Вектор Римана – Зильберштейна - Riemann–Silberstein vector

Статьи о
Электромагнетизм
Электричество Магнетизм История Учебники
Электростатика Электрический заряд Закон Кулона Дирижер Плотность заряда Разрешающая способность Электрический дипольный момент Электрическое поле Электрический потенциал Электрический поток  / потенциальная энергия Электростатический разряд Закон Гаусса Индукция Изолятор Плотность поляризации Статичное электричество Трибоэлектричество
Магнитостатика Закон Ампера Закон Био – Савара Закон Гаусса для магнетизма Магнитное поле Магнитный поток Магнитный дипольный момент Магнитная проницаемость Магнитный скалярный потенциал Намагничивание Магнитодвижущая сила Правило правой руки
Электродинамика Закон силы Лоренца Электромагнитная индукция Закон Фарадея Закон Ленца Ток смещения Магнитный векторный потенциал Уравнения Максвелла Электромагнитное поле Электромагнитный импульс Электромагнитное излучение Тензор Максвелла Вектор Пойнтинга Потенциал Льенара – Вихерта Уравнения Ефименко Вихревой ток Уравнения Лондона Математические описания электромагнитного поля
Электрическая сеть Переменный ток Емкость Постоянный ток Электрический ток Электролиз Плотность тока Джоулевое нагревание Электродвижущая сила Импеданс Индуктивность Закон Ома Параллельная схема Сопротивление Резонансные полости Последовательная схема Напряжение Волноводы
Ковариантная формулировка Электромагнитный тензор (тензор энергии-импульса ) Четырехтоковый Электромагнитный четырехпотенциальный
Ученые Ампер Биот Кулон Дэви Эйнштейн Фарадей Физо Гаусс Хевисайд Генри Герц Джоуль Ленц Лоренц Максвелл Ørsted Ом Ричи Savart Певица Тесла Вольта Вебер

В математическая физика, особенно электромагнетизм, то Вектор Римана – Зильберштейна^[1] или же Вектор Вебера^[2][3] названный в честь Бернхард Риманн, Генрих Мартин Вебер и Людвик Зильберштейн, (или иногда неоднозначно называемое «электромагнитным полем») является сложный вектор который сочетает в себе электрическое поле E и магнитное поле B.

История

Генрих Мартин Вебер опубликовал четвертое издание «Уравнений в частных производных математической физики по лекциям Римана» в двух томах (1900 и 1901). Однако Вебер указал в предисловии к первому тому (1900 г.), что это четвертое издание было полностью переписано на основе его собственных лекций, а не лекций Римана, и что ссылка на «лекции Римана» осталась только в названии, потому что общая концепция осталась то же самое, и что он продолжил работу в духе Римана.^[4] Во втором томе (1901, § 138, стр. 348) Вебер продемонстрировал, как объединить уравнения Максвелла, используя ${ Displaystyle { mathfrak {E}} + я { mathfrak {M}}}$.^[5] Действительная и мнимая составляющие уравнения

${ displaystyle operatorname {curl} ({ mathfrak {E}} + i { mathfrak {M}}) = { frac {i} {c}} { frac { partial ({ mathfrak { E}} + i { mathfrak {M}})} { partial t}}}$

представляют собой интерпретацию уравнений Максвелла без зарядов и токов. Он был независимо открыт заново и доработан Людвик Зильберштейн в 1907 г.^[6][7]

Определение

Учитывая электрическое поле E и магнитное поле B определены на общем область, край из пространство-время, вектор Римана – Зильберштейна равен

${ Displaystyle mathbf {F} = mathbf {E} + ic mathbf {B},}$

куда c это скорость света, причем некоторые авторы предпочитают умножать правую часть на общую константу ${ displaystyle { sqrt { epsilon _ {0} / 2}}}$, куда ε₀ это диэлектрическая проницаемость свободного пространства. Это аналог электромагнитный тензор F, а 2-вектор используется в ковариантная формулировка классического электромагнетизма.

