Четырехмерное пространство - Four-dimensional space

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален Найдите источники: «Четырехмерное пространство»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Декабрь 2016 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

4D эквивалент куб известен как тессеракт, здесь он вращается в четырехмерном пространстве, но спроецирован в два измерения для отображения.

Геометрия
Проектирование а сфера к самолет
Контур История
ветви Евклидово Неевклидово Эллиптический Сферический Гиперболический Неархимедова геометрия Проективный Аффинный Синтетический Аналитический Алгебраический Арифметика Диофантин Дифференциальный Риманов Симплектический Дискретный дифференциал Сложный Конечный Дискретный / Комбинаторный Цифровой Выпуклый Вычислительная Фрактал Заболеваемость
Концепции Функции Измерение Конструкции линейки и компаса Угол Изгиб Диагональ Ортогональность (Перпендикуляр ) Параллельный Вершина Конгруэнтность Сходство Симметрия
Нульмерный Точка
Одномерный Линия сегмент луч Длина
Двумерный Самолет Площадь Многоугольник Треугольник Высота Гипотенуза теорема Пифагора Параллелограмм Квадрат Прямоугольник Ромб Ромбовидный Четырехугольник Трапеция летающий змей Круг Диаметр Длина окружности Площадь
Трехмерный Объем Куб кубовид Цилиндр Пирамида Сфера
Четыре - / другое измерение Тессеракт Гиперсфера
Геометры
по имени Аида Арьябхата Ахмес Альхазен Аполлоний Архимед Атья Баудхаяна Бойяи Брахмагупта Картан Coxeter Декарт Евклид Эйлер Гаусс Громов Гильберта Джиешхадева Катьяяна Хайям Кляйн Лобачевский Манава Минковский Минггату Паскаль Пифагор Парамешвара Пуанкаре Риман Сакабэ Sijzi ат-Туси Веблен Вирасена Ян Хуэй аль-Ясамин Чжан Список геометров
по периоду До н.э. Ахмес Баудхаяна Манава Пифагор Евклид Архимед Аполлоний 1–1400 Чжан Катьяяна Арьябхата Брахмагупта Вирасена Альхазен Sijzi Хайям аль-Ясамин ат-Туси Ян Хуэй Парамешвара 1400–1700 гг. Джиешхадева Декарт Паскаль Минггату Эйлер Сакабэ Аида 1700–1900 гг. Гаусс Лобачевский Бойяи Риман Кляйн Пуанкаре Гильберта Минковский Картан Веблен Coxeter Сегодняшний день Атья Громов

А четырехмерное пространство (4D) является математическим расширением концепции трехмерного или трехмерного пространства. Трехмерное пространство - простейшая абстракция наблюдения, что нужно всего три числа, называемая размеры, чтобы описать размеры или расположение предметов в повседневном мире. Например, объем прямоугольной коробки можно найти, измерив и умножив ее длину, ширину и высоту (часто обозначаемые Икс, у, и z).

Идея добавления четвертого измерения началась с Жан ле Ронд д'Аламбер "Размеры" опубликованы в 1754 г.^[1][2] последовал Жозеф-Луи Лагранж в середине 1700-х годов и завершилась точной формализацией концепции в 1854 г. Бернхард Риманн. В 1880 г. Чарльз Ховард Хинтон популяризировал эти идеи в эссе под названием "Что такое четвертое измерение? ", который объяснил концепцию"четырехмерный куб "с пошаговым обобщением свойств линий, квадратов и кубов. Простейшая форма метода Хинтона - это рисование двух обычных трехмерных кубов в двухмерном пространстве, один из которых окружает другой, разделенных« невидимым »расстоянием, а затем нарисуйте линии между их эквивалентными вершинами. Это можно увидеть в сопровождающей анимации, когда она показывает меньший внутренний куб внутри большего внешнего куба. Восемь линий, соединяющих вершины двух кубов, в этом случае представляют собой одно направление в «невидимом» четвертом измерении.

Пространства более высоких измерений (то есть больше трех) с тех пор стали одной из основ для формального выражения современной математики и физики. Большая часть этих тем не могла бы существовать в их нынешних формах без использования таких пространств. Эйнштейна идея пространство-время использует такое 4D пространство, хотя и имеет Минковский структура, которая немного сложнее, чем Евклидово 4D пространство.

