Классический электромагнетизм и специальная теория относительности - Classical electromagnetism and special relativity

Часть цикла статей о
Электромагнетизм
Электричество Магнетизм История Учебники
Электростатика Электрический заряд Закон Кулона Дирижер Плотность заряда Разрешающая способность Электрический дипольный момент Электрическое поле Электрический потенциал Электрический поток  / потенциальная энергия Электростатический разряд Закон Гаусса Индукция Изолятор Плотность поляризации Статичное электричество Трибоэлектричество
Магнитостатика Закон Ампера Закон Био – Савара Закон Гаусса для магнетизма Магнитное поле Магнитный поток Магнитный дипольный момент Магнитная проницаемость Магнитный скалярный потенциал Намагничивание Магнитодвижущая сила Правило правой руки
Электродинамика Закон силы Лоренца Электромагнитная индукция Закон Фарадея Закон Ленца Ток смещения Магнитный векторный потенциал Уравнения Максвелла Электромагнитное поле Электромагнитный импульс Электромагнитное излучение Тензор Максвелла Вектор Пойнтинга Потенциал Льенара – Вихерта Уравнения Ефименко Вихревой ток Уравнения Лондона Математические описания электромагнитного поля
Электрическая сеть Переменный ток Емкость Постоянный ток Электрический ток Электролиз Плотность тока Джоулевое нагревание Электродвижущая сила Импеданс Индуктивность Закон Ома Параллельная схема Сопротивление Резонансные полости Последовательная схема Напряжение Волноводы
Ковариантная формулировка Электромагнитный тензор (тензор энергии-импульса ) Четырехтоковый Электромагнитный четырехпотенциальный
Ученые Ампер Биот Кулон Дэви Эйнштейн Фарадей Физо Гаусс Хевисайд Генри Герц Джоуль Ленц Лоренц Максвелл Ørsted Ом Ричи Savart Певица Тесла Вольта Вебер

Теория специальная теория относительности играет важную роль в современной теории классический электромагнетизм. Прежде всего, он дает формулы того, как электромагнитные объекты, в частности электрический и магнитные поля, изменяются под Преобразование Лоренца от одного инерциальная система отсчета ссылки на другой. Во-вторых, он проливает свет на взаимосвязь между электричеством и магнетизмом, показывая, что система отсчета определяет, следует ли наблюдение электростатическим или магнитным законам. В-третьих, это мотивирует компактное и удобное обозначение законов электромагнетизма, а именно «явно ковариантную» тензорную форму.

Уравнения Максвелла, когда они были впервые сформулированы в полном виде в 1865 году, оказались совместимыми со специальной теорией относительности.^[1] Более того, кажущиеся совпадения, при которых один и тот же эффект наблюдался из-за различных физических явлений двумя разными наблюдателями, будут показаны специальной теорией относительности как минимум неслучайным. Фактически, половина первой статьи Эйнштейна 1905 года по специальной теории относительности "К электродинамике движущихся тел., "объясняет, как преобразовать уравнения Максвелла.

Преобразование полей между инерциальными системами отсчета

Поля E и B

Лоренцево повышение электрического заряда.

Вершина: Заряд покоится в системе F, поэтому наблюдатель видит статическое электрическое поле. Наблюдатель в другой системе отсчета F ′ движется со скоростью v относительно F, и видит, что заряд движется со скоростью -v с измененным электрическим полем E из-за сокращения длины и магнитного поля B из-за движения заряда.

Нижний: Аналогичная установка, с покоящимся зарядом в кадре F ′.

