Бивектор (комплекс) - Википедия - Bivector (complex)

В математика, а бивектор является векторной частью бикватернион. Для бикватерниона q = ш + Икся + уj + zk, ш называется бискалар и Икся + уj + zk это его бивектор часть. Координаты ш, Икс, у, z находятся сложные числа с мнимая единица час:

${ displaystyle x = x_ {1} + mathrm {h} x_ {2}, y = y_ {1} + mathrm {h} y_ {2}, z = z_ {1} + mathrm {h } z_ {2}, quad mathrm {h} ^ {2} = - 1 = mathrm {i} ^ {2} = mathrm {j} ^ {2} = mathrm {k} ^ {2} .}$

Бивектор можно записать как сумму действительной и мнимой частей:

${ displaystyle (x_ {1} mathrm {i} + y_ {1} mathrm {j} + z_ {1} mathrm {k}) + mathrm {h} (x_ {2} mathrm {i} + y_ {2} mathrm {j} + z_ {2} mathrm {k})}$

куда ${ displaystyle r_ {1} = x_ {1} mathrm {i} + y_ {1} mathrm {j} + z_ {1} mathrm {k}}$ и ${ displaystyle r_ {2} = x_ {2} mathrm {i} + y_ {2} mathrm {j} + z_ {2} mathrm {k}}$ находятся векторов.Таким образом, бивектор ${ displaystyle q = x mathrm {i} + y mathrm {j} + z mathrm {k} = r_ {1} + mathrm {h} r_ {2}.}$^[1]

В Алгебра Ли из Группа Лоренца выражается бивекторами. В частности, если р₁ и р₂ находятся правильные версоры так что ${ displaystyle r_ {1} ^ {2} = - 1 = r_ {2} ^ {2}}$, то бикватернионная кривая {exp θr₁ : θ ∈ р} следы снова и снова единичный круг в плоскости {Икс + год₁ : Икс, у ∈ р}. Такой круг соответствует параметрам пространственного вращения группы Лоренца.

Сейчас же (часр₂)² = (−1)(−1) = +1, а бикватернионная кривая {exp θ(часр₂) : θ ∈ р} это гипербола единиц в плоскости {Икс + год₂ : Икс, у ∈ р}. Преобразования пространства-времени в группе Лоренца, приводящие к Сокращения Фитцджеральда и замедление времени зависеть от гиперболический угол параметр. По словам Рональда Шоу, «бивекторы - это логарифмы преобразований Лоренца».^[2]

В коммутатор произведение этой алгебры Ли вдвое больше перекрестное произведение на р³, например, [i, j] = ij - ji = 2k, что вдвое больше я × jКак писал Шоу в 1970 году:

Теперь хорошо известно, что алгебру Ли однородной группы Лоренца можно рассматривать как алгебру бивекторов при коммутации. [...] Алгебра Ли бивекторов - это, по сути, алгебра комплексных 3-векторов, причем произведение Ли определяется как знакомое перекрестное произведение в (комплексном) 3-мерном пространстве.^[3]

Уильям Роуэн Гамильтон придумал оба термина вектор и бивектор. Первый член был назван с кватернионами, а второй примерно десятью годами позже, как в Лекции по кватернионам (1853).^[1]:665 Популярный текст Векторный анализ (1901) использовали этот термин.^[4]:249

Учитывая бивектор р = р₁ + чр₂, то эллипс для которого р₁ и р₂ пара сопряженные полудиаметры называется направленный эллипс бивектора р.^[4]:436

В стандартном линейном представлении бикватернионы как комплексные матрицы 2 × 2 действуя на комплексная плоскость с основа {1, h},

${ displaystyle { begin {pmatrix} hv & w + hx - w + hx & -hv end {pmatrix}}}$ представляет собой бивектор q = vя + шj + Иксk.

В сопряженный транспонировать этой матрицы соответствует -q, поэтому представление бивектора q это косоэрмитова матрица.

Людвик Зильберштейн изучил усложненный электромагнитное поле E + чB, где есть три компонента, каждая из которых представляет собой комплексное число, известное как Вектор Римана-Зильберштейна.^[5][6]

«Бивекторы [...] помогают описывать эллиптически поляризованные однородные и неоднородные плоские волны - один вектор для направления распространения, другой для амплитуды».^[7]

Рекомендации