Отдельные местоположения в четырехмерном пространстве могут быть заданы как векторов или же n-кортежи, то есть в виде упорядоченных списков чисел, таких как (т, х, у, г). Только когда такие места соединяются в более сложные формы, появляется полное богатство и геометрическая сложность пространств более высоких измерений. Намек на эту сложность можно увидеть в сопровождающей 2D-анимации одного из простейших возможных 4D-объектов, тессеракт (эквивалент 3D куб; смотрите также Гиперкуб ).

История

Лагранж написал в своем Mécanique analytique (опубликовано в 1788 г., на основе работ, выполненных около 1755 г.), что механика можно рассматривать как действие в четырехмерном пространстве - трех измерениях пространства и одного измерения времени.^[3] В 1827 г. Мебиус понял, что четвертое измерение позволит трехмерной форме вращаться на ее зеркальном отображении,^[4]:141 и к 1853 г. Людвиг Шлефли открыл много многогранники в более высоких измерениях, хотя его работа не была опубликована до его смерти.^{[4]:142–143} Высшие измерения вскоре были поставлены на твердую основу. Бернхард Риманн 1854 год Тезис, Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen, в котором он считал "точкой" любую последовательность координат (Икс₁, ..., Икс_п). Возможность геометрии в высшие измерения, включая, в частности, четыре измерения.

Арифметика четырех измерений, называемая кватернионы был определен Уильям Роуэн Гамильтон в 1843 году. ассоциативная алгебра был источником науки о векторный анализ в трех измерениях, как описано в История векторного анализа. Вскоре после тессарины и кокватернионы были введены как другие четырехмерные алгебры над р.

Одним из первых крупных исследователей четвертого измерения был Чарльз Ховард Хинтон, начиная с 1880 года своим эссе Что такое четвертое измерение?; опубликовано в Дублинский университет журнал.^[5] Он придумал термины тессеракт, ана и ката в его книге Новая эра мысли, и представил метод визуализации четвертого измерения с помощью кубов в книге Четвертое измерение.^[6][7]

Идеи Хинтона вдохновили Фэнтези на создание «Церкви четвертого измерения», представленной Мартин Гарднер в его январе 1962 г. "Колонка "Математические игры" " в Scientific American. В 1886 г. Виктор Шлегель описанный^[8] его метод визуализации четырехмерных объектов с Диаграммы Шлегеля.

В 1908 г. Герман Минковски представил документ^[9] закрепление роли времени как четвертого измерения пространство-время, основа для Эйнштейна теории специальный и общая теория относительности.^[10] Но геометрия пространства-времени, будучи неевклидов, глубоко отличается от популяризированного Хинтоном. Изучение Пространство Минковского требовала новой математики, совершенно отличной от математики четырехмерного евклидова пространства, и поэтому развивалась по совершенно другим направлениям. Это разделение было менее четким в массовом воображении, поскольку художественные и философские произведения размывали это различие, поэтому в 1973 году Х. С. М. Кокстер чувствовал себя вынужденным написать:

Мало что можно получить, если представить четвертое евклидово измерение как время. Фактически, эта идея, столь привлекательно развитая Г. Г. Уэллс в Машина времени, руководил такими авторами, как Джон Уильям Данн (Эксперимент со временем) в серьезное заблуждение относительно теории относительности. Геометрия пространства-времени Минковского нет Евклидово и, следовательно, не имеет отношения к настоящему исследованию.

— Х. С. М. Кокстер, Правильные многогранники^[4]:119

Векторы

Математически четырехмерное пространство - это пространство с четырьмя пространственными измерениями, то есть Космос которому нужны четыре параметра, чтобы указать точка в этом. Например, общая точка может иметь положение вектор а, равно

${ displaystyle mathbf {a} = { begin {pmatrix} a_ {1} a_ {2} a_ {3} a_ {4} end {pmatrix}}.}$

Это можно записать в терминах четырех стандартная основа векторы (е₁, е₂, е₃, е₄), заданный

${ displaystyle mathbf {e} _ {1} = { begin {pmatrix} 1 0 0 0 end {pmatrix}}; mathbf {e} _ {2} = { begin { pmatrix} 0 1 0 0 end {pmatrix}}; mathbf {e} _ {3} = { begin {pmatrix} 0 0 1 0 end {pmatrix} }; mathbf {e} _ {4} = { begin {pmatrix} 0 0 0 1 end {pmatrix}},}$

так что общий вектор а является

${ displaystyle mathbf {a} = a_ {1} mathbf {e} _ {1} + a_ {2} mathbf {e} _ {2} + a_ {3} mathbf {e} _ {3} + a_ {4} mathbf {e} _ {4}.}$

Векторы складываются, вычитаются и масштабируются как в трех измерениях.