Это уравнение, также называемое Уравнение Джоуля-Бернуллисчитает два инерциальные системы отсчета. В грунтованный рамка движется относительно незаштрихованной системы координат со скоростью v. Поля, определенные в кадре с штрихом, обозначаются штрихами, а поля, определенные в кадре без штриха, не содержат простых чисел. Компоненты поля параллельно к скорости v обозначаются ${ displaystyle mathbf {E} _ { parallel}}$ и ${ displaystyle mathbf {B} _ { parallel}}$ а компоненты поля, перпендикулярные v обозначаются как ${ displaystyle mathbf {E} _ { perp}}$и ${ displaystyle mathbf {B} _ { perp}}$. В этих двух кадрах, движущихся с относительной скоростью v, то E-поля и B-поля связаны по:^[2]

${ displaystyle { begin {align} mathbf {E _ { parallel}} '& = mathbf {E _ { parallel}} mathbf {B _ { parallel}}' & = mathbf {B _ { parallel}} mathbf {E _ { bot}} '& = gamma left ( mathbf {E} _ { bot} + mathbf {v} times mathbf {B} right) mathbf {B _ { bot}} '& = gamma left ( mathbf {B} _ { bot} - { frac {1} {c ^ {2}}} mathbf {v} times mathbf {E} right) end {align}}}$

куда

${ displaystyle gamma { overset { underset { mathrm {def}} {}} {=}} { frac {1} { sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2} }}}}$

называется Фактор Лоренца и c это скорость света в свободное место. Обратные преобразования такие же, за исключением v → −v.

Эквивалентное альтернативное выражение:^[3]

${ displaystyle { begin {align} mathbf {E} '& = gamma left ( mathbf {E} + mathbf {v} times mathbf {B} right) - left ({ gamma -1} right) ( mathbf {E} cdot mathbf { hat {v}}) mathbf { hat {v}} mathbf {B} '& = gamma left ( mathbf {B} - { frac { mathbf {v} times mathbf {E}} {c ^ {2}}} right) - left ({ gamma -1} right) ( mathbf {B } cdot mathbf { шляпа {v}}) mathbf { шляпа {v}} конец {выровнено}}}$

куда ${ displaystyle mathbf { hat {v}} = { frac { mathbf {v}} { Vert mathbf {v} Vert}}}$ это скорость единичный вектор. С предыдущими обозначениями на самом деле ${ displaystyle ( mathbf {E} cdot mathbf { hat {v}}) mathbf { hat {v}} = mathbf {E} _ { parallel}}$ и ${ displaystyle ( mathbf {B} cdot mathbf { hat {v}}) mathbf { hat {v}} = mathbf {B} _ { parallel}}$.

Если одно из полей равно нулю в одной системе отсчета, это не обязательно означает, что оно равно нулю во всех других системах отсчета. Это можно увидеть, например, сделав незаштрихованное электрическое поле равным нулю при преобразовании в заряженное электрическое поле. В этом случае, в зависимости от ориентации магнитного поля, заправленная система могла видеть электрическое поле, даже если его нет в незаправленной системе.

Это не означает, что в двух кадрах видны два совершенно разных набора событий, но одна и та же последовательность событий описывается двумя разными способами (см. Проблема с подвижным магнитом и проводником ниже).

Если частица заряда q движется со скоростью ты относительно системы S, то сила Лоренца в системе S равна:

${ displaystyle mathbf {F} = q mathbf {E} + q mathbf {u} times mathbf {B}}$

В кадре S 'сила Лоренца равна:

${ displaystyle mathbf {F '} = q mathbf {E'} + q mathbf {u '} times mathbf {B'}}$

Если оси S и S выровнены, то:^[4]

${ displaystyle { begin {align} u_ {x} '& = { frac {u_ {x} + v} {1+ (v u_ {x}) / c ^ {2}}} u_ { y} '& = { frac {u_ {y} / gamma} {1+ (v u_ {x}) / c ^ {2}}} u_ {z}' & = { frac {u_ {z} / gamma} {1+ (v u_ {x}) / c ^ {2}}} конец {выровнено}}}$

Вывод преобразования силы Лоренца для частного случая ты = 0 приводится здесь.^[5] Более общий вид можно увидеть здесь.^[6]

Компонент за компонентом для относительного движения вдоль оси x это работает следующим образом:

${ displaystyle { begin {align} E '_ {x} & = E_ {x} & qquad B' _ {x} & = B_ {x} E '_ {y} & = gamma left (E_ {y} -vB_ {z} right) & B '_ {y} & = gamma left (B_ {y} + { frac {v} {c ^ {2}}} E_ {z} справа) E '_ {z} & = gamma left (E_ {z} + vB_ {y} right) & B' _ {z} & = gamma left (B_ {z} - { frac {v} {c ^ {2}}} E_ {y} right). конец {выровнено}}}$

Преобразования в этой форме можно сделать более компактными, если ввести электромагнитный тензор (определено ниже), который является ковариантный тензор.