В формулировке Зильберштейна я был определен как мнимая единица, и F был определен как усложненный 3-х мерный векторное поле, называется бивектор поле.^[8]

Заявление

Вектор Римана – Зильберштейна используется как точка отсчета в геометрическая алгебра формулировка электромагнетизма. Максвелла четыре уравнения в векторное исчисление сократить до один уравнение в алгебра физического пространства:

${ displaystyle left ({ frac {1} {c}} { dfrac { partial} { partial t}} + { boldsymbol { nabla}} right) mathbf {F} = { frac {1} { epsilon _ {0}}} left ( rho - { frac {1} {c}} mathbf {J} right).}$

Выражения для фундаментальные инварианты и плотность энергии и импульс Плотность также принимает простые формы:

${ Displaystyle mathbf {F} ^ {2} = mathbf {E} ^ {2} -c ^ {2} mathbf {B} ^ {2} + 2ic mathbf {E} cdot mathbf {B }}$

${ displaystyle { frac { epsilon _ {0}} {2}} mathbf {F} ^ { dagger} mathbf {F} = { frac { epsilon _ {0}} {2}} слева ( mathbf {E} ^ {2} + c ^ {2} mathbf {B} ^ {2} right) + { frac {1} {c}} mathbf {S},}$

куда S это Вектор Пойнтинга.

Вектор Римана – Зильберштейна используется для точные матричные представления уравнений Максвелла в неоднородной среде с источниками.^[1][9]

Волновая функция фотона

В 1996 г. вклад в квантовая электродинамика, Иво Бялыницки-Бирула использовал вектор Римана – Зильберштейна в качестве основы для подхода к фотон, отмечая, что это "комплексная вектор-функция пространственных координат р и время т который адекватно описывает квантовое состояние одиночного фотона ». Чтобы выразить вектор Римана – Зильберштейна, говоря современным языком, делается переход:

С появлением спинор При исчислении, которое заменило кватернионное исчисление, трансформационные свойства вектора Римана-Зильберштейна стали еще более прозрачными ... симметричный спинор второго ранга.

Бялыницки-Бирула признает, что волновая функция фотона является спорным понятием и что она не может обладать всеми свойствами Шредингер волновые функции нерелятивистской волновой механики. Тем не менее, защита строится на основе практических соображений: она полезна для описания квантовых состояний возбуждения свободного поля, электромагнитных полей, действующих на среду, возбуждения в вакууме виртуальных позитрон-электронных пар и представления фотона среди квантовых частиц, которые действительно имеют волновые функции.

Уравнение Шредингера для фотона и соотношения неопределенностей Гейзенберга

Умножая два зависящих от времени уравнения Максвелла на ${ displaystyle hbar}$ уравнение Шредингера для фотона в вакууме имеет вид

${ displaystyle i hbar partial _ {t} { mathbf {F}} = c ( mathbf {S} cdot { hbar over i} nabla) mathbf {F} = c ( mathbf { S} cdot mathbf {p}) mathbf {F}}$

куда ${ displaystyle { mathbf {S}}}$ вектор построен из вращение длины 1 матрицы генерирует полные бесконечно малые вращения 3-спинорной частицы. Таким образом, можно заметить, что гамильтониан в уравнении Шредингера фотона - это проекция его спина 1 на его импульс, поскольку нормальный оператор импульса появляется в результате объединения частей вращения.

В отличие от волновой функции электрона квадрат модуля волновой функции фотона (вектор Римана-Зильбертейна) не является безразмерным и должен быть умножен на «локальную длину волны фотона» с соответствующей степенью, чтобы получить безразмерное выражение для нормализации, т.е. экзотическим способом с интегральным ядром

${ displaystyle | mathbf {F} | = {1 over hbar c} int { mathbf {F} ^ {*} (x) cdot mathbf {F} (x ') over | x-x '| ^ {2}} dx ^ {3} dx' ^ {3} = 1}$

Два остаточных уравнения Максвелла являются лишь ограничениями, т.е.

${ Displaystyle набла cdot mathbf {F} = 0}$

и они автоматически выполняются все время, если выполняются только в начальное время ${ displaystyle t = 0}$, т.е.

${ Displaystyle mathbf {F} (0) = набла раз mathbf {G}}$

куда ${ displaystyle mathbf {G}}$любой сложный векторное поле с неисчезающим вращение, или это векторный потенциал для вектора Римана – Зильберштейна.

Имея волновую функцию фотона, можно оценить соотношения неопределенностей для фотона.^[10] Это показывает, что фотоны «более квантовые», чем электрон, в то время как их неопределенность положения и импульса выше. Естественные кандидаты для оценки неопределенности - это естественный импульс, подобный проекции ${ displaystyle E / c}$ или же ${ displaystyle H / c}$ из формулы Эйнштейна для фотоэффекта и простейшей теории квантов и ${ displaystyle r}$, неопределенность вектора длины позиции.