В скалярное произведение евклидова трехмерного пространства обобщается до четырех измерений как

${ displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} = a_ {1} b_ {1} + a_ {2} b_ {2} + a_ {3} b_ {3} + a_ {4} b_ {4 }.}$

Его можно использовать для расчета норма или же длина вектора,

${ displaystyle left | mathbf {a} right | = { sqrt { mathbf {a} cdot mathbf {a}}} = { sqrt {a_ {1} ^ {2} + a_ {2 } ^ {2} + a_ {3} ^ {2} + a_ {4} ^ {2}}},}$

и вычислить или определить угол между двумя ненулевыми векторами как

${ displaystyle theta = arccos { frac { mathbf {a} cdot mathbf {b}} { left | mathbf {a} right | left | mathbf {b} right |}} .}$

Пространство-время Минковского - это четырехмерное пространство с геометрией, определяемой невырожденным спаривание отличается от скалярного произведения:

${ displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} = a_ {1} b_ {1} + a_ {2} b_ {2} + a_ {3} b_ {3} -a_ {4} b_ {4 }.}$

Например, квадрат расстояния между точками (0,0,0,0) и (1,1,1,0) равен 3 как в евклидовом, так и в четырехмерном пространстве Минковского, в то время как квадрат расстояния между (0,0,0,0) , 0,0) и (1,1,1,1) равно 4 в евклидовом пространстве и 2 в пространстве Минковского; увеличение ${ displaystyle b_ {4}}$ фактически уменьшает метрическое расстояние. Это приводит ко многим хорошо известным очевидным «парадоксам» теории относительности.

В перекрестное произведение не определяется в четырех измерениях. Вместо этого внешний продукт используется для некоторых приложений и определяется следующим образом:

${ displaystyle { begin {align} mathbf {a} wedge mathbf {b} = (a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1}) mathbf {e} _ {12} + (a_ {1} b_ {3} -a_ {3} b_ {1}) mathbf {e} _ {13} + (a_ {1} b_ {4} -a_ {4} b_ {1}) mathbf {e} _ {14} + (a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2}) mathbf {e} _ {23} + (a_ {2} b_ {4} - a_ {4} b_ {2}) mathbf {e} _ {24} + (a_ {3} b_ {4} -a_ {4} b_ {3}) mathbf {e} _ {34}. end {выровнено}}}$

Это бивектор ценится, с бивекторами в четырех измерениях, образующими шестимерный линейное пространство с базисом (е₁₂, е₁₃, е₁₄, е₂₃, е₂₄, е₃₄). Их можно использовать для создания вращений в четырех измерениях.

Ортогональность и словарный запас

В привычном трехмерном пространстве повседневной жизни есть три оси координат - обычно обозначается Икс, у, и z—С каждой осью ортогональный (т.е. перпендикулярно) двум другим. Шесть сторон света в этом пространстве можно назвать вверх, вниз, Восток, Запад, север, и юг. Позиции по этим осям можно назвать высота, долгота, и широта. Длины, измеренные по этим осям, можно назвать высота, ширина, и глубина.

Для сравнения, четырехмерное пространство имеет дополнительную координатную ось, ортогональную остальным трем, которая обычно обозначается ш. Чтобы описать два дополнительных основных направления, Чарльз Ховард Хинтон придумал термины ана и ката, от греческих слов, означающих «вверх по направлению» и «вниз от» соответственно. Позиция вдоль ш ось можно назвать верность, как придумано Генри Мор.

Как упоминалось выше, Герман Минковский использовал идею четырех измерений для обсуждения космологии, включая конечное скорость света. Добавляя временное измерение к трехмерному пространству, он указал альтернативную перпендикулярность, гиперболическая ортогональность. Это понятие придает его четырехмерному пространству модифицированную форму. одновременность соответствующий электромагнитным отношениям в его космосе. Мир Минковского преодолел проблемы, связанные с традиционными абсолютное пространство и время космология ранее использовалась во вселенной трех пространственных измерений и одного измерения времени.