Поля D и H

Для электрическое перемещение D и магнитная напряженность ЧАС, с использованием учредительные отношения и результат для c²:

${ Displaystyle mathbf {D} = epsilon _ {0} mathbf {E} ,, quad mathbf {B} = mu _ {0} mathbf {H} ,, quad c ^ { 2} = { frac {1} { epsilon _ {0} mu _ {0}}} ,,}$

дает

${ displaystyle { begin {align} mathbf {D} '& = gamma left ( mathbf {D} + { frac {1} {c ^ {2}}} mathbf {v} times mathbf {H} right) + (1- gamma) ( mathbf {D} cdot mathbf { hat {v}}) mathbf { hat {v}} mathbf {H} '& = gamma left ( mathbf {H} - mathbf {v} times mathbf {D} right) + (1- gamma) ( mathbf {H} cdot mathbf { hat {v} }) mathbf { hat {v}} end {align}}}$

Аналогично для E и B, то D и ЧАС сформировать тензор электромагнитного смещения.

Поля φ и A

Альтернативное более простое преобразование электромагнитного поля использует электромагнитные потенциалы - в электрический потенциал φ и магнитный потенциал А:^[7]

${ Displaystyle { begin {выровненный} varphi '& = gamma left ( varphi -vA _ { parallel} right) A _ { parallel}' & = gamma left (A _ { parallel} - { frac {v varphi} {c ^ {2}}} right) A _ { bot} '& = A _ { bot} end {align}}}$

куда ${ displaystyle scriptstyle A _ { parallel}}$ является параллельным компонентом А к направлению относительной скорости между кадрами v, и ${ displaystyle scriptstyle A _ { bot}}$ - перпендикулярный компонент. Они прозрачно напоминают характерную форму других преобразований Лоренца (таких как временное положение и энергия-импульс), в то время как преобразования E и B выше немного сложнее. Компоненты можно собрать вместе как:

${ displaystyle { begin {align} mathbf {A} '& = mathbf {A} - { frac { gamma varphi} {c ^ {2}}} mathbf {v} + left ( гамма -1 вправо) влево ( mathbf {A} cdot mathbf { hat {v}} right) mathbf { hat {v}} varphi '& = gamma left ( varphi - mathbf {A} cdot mathbf {v} right) end {align}}}$

Поля ρ и J

Аналогично для плотность заряда ρ и плотность тока J,^[7]

${ displaystyle { begin {align} J _ { parallel} '& = gamma left (J _ { parallel} -v rho right) rho' & = gamma left ( rho - { frac {v} {c ^ {2}}} J _ { parallel} right) J _ { bot} '& = J _ { bot} end {align}}}$

Собираем компоненты вместе:

${ displaystyle { begin {align} mathbf {J} '& = mathbf {J} - gamma rho mathbf {v} + left ( gamma -1 right) left ( mathbf {J } cdot mathbf { hat {v}} right) mathbf { hat {v}} rho '& = gamma left ( rho - { frac { mathbf {J} cdot mathbf {v}} {c ^ {2}}} right) end {выровнено}}}$

Нерелятивистские приближения

Для скоростей v ≪ c, релятивистский фактор γ ≈ 1, что дает:

${ displaystyle { begin {align} mathbf {E} '& приблизительно mathbf {E} + mathbf {v} times mathbf {B} mathbf {B}' & приблизительно mathbf { B} - { frac {1} {c ^ {2}}} mathbf {v} times mathbf {E} mathbf {J} '& приблизительно mathbf {J} - rho mathbf {v} rho '& приблизительно left ( rho - { frac {1} {c ^ {2}}} mathbf {J} cdot mathbf {v} right) end {выровнено }}}$

так что нет необходимости различать пространственные и временные координаты в Уравнения Максвелла.

