Гипербола единиц - Википедия - Unit hyperbola

Единичная гипербола - синяя, сопряженная - зеленая, а асимптоты - красные.

В геометрия, то гипербола единиц - множество точек (х, у) в Декартова плоскость которые удовлетворяют неявное уравнение ${ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2} = 1.}$ При изучении неопределенные ортогональные группы, единичная гипербола составляет основу альтернативная радиальная длина

${ displaystyle r = { sqrt {x ^ {2} -y ^ {2}}}.}$

В то время как единичный круг окружает его центр, единичная гипербола требует сопряженная гипербола ${ displaystyle y ^ {2} -x ^ {2} = 1}$ чтобы дополнить его в самолете. Эта пара гипербол разделяет асимптоты у = Икс и у = −Икс. Когда используется сопряжение единичной гиперболы, альтернативная радиальная длина равна ${ displaystyle r = { sqrt {y ^ {2} -x ^ {2}}}.}$

Единичная гипербола - это частный случай прямоугольная гипербола, с особым ориентация, место расположения, и шкала. Таким образом, его эксцентриситет равно ${ displaystyle { sqrt {2}}.}$^[1]

Единичная гипербола находит приложения, в которых окружность должна быть заменена гиперболой для целей аналитической геометрии. Ярким примером является изображение пространство-время как псевдоевклидово пространство. Здесь асимптоты единичной гиперболы образуют световой конус. Далее внимание к областям гиперболические сектора к Грегуар де Сент-Винсент привело к логарифмической функции и современной параметризации гиперболы по секторам. Когда понимаются понятия сопряженных гипербол и гиперболических углов, тогда классический сложные числа, построенные вокруг единичной окружности, можно заменить числами, построенными вокруг единичной гиперболы.

Асимптоты

Обычно говорят, что асимптотические линии кривой сходятся к кривой. В алгебраическая геометрия и теория алгебраические кривые есть другой подход к асимптотам. Кривая сначала интерпретируется в проективная плоскость с помощью однородные координаты. Тогда асимптоты - это прямые, касающиеся проективной кривой в точке точка в бесконечности, таким образом устраняя необходимость в концепции расстояния и конвергенции. В общей структуре (х, у, г) - однородные координаты с линия на бесконечности определяется уравнением z = 0. Например, К. Г. Гибсон писал:^[2]

Для стандартной прямоугольной гиперболы ${ displaystyle f = x ^ {2} -y ^ {2} -1}$ в ℝ², соответствующая проективная кривая есть ${ Displaystyle F = х ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2},}$ который встречает z = 0 в точках п = (1: 1: 0) и Q = (1: -1: 0). Обе п и Q находятся просто на F, с касательными Икс + у = 0, Икс − у = 0; таким образом мы восстанавливаем знакомые «асимптоты» элементарной геометрии.

Диаграмма Минковского

Диаграмма Минковского нарисована в плоскости пространства-времени, где пространственный аспект ограничен одним измерением. Единицы измерения расстояния и времени на такой плоскости следующие:

• блоки длиной 30 сантиметров и наносекунды, или же
• астрономические единицы и интервалы 8 минут и 20 секунд, или
• световых лет и годы.

Каждая из этих шкал координат приводит к фотон связи событий по диагонали склон плюс или минус один. Пять элементов составляют диаграмму Герман Минковски используется для описания преобразований теории относительности: единичная гипербола, сопряженная ей гипербола, оси гиперболы, диаметр единичной гиперболы и сопряженный диаметр Самолет с осями относится к покоящимся точка зрения. Диаметр единичной гиперболы представляет собой систему отсчета в движении с быстрота а где танх а = у/Икс и (Икс,у) - конец диаметра на единичной гиперболе. Сопряженный диаметр представляет собой пространственная гиперплоскость одновременности соответствует быстроте аВ этом контексте единичная гипербола является калибровочная гипербола^[3][4]Обычно в теории относительности гипербола с вертикальной осью считается первичной:

Стрелка времени идет снизу вверх по рисунку - соглашение, принятое Ричард Фейнман в его знаменитых диаграммах. Пространство представлено плоскостями, перпендикулярными оси времени. Здесь и сейчас - особенность посередине.^[5]

Соглашение о вертикальной оси времени происходит от Минковского в 1908 году и также показано на странице 48 книги Эддингтона. Природа физического мира (1928).