Геометрия

Геометрия четырехмерного пространства намного сложнее, чем у трехмерного пространства, из-за дополнительной степени свободы.

Так же, как в трех измерениях многогранники из двухмерных полигоны, в четырех измерениях 4-многогранники из многогранников. В трех измерениях есть 5 правильных многогранников, известных как Платоновы тела. В четырех измерениях есть 6 выпуклые правильные 4-многогранники, аналоги Платоновых тел. Ослабление условий регулярности порождает еще 58 выпуклых равномерные 4-многогранники, аналогично 13 полурегулярным Архимедовы тела в трех измерениях. Ослабление условий выпуклости порождает еще 10 невыпуклых правильных 4-многогранников.

Правильные многогранники в четырех измерениях
(Отображается в виде ортогональных проекций в каждом Самолет Кокстера симметрии)

А4, [3,3,3]	B4, [4,3,3]		F4, [3,4,3]	ЧАС4, [5,3,3]
5-элементный {3,3,3}	тессеракт {4,3,3}	16 ячеек {3,3,4}	24-элементный {3,4,3}	120 ячеек {5,3,3}	600 ячеек {3,3,5}

В трех измерениях круг может быть экструдированный сформировать цилиндр. В четырех измерениях есть несколько разных цилиндрических объектов. Сфера может быть экструдирована, чтобы получить сферический цилиндр (цилиндр со сферическими «крышками», известный как сфериндер ), а цилиндр может быть экструдирован для получения цилиндрической призмы (a кубиндер ). В Декартово произведение двух кругов можно взять, чтобы получить дуоцилиндр. Все трое могут «катиться» в четырехмерном пространстве, у каждого свои свойства.

В трех измерениях кривые могут образовывать узлы но поверхности не могут (если они не самопересекаются). Однако в четырех измерениях узлы, созданные с помощью кривых, можно тривиально развязать, смещая их в четвертом направлении, но 2D-поверхности могут образовывать нетривиальные, несамопересекающиеся узлы в четырехмерном пространстве.^{[11][страница нужна ]} Поскольку эти поверхности двумерны, они могут образовывать гораздо более сложные узлы, чем струны в трехмерном пространстве. В Бутылка Клейна является примером такой узловатой поверхности.^{[нужна цитата ]} Еще одна такая поверхность - это реальная проективная плоскость.^{[нужна цитата ]}

Гиперсфера

Стереографическая проекция из Клиффорд тор: набор точек (cos (а), грех (а), cos (б), грех (б)), который является подмножеством 3-сфера.

Набор точек в Евклидово 4-мерное пространство на одинаковом расстоянии R от фиксированной точки P₀ образует гиперповерхность известный как 3-сфера. Гиперобъем замкнутого пространства составляет:

${ displaystyle mathbf {V} = { begin {matrix} { frac {1} {2}} end {matrix}} pi ^ {2} R ^ {4}}$

Это часть Метрика Фридмана – Лемэтра – Робертсона – Уолкера. в Общая теория относительности куда р заменяется функцией R (t) с т имея в виду космологический возраст Вселенной. Рост или уменьшение р со временем означает расширение или сжатие Вселенной, в зависимости от плотности массы внутри.^[12]

Познание

Исследования с использованием виртуальная реальность обнаруживает, что люди, несмотря на то, что живут в трехмерном мире, могут без специальной практики делать пространственные суждения о линейных сегментах, встроенных в четырехмерное пространство, на основе их длины (одномерное) и угла (двухмерное) между ними.^[13] Исследователи отметили, что «участники нашего исследования имели минимальную практику в этих задачах, и остается открытым вопрос, можно ли получить более устойчивые, окончательные и богатые представления 4D с увеличенным опытом восприятия в виртуальных средах 4D».^[13] В другом исследовании^[14] была проверена способность человека ориентироваться в 2D, 3D и 4D лабиринтах. Каждый лабиринт состоял из четырех отрезков пути случайной длины, соединенных случайными ортогональными изгибами, но без ветвей или петель (т.е. фактически лабиринты ). Графический интерфейс был основан на бесплатной игре Джона Макинтоша 4D Maze.^[15] Участвовавшие должны были пройти по тропе и, наконец, оценить линейное направление обратно к исходной точке. Исследователи обнаружили, что некоторые из участников смогли мысленно интегрировать свой путь после некоторой практики в 4D (случаи более низкого измерения были для сравнения и для участников, чтобы изучить метод).