Воспользуемся общим соотношением неопределенности для операторов ${ displaystyle A, B}$

${ displaystyle sigma _ {A} sigma _ {B} geq { frac {1} {2}} left | langle [{ hat {A}}, { hat {B}}] рангл право |.}$

Нам нужно соотношение неопределенностей для ${ displaystyle sigma _ {r} sigma _ {p}}$ т.е. для операторов

${ displaystyle r ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}$

${ Displaystyle p ^ {2} = ( mathbf {S} cdot mathbf {p}) ^ {2}}$

Первый шаг - найти вспомогательный оператор ${ displaystyle { tilde {r}}}$ так что это отношение можно использовать напрямую. Сначала проделаем тот же трюк для ${ displaystyle r}$ что Дирак вычислил квадратный корень из оператора Клейна-Гордона, чтобы получить Уравнение Дирака:

${ displaystyle { tilde {r}} = alpha _ {1} x + alpha _ {2} y + alpha _ {3} z}$

куда ${ displaystyle alpha _ {я}}$ находятся матрицы из уравнения Дирака:

${ Displaystyle альфа _ {я} ^ {2} = 1}$

${ displaystyle alpha _ {i} alpha _ {k} + alpha _ {k} alpha _ {i} = 2 delta _ {ik}}$

Следовательно, мы имеем

${ Displaystyle { тильда {г}} ^ {2} = г ^ {2}}$

Поскольку спиновые матрицы 1 только ${ displaystyle 3 times 3}$ для вычисления коммутатора в том же пространстве мы аппроксимируем спиновые матрицы угловой момент матрицы частицы длиной ${ displaystyle 3/2 приблизительно 1}$ при падении умножения ${ displaystyle 1/2}$ поскольку результирующие уравнения Максвелла в четырех измерениях выглядели бы слишком искусственно по сравнению с оригиналом (в качестве альтернативы мы можем сохранить исходный ${ displaystyle 1/2}$ факторов, но нормализовать новый 4-спинор до 2 как 4 скалярных частицы, нормированных на 1/2):

${ Displaystyle { тильда {п}} ^ {2} = ( mathbf { тильда {L}} cdot mathbf {p}) ^ {2}}$

Теперь мы можем легко вычислить коммутатор при вычислении коммутаторов ${ displaystyle alpha _ {я}}$ матрицы и масштабированные ${ Displaystyle { тильда {L}} _ {я}}$ и заметив, что симметричное гауссовское состояние ${ displaystyle e ^ {- ar ^ {2}}}$ уничтожает в среднем члены, содержащие смешанные переменные, такие как${ displaystyle xp_ {y}}$.Расчет 9 коммутаторов (смешанный может быть нулевым по гауссовскому примеру и ${ Displaystyle L_ {z} alpha _ {z} = alpha _ {z} L_ {z} = 0}$ так как эти матрицы контрдиагональны) и оценивая члены по норме полученного ${ displaystyle 4 times 4}$ матрица, содержащая четыре ${ displaystyle 2 { sqrt {3}}}$ факторы, дающие квадрат наиболее естественного ${ displaystyle L2,1}$ норма этой матрицы в качестве ${ Displaystyle 48 приблизительно 49 = 7 ^ {2} приблизительно 8 ^ {2}}$ и используя неравенство нормы для оценки

${ displaystyle lVert mathbf {A} mathbf {x} rVert leq lVert mathbf {A} rVert lVert mathbf {x} rVert приблизительно lVert mathbf {A} rVert lVert mathbf {x} rVert}$

мы получаем

${ displaystyle left | langle [{ tilde {r}}, { tilde {p}}] rangle right | geq 8 hbar.}$

или же

${ displaystyle sigma _ {r} sigma _ {p} geq 4 hbar}$

что намного больше, чем для массовой частицы в 3-х измерениях, т.е.

${ displaystyle sigma _ {r} sigma _ {p} geq { frac {3} {2}} hbar}$

и поэтому фотоны оказываются частицами ${ displaystyle 8/3}$ раз или почти в 3 раза «квантовее», чем частицы с массой, подобной электрону.

Рекомендации