial _ {u} F ^ {alpha eta}, {stackrel {mathrm {def}} {=}}, {partial} ^ {2} F ^ {alpha eta}, {stackrel {mathrm {def}} {=}} {1 над c ^ {2}} {partial ^ {2} F ^ {alpha eta} над {частичным t} ^ {2}} - abla ^ {2} F ^ {alpha eta } = 0 ,,}$

который является уравнение электромагнитной волны в тензоре напряженности поля.

Уравнения Максвелла в калибровке Лоренца

В Условие калибровки Лоренца является лоренц-инвариантным калибровочным условием. (Это можно противопоставить другим калибровочные условия такой как Кулоновский калибр, который, если он держится в одном инерциальная система отсчета обычно не выполняется ни в каком другом). Он выражается в терминах четырехпотенциала следующим образом:

${displaystyle partial _ {alpha} A ^ {alpha} = partial ^ {alpha} A_ {alpha} = 0 ,.}$

В калибровке Лоренца микроскопические уравнения Максвелла могут быть записаны как:

${displaystyle {partial} ^ {2} A ^ {sigma} = mu _ {0}, J ^ {sigma} ,.}$

Сила Лоренца

Заряженная частица

Сила Лоренца ж на заряженная частица (из обвинять q) в движении (мгновенная скорость v). В E поле и B поле различаются в пространстве и времени.

Электромагнитные (ЭМ) поля влияют на движение электрически заряженный вопрос: из-за Сила Лоренца. Таким образом, электромагнитные поля могут быть обнаружен (с приложениями в физика элементарных частиц, и природных явлений, таких как полярные сияния ). В релятивистской форме сила Лоренца использует тензор напряженности поля следующим образом.^[4]

Выражается в виде координировать время т, это:

${displaystyle {dp_ {alpha} over {dt}} = q, F_ {alpha eta}, {frac {dx ^ {eta}} {dt}},}$

куда п_α - четырехмерный импульс, q это обвинять, и Икс^β это позиция.

Выражаясь в независимой от кадра форме, мы имеем четырехступенчатую

${displaystyle {frac {dp_ {alpha}} {d au}}, = q, F_ {alpha eta}, u ^ {eta},}$

куда ты^β - четырехскоростная, а τ это частица подходящее время, которое связано с координатным временем соотношением dt = γdτ.

Континуум заряда

Сила Лоренца на пространственный объем ж на непрерывном распределение заряда (плотность заряда ρ) в движении.

Плотность силы из-за электромагнетизма, пространственная часть которой является силой Лоренца, определяется выражением

${displaystyle f_ {alpha} = F_ {alpha eta} J ^ {eta}.!}$

и связана с электромагнитным тензором энергии-импульса соотношением

${displaystyle f ^ {alpha} = - {T ^ {alpha eta}} _ {, eta} эквив - {frac {partial T ^ {alpha eta}} {partial x ^ {eta}}}.}$

Законы сохранения

Электрический заряд

В уравнение неразрывности:

${displaystyle {J ^ {alpha}} _ {, alpha}, {stackrel {mathrm {def}} {=}}, частично _ {alpha} J ^ {alpha}, =, 0 ,.}$

выражает сохранение заряда.

Электромагнитная энергия-импульс

Используя уравнения Максвелла, можно увидеть, что электромагнитный тензор энергии-напряжения (определенный выше) удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению, связывающему его с электромагнитным тензором и четырехвектором тока

${displaystyle {T ^ {alpha eta}} _ {, eta} + F ^ {alpha eta} J_ {eta} = 0}$

или

${displaystyle eta _ {alpha u} {T ^ {u eta}} _ {, eta} + F_ {alpha eta} J ^ {eta} = 0,}$

который выражает сохранение количества движения и энергии за счет электромагнитных взаимодействий.

Ковариантные объекты в материи

Свободные и связанные четырехтоки

Чтобы решить приведенные здесь уравнения электромагнетизма, необходимо добавить информацию о том, как рассчитать электрический ток, J^ν Часто бывает удобно разделить ток на две части, свободный ток и связанный ток, которые моделируются разными уравнениями;

${displaystyle J ^ {u} = {J ^ {u}} _ {ext {free}} + {J ^ {u}} _ {ext {bound}} ,,}$

куда

${displaystyle {J ^ {u}} _ {ext {free}} = (cho _ {ext {free}}, mathbf {J} _ {ext {free}}) = left (cabla cdot mathbf {D}, - {frac {partial mathbf {D}} {partial t}} + abla imes mathbf {H} ight) ,,}$

${displaystyle {J ^ {u}} _ {ext {bound}} = (cho _ {ext {bound}}, mathbf {J} _ {ext {bound}}) = left (- cabla cdot mathbf {P}, {frac {partial mathbf {P}} {partial t}} + abla imes mathbf {M} ight) ,.}$

Макроскопические уравнения Максвелла были использованы, кроме того, определения электрическое перемещение D и магнитная напряженность ЧАС:

${displaystyle mathbf {D} = epsilon _ {0} mathbf {E} + mathbf {P},}$

${displaystyle mathbf {H} = {frac {1} {mu _ {0}}} mathbf {B} -mathbf {M},.}$

куда M это намагничивание и п то электрическая поляризация.