Размерная аналогия

Сеть тессеракта

Чтобы понять природу четырехмерного пространства, устройство под названием размерная аналогия обычно используется. Пространственная аналогия - это изучение того, как (п - 1) размеры относятся к п размеры, а затем сделать вывод, как п размеры будут относиться к (п + 1) габариты.^[16]

Размерная аналогия была использована Эдвин Эбботт Эбботт в книге Плоская земля, который повествует историю о квадрате, который живет в двухмерном мире, как поверхность листа бумаги. С точки зрения этого квадрата, трехмерное существо обладает, казалось бы, божественными способностями, такими как способность извлекать предметы из сейфа, не взламывая его (перемещая их через третье измерение), чтобы видеть все, что из двух- пространственная перспектива скрыта за стенами и оставаться полностью невидимой, стоя на расстоянии нескольких дюймов в третьем измерении.

Применяя пространственную аналогию, можно сделать вывод, что четырехмерное существо способно на аналогичные подвиги с трехмерной точки зрения. Руди Ракер иллюстрирует это в своем романе Spaceland, в котором главный герой встречает четырехмерных существ, демонстрирующих такие способности.

Поперечные сечения

Поскольку трехмерный объект проходит через двумерную плоскость, двумерные существа в этой плоскости будут наблюдать только поперечное сечение трехмерного объекта в этой плоскости. Например, если сферический воздушный шар прошел через лист бумаги, существа на бумаге увидели бы сначала одну точку, затем круг, постепенно увеличивающийся, пока не достигающий диаметра воздушного шара, а затем снова уменьшающийся, пока не уменьшился. до точки, а затем исчез. Точно так же, если четырехмерный объект проходит через трехмерную (гипер) поверхность, можно наблюдать трехмерное поперечное сечение четырехмерного объекта - например, четырехмерная сфера сначала появится как точка, а затем как растущая сфера, при этом сфера сжимается до единственной точки, а затем исчезает.^[17] Это средство визуализации аспектов четвертого измерения использовалось в романе. Плоская земля а также в нескольких работах Чарльз Ховард Хинтон.^[6]:11–14

Прогнозы

Полезное применение размерной аналогии в визуализации высших измерений заключается в проекция. Проекция - это способ представления п-мерный объект в п − 1 размеры. Например, экраны компьютеров являются двухмерными, и все фотографии трехмерных людей, мест и вещей представлены в двух измерениях путем проецирования объектов на плоскую поверхность. При этом размер, ортогональный экрану (глубина) удаляется и заменяется косвенной информацией. В сетчатка из глаз также двумерный множество из рецепторы но мозг способен воспринимать природу трехмерных объектов на основании косвенной информации (например, затенения, ракурс, бинокулярное зрение, так далее.). Художники часто используют перспектива чтобы придать двумерным изображениям иллюзию трехмерной глубины. В тень, отлитый с помощью фиктивной сеточной модели вращающегося тессеракта на плоской поверхности, как показано на рисунках, также является результатом проекций.

Точно так же объекты в четвертом измерении можно математически спроецировать в знакомые три измерения, где их будет более удобно исследовать. В этом случае «сетчатка» четырехмерного глаза представляет собой трехмерный массив рецепторов. Гипотетическое существо с таким глазом могло бы воспринимать природу четырехмерных объектов, делая вывод о четырехмерной глубине из косвенной информации в трехмерных изображениях на его сетчатке.

Перспективная проекция трехмерных объектов на сетчатку глаза привносит артефакты, такие как ракурс, который мозг интерпретирует как глубину в третьем измерении. Точно так же перспективная проекция из четырех измерений дает аналогичные эффекты ракурса. Применяя аналогию с измерениями, из этих эффектов можно сделать вывод о четырехмерной «глубине».

В качестве иллюстрации этого принципа следующая последовательность изображений сравнивает различные виды трехмерного изображения. куб с аналогичными проекциями четырехмерного тессеракта в трехмерное пространство.

Куб	Тессеракт	Описание
		Изображение слева представляет собой куб, если смотреть лицом вверх. Аналогичная точка зрения тессеракта в четырех измерениях - это перспективная проекция в ячейку, показанный справа. Можно провести аналогию между ними: точно так же, как куб проецируется на