Связь между электричеством и магнетизмом

Часть силы между движущимися зарядами мы называем магнитной силой. Это действительно один из аспектов электрического эффекта.

— Ричард Фейнман^[8]

Получение магнетизма из электростатики

Выбранная система отсчета определяет, рассматривается ли электромагнитное явление как эффект электростатики, магнетизма или их комбинации. Авторы обычно выводят магнетизм из электростатики, когда специальная теория относительности и зарядовая инвариантность принимаются во внимание. Лекции Фейнмана по физике (том 2, глава 13-6) использует этот метод для получения «магнитной» силы, действующей на движущийся заряд рядом с токоведущим проводом. См. Также Haskell^[9] и Ландау.^[10]

Поля смешиваются в разных кадрах

Приведенные выше правила преобразования показывают, что электрическое поле в одном кадре дает вклад в магнитное поле в другом кадре, и наоборот.^[11] Это часто описывают, говоря, что электрическое поле и магнитное поле - это два взаимосвязанных аспекта одного объекта, называемого электромагнитное поле. В самом деле, все электромагнитное поле может быть закодировано в одном тензоре ранга 2, называемом электромагнитный тензор; Смотри ниже.

Проблема с подвижным магнитом и проводником

Знаменитый пример смешения электрических и магнитных явлений в разных системах отсчета называется «проблема движущегося магнита и проводника», цитируемый Эйнштейном в его статье 1905 года по специальной теории относительности.

Если проводник движется с постоянной скоростью через поле неподвижного магнита, вихревые токи будет производиться благодаря магнитный сила на электроны в проводнике. В системе покоя проводника, с другой стороны, магнит будет двигаться и проводник неподвижно. Классическая электромагнитная теория предсказывает, что будут возникать точно такие же микроскопические вихревые токи, но они будут происходить из-за электрический сила.^[12]

Ковариантная формулировка в вакууме

Законы и математические объекты в классическом электромагнетизме могут быть записаны в форме, которая явно ковариантный. Здесь это делается только для вакуума (или для микроскопических уравнений Максвелла, без использования макроскопических описаний материалов, таких как электрическая проницаемость ) и использует Единицы СИ.

В этом разделе используются Обозначения Эйнштейна, включая Соглашение о суммировании Эйнштейна. Смотрите также Исчисление Риччи для резюме тензор индексные обозначения и повышение и понижение показателей для определения надстрочного и подстрочного индексов и как переключаться между ними. В Метрический тензор Минковского η здесь метрическая подпись (+ − − −).

Тензор поля и 4-ток

Вышеупомянутые релятивистские преобразования предполагают, что электрическое и магнитное поля связаны вместе в математическом объекте с 6 компонентами: антисимметричный второсортный тензор, или бивектор. Это называется тензор электромагнитного поля, обычно пишется как F^μν. В матричной форме:^[13]

${ displaystyle F ^ { mu nu} = { begin {pmatrix} 0 & -E_ {x} / c & -E_ {y} / c & -E_ {z} / c E_ {x} / c & 0 & -B_ {z} & B_ {y} E_ {y} / c & B_ {z} & 0 & -B_ {x} E_ {z} / c & -B_ {y} & B_ {x} & 0 end {pmatrix}}}$

куда c то скорость света - в натуральные единицы c = 1.

Есть еще один способ слить электрическое и магнитное поля в антисимметричный тензор, заменив E/c → B и B → − E/c, чтобы получить дуальный тензор грамм^μν.

${ displaystyle G ^ { mu nu} = { begin {pmatrix} 0 & -B_ {x} & - B_ {y} & - B_ {z} B_ {x} & 0 & E_ {z} / c & -E_ {y} / c B_ {y} & - E_ {z} / c & 0 & E_ {x} / c B_ {z} & E_ {y} / c & -E_ {x} / c & 0 end {pmatrix}}}$

В контексте специальная теория относительности, оба они преобразуются согласно Преобразование Лоренца в соответствии с

${ Displaystyle F '^ { alpha beta} = Lambda _ { mu} ^ { alpha} Lambda _ { nu} ^ { beta} F ^ { mu nu}}$,

где Λ^α_ν это Преобразование Лоренца тензор для перехода от одной системы отсчета к другой. При суммировании дважды используется один и тот же тензор.