Тензор намагниченности-поляризации

Связанный ток получается из п и M поля, образующие антисимметричный контравариантный тензор намагниченности-поляризации ^[1]

${displaystyle {mathcal {M}} ^ {mu u} = {egin {pmatrix} 0 & P_ {x} c & P_ {y} c & P_ {z} c -P_ {x} c & 0 & -M_ {z} & M_ {y} - P_ {y} c & M_ {z} & 0 & -M_ {x} - P_ {z} c & -M_ {y} & M_ {x} & 0end {pmatrix}},}$

который определяет связанный ток

${displaystyle {J ^ {u}} _ {ext {bound}} = partial _ {mu} {mathcal {M}} ^ {mu u} ,.}$

Тензор электрического смещения

Если это сочетается с F^μν мы получаем антисимметричный контравариантный тензор электромагнитных смещений, который объединяет D и ЧАС следующие поля:

${displaystyle {mathcal {D}} ^ {mu u} = {egin {pmatrix} 0 & -D_ {x} c & -D_ {y} c & -D_ {z} c D_ {x} c & 0 & -H_ {z} & H_ {y} D_ {y} c & H_ {z} & 0 & -H_ {x} D_ {z} c & -H_ {y} & H_ {x} & 0end {pmatrix}}.}$

Три тензора поля связаны соотношением:

${displaystyle {mathcal {D}} ^ {mu u} = {frac {1} {mu _ {0}}} F ^ {mu u} - {mathcal {M}} ^ {mu u},}$

что эквивалентно определениям D и ЧАС поля, указанные выше.

Уравнения Максвелла в веществе

В результате Закон Ампера,

${displaystyle mathbf {abla} imes mathbf {H} = mathbf {J} _ {ext {free}} + {frac {partial mathbf {D}} {partial t}}}$,

и Закон Гаусса,

${displaystyle mathbf {abla} cdot mathbf {D} = ho _ {ext {free}}}$,

объединить в одно уравнение:

Связанный ток и свободный ток, как определено выше, автоматически и отдельно сохраняются.

${displaystyle partial _ {u} {J ^ {u}} _ {ext {bound}} = 0,}$

${displaystyle partial _ {u} {J ^ {u}} _ {ext {free}} = 0 ,.}$

Материальные уравнения

Вакуум

В вакууме определяющие соотношения между тензором поля и тензором смещения следующие:

${displaystyle mu _ {0} {mathcal {D}} ^ {mu u} = eta ^ {mu alpha} F_ {alpha eta} eta ^ {eta u} ,.}$

Антисимметрия сводит эти 16 уравнений всего к шести независимым уравнениям. Потому что обычно определяют F^μν к

${displaystyle F ^ {mu u} = eta ^ {mu alpha} F_ {alpha eta} eta ^ {eta u},}$

материальные уравнения могут в вакуум, в сочетании с законом Гаусса – Ампера, чтобы получить:

${displaystyle partial _ {eta} F ^ {alpha eta} = mu _ {0} J ^ {alpha}.!}$

Электромагнитный тензор энергии-импульса через смещение равен:

${displaystyle T_ {alpha} {} ^ {pi} = F_ {alpha eta} {mathcal {D}} ^ {pi eta} - {frac {1} {4}} delta _ {alpha} ^ {pi} F_ { mu u} {mathcal {D}} ^ {mu u},}$

куда δ_α^π это Дельта Кронекера. Когда верхний указатель опускается с помощью η, он становится симметричным и является частью источника гравитационного поля.

Линейное недисперсное вещество

Таким образом, мы уменьшили проблему моделирования тока, J^ν к двум (надеюсь) более простым задачам - моделирование свободного тока, J^ν_{свободный} и моделирование намагниченности и поляризации, ${displaystyle {mathcal {M}} ^ {mu u}}$. Например, в простейших материалах на низких частотах

${displaystyle mathbf {J} _ {ext {free}} = sigma mathbf {E},}$

${displaystyle mathbf {P} = epsilon _ {0} chi _ {e} mathbf {E},}$

${displaystyle mathbf {M} = chi _ {m} mathbf {H},}$

где один находится в мгновенно движущейся инерциальной системе отсчета материала, σ это его электрическая проводимость, χ_е это его электрическая восприимчивость, и χ_м это его магнитная восприимчивость.

Учредительные отношения между ${displaystyle {mathcal {D}}}$ и F тензоры, предложенные Минковский для линейных материалов (то есть E является пропорциональный к D и B пропорционально ЧАС), находятся:^[5]

${displaystyle {mathcal {D}} ^ {mu u} u_ {u} = c ^ {2} эпсилон F ^ {mu u} u_ {u}}$

${displaystyle {star {mathcal {D}} ^ {mu u}} u_ {u} = {frac {1} {mu}} {star F ^ {mu u}} u_ {u}}$

куда ты - четырехскоростная скорость материала, ε и μ соответственно являются собственными диэлектрическая проницаемость и проницаемость материала (т. е. в опоре материала), ${displaystyle star}$ и обозначает Ходж Дуал.