Параметризация

Ветви единичной гиперболы развиваются как точки ${ Displaystyle ( сп а, зп а)}$ и ${ Displaystyle (- сп а, - зп а)}$ в зависимости от параметра гиперболического угла ${ displaystyle a}$.

Прямой способ параметризации единичной гиперболы начинается с гиперболы ху = 1 параметризовано экспоненциальная функция: ${ displaystyle (e ^ {t}, e ^ {- t}).}$

Эта гипербола превращается в единичную гиперболу линейное отображение имея матрицу ${ Displaystyle A = { tfrac {1} {2}} { begin {pmatrix} 1 & 1 1 & -1 end {pmatrix}} :}$

${ displaystyle (е ^ {t}, e ^ {- t}) A = ({ frac {e ^ {t} + e ^ {- t}} {2}}, { frac {e ^ {t} -e ^ {- t}} {2}}) = ( ch t, ​​ sinh t).}$

Этот параметр т является гиперболический угол, какой аргумент из гиперболические функции.

Можно найти раннее выражение параметризованной гиперболы единицы в Элементы динамического (1878) по В. К. Клиффорд. Он описывает квазигармоническое движение в гиперболе следующим образом:

Движение ${ displaystyle rho = альфа cosh (nt + epsilon) + beta sinh (nt + epsilon)}$ имеет некоторые любопытные аналогии с эллиптическим гармоническим движением. ... Ускорение ${ Displaystyle { ddot { rho}} = п ^ {2} rho ;}$ таким образом, он всегда пропорционален расстоянию от центра, как в эллиптическом гармоническом движении, но направлен прочь от центра.^[6]

В частности конический, гипербола может быть параметризована путем сложения точек на конике. Следующее описание дали российские аналитики:

Зафиксируйте точку E на конусе. Рассмотрим точки, в которых проведена прямая линия E параллельно AB пересекает конику второй раз, чтобы быть сумма точек A и B.

Для гиперболы ${ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2} = 1}$ с фиксированной точкой E = (1,0) сумма баллов ${ displaystyle (x_ {1}, y_ {1})}$ и ${ displaystyle (x_ {2}, y_ {2})}$ это суть ${ displaystyle (x_ {1} x_ {2} + y_ {1} y_ {2}, y_ {1} x_ {2} + y_ {2} x_ {1})}$ при параметризации ${ Displaystyle х = сш т}$ и ${ Displaystyle у = зп т}$ это добавление соответствует добавлению параметра т.^[7]

Комплексная плоская алгебра

В то время как единичный круг связан с сложные числа, гипербола единицы является ключом к плоскость с расщепленными комплексными числами состоящий из z = Икс + yj, куда j ² = + 1, тогда jz = y + xj, поэтому действие j на самолете стоит поменять координаты местами. В частности, это действие меняет местами единичную гиперболу с ее сопряженной и меняет местами пары сопряженные диаметры гипербол.

В терминах параметра гиперболического угла а, единичная гипербола состоит из точек

${ Displaystyle pm ( сш а + д зп а)}$, куда j = (0,1).

Правая ветвь единичной гиперболы соответствует положительному коэффициенту. По сути, эта ветка является изображением экспоненциальная карта действуя на j-ось. С

${ Displaystyle ехр (aj) ехр (bj) = ехр ((а + b) j)}$,

филиал группа при умножении. в отличие от круговая группа, эта группа единичной гиперболы нет компактный.Как и на обычной комплексной плоскости, точка не на диагоналях имеет полярное разложение с использованием параметризации единичной гиперболы и альтернативной радиальной длины.

Рекомендации

• Ф. Риз Харви (1990) Спиноры и калибровки, Рисунок 4.33, стр. 70, Академическая пресса, ISBN  0-12-329650-1 .