Заряд и плотность тока, источники полей, также объединяются в четырехвекторный

${ displaystyle J ^ { alpha} = left (c rho, J_ {x}, J_ {y}, J_ {z} right)}$

называется четырехканальный.

Уравнения Максвелла в тензорной форме

Используя эти тензоры, Уравнения Максвелла сократить до:^[13]

где частные производные могут быть записаны различными способами, см. 4-градиентный. Первое уравнение, указанное выше, соответствует обоим Закон Гаусса (при β = 0) и Закон Ампера-Максвелла (при β = 1, 2, 3). Второе уравнение соответствует двум оставшимся уравнениям, Закон Гаусса для магнетизма (при β = 0) и Закон Фарадея (при β = 1, 2, 3).

Эти тензорные уравнения имеют вид явно ковариантный, что означает, что уравнения могут быть ковариантными по позициям индексов. Эта краткая форма написания уравнений Максвелла иллюстрирует идею, разделяемую некоторыми физиками, а именно, что законы физики принимают более простую форму, когда записываются с использованием тензоры.

Понижая индексы на F^αβ чтобы получить F_αβ (видеть повышение и понижение показателей ):

${ displaystyle F _ { alpha beta} = eta _ { alpha lambda} eta _ { beta mu} F ^ { lambda mu}}$

второе уравнение можно записать в терминах F_αβ в качестве:

${ displaystyle epsilon ^ { delta alpha beta gamma} { dfrac { partial F _ { beta gamma}} { partial x ^ { alpha}}} = { dfrac { partial F_ { alpha beta}} { partial x ^ { gamma}}} + { dfrac { partial F _ { gamma alpha}} { partial x ^ { beta}}} + { dfrac { partial F _ { beta gamma}} { partial x ^ { alpha}}} = 0}$

куда ${ Displaystyle epsilon ^ { альфа бета гамма дельта}}$ контравариантный Символ Леви-Чивита. Обратите внимание на циклическая перестановка индексов в этом уравнении: ${ displaystyle { begin {array} {rc} & scriptstyle { alpha , , longrightarrow , , beta} & nwarrow _ { gamma} swarrow end {array}}}$.

Другой ковариантный электромагнитный объект - это электромагнитный тензор энергии-импульса, ковариантный тензор ранга 2, включающий Вектор Пойнтинга, Тензор напряжений Максвелла, и плотность электромагнитной энергии.

4-потенциальный

Тензор ЭМ поля также можно записать^[14]

${ displaystyle F ^ { alpha beta} = { frac { partial A ^ { beta}} { partial x _ { alpha}}} - { frac { partial A ^ { alpha}} { partial x _ { beta}}} ,,}$

куда

${ displaystyle A ^ { alpha} = left ({ frac { varphi} {c}}, A_ {x}, A_ {y}, A_ {z} right) ,,}$

это четырехпотенциальный и

${ Displaystyle х _ { альфа} = (ct, -x, -y, -z)}$

это четырехпозиционный.

Используя 4-потенциал в калибровке Лоренца, альтернативную явно ковариантную формулировку можно найти в одном уравнении (обобщение уравнения из-за Бернхард Риманн к Арнольд Зоммерфельд, известное как уравнение Римана – Зоммерфельда,^[15] или ковариантная форма уравнений Максвелла^[16]):

куда ${ displaystyle Box}$ это д'Аламбертиан оператор, или четырехлапласиан. Для более полного представления этих тем см. Ковариантная формулировка классического электромагнетизма.

Смотрите также

• Математика электромагнитного поля
• Релятивистский электромагнетизм
• Галилеевская неинвариантность классического электромагнетизма

Сноски