Лагранжиан классической электродинамики

Вакуум

В Лагранжиан Плотность для классической электродинамики складывается из двух компонентов: компонента поля и компонента источника:

${displaystyle {mathcal {L}}, =, {mathcal {L}} _ {mathrm {field}} + {mathcal {L}} _ {mathrm {int}} = - {frac {1} {4mu _ {0 }}} F ^ {alpha eta} F_ {alpha eta} -A_ {alpha} J ^ {alpha} ,.}$

В термине взаимодействия четырехток следует понимать как сокращение многих терминов, выражающих электрические токи других заряженных полей в терминах их переменных; четыре-ток сам по себе не является фундаментальным полем.

В Уравнения Лагранжа для плотности электромагнитного лагранжиана ${displaystyle {mathcal {L}} (A_ {alpha}, частично _ {eta} A_ {alpha}),}$ можно сформулировать так:

${displaystyle partial _ {eta} left [{frac {partial {mathcal {L}}} {partial (partial _ {eta} A_ {alpha})}} ight] - {frac {partial {mathcal {L}}} { частичный A_ {alpha}}} = 0 ,.}$

Отмечая

${displaystyle F_ {mu u} = частичное _ {mu} A_ {u} -частичное _ {u} A_ {mu},}$,

выражение внутри квадратной скобки:

${displaystyle {egin {выравнивается} {frac {partial {mathcal {L}}} {partial (partial _ {eta} A_ {alpha})}} & = - {frac {1} {4mu _ {0}}} { frac {partial (F_ {mu u} eta ^ {mu lambda} eta ^ {u sigma} F_ {lambda sigma})} {partial (partial _ {eta} A_ {alpha})}} & = - {frac { 1} {4mu _ {0}}} eta ^ {mu lambda} eta ^ {u sigma} left (F_ {lambda sigma} (delta _ {mu} ^ {eta} delta _ {u} ^ {alpha} -delta _ {u} ^ {eta} delta _ {mu} ^ {alpha}) + F_ {mu u} (delta _ {lambda} ^ {eta} delta _ {sigma} ^ {alpha} -delta _ {sigma} ^ {eta} delta _ {lambda} ^ {alpha}) ight) & = - {frac {F ^ {eta alpha}} {mu _ {0}}} ,. end {align}}}$

Второй член

${displaystyle {frac {partial {mathcal {L}}} {partial A_ {alpha}}} = - J ^ {alpha} ,.}$

Следовательно, уравнения движения электромагнитного поля имеют вид

${displaystyle {frac {partial F ^ {eta alpha}} {partial x ^ {eta}}} = mu _ {0} J ^ {alpha} ,.}$

которое является одним из приведенных выше уравнений Максвелла.

Иметь значение

Отделяя свободные токи от связанных токов, можно записать плотность лагранжиана по-другому:

${displaystyle {mathcal {L}}, =, - {frac {1} {4mu _ {0}}} F ^ {alpha eta} F_ {alpha eta} -A_ {alpha} J_ {ext {free}} ^ { alpha} + {frac {1} {2}} F_ {alpha eta} {mathcal {M}} ^ {alpha eta} ,.}$

Используя уравнение Лагранжа, уравнения движения для ${displaystyle {mathcal {D}} ^ {mu u}}$ можно вывести.

Эквивалентное выражение в нерелятивистской векторной записи:

${displaystyle {mathcal {L}}, =, {frac {1} {2}} left (epsilon _ {0} E ^ {2} - {frac {1} {mu _ {0}}} B ^ {2 } ight) -phi, ho _ {ext {free}} + mathbf {A} cdot mathbf {J} _ {ext {free}} + mathbf {E} cdot mathbf {P} + mathbf {B} cdot mathbf {M },.}$

Смотрите также

• Ковариантная классическая теория поля
• Электромагнитный тензор
• Уравнение электромагнитной волны
• Потенциал Льенара – Вихерта для заряда в произвольном движении
• Проблема с подвижным магнитом и проводником
• Неоднородное уравнение электромагнитной волны
• Proca действие
• Квантовая электродинамика
• Релятивистский электромагнетизм
• Штюкельберг действие
• Теория поглотителя Уиллера – Фейнмана

Примечания и ссылки

дальнейшее чтение

• Эйнштейн, А. (1961). Относительность: специальная и общая теория. Нью-Йорк: Корона. ISBN  0-517-02961-8.
• Миснер, Чарльз; Thorne, Kip S .; Уилер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация. Сан-Франциско: В. Х. Фриман. ISBN  0-7167-0344-0.
• Ландау, Л. Д .; Лифшиц, Э. М. (1975). Классическая теория полей (четвертое исправленное английское издание). Оксфорд: Пергамон. ISBN  0-08-018176-7.
• Р. П. Фейнман; Ф. Б. Моринго; В. Г. Вагнер (1995). Лекции Фейнмана по гравитации. Эддисон-Уэсли. ISBN  0-201-62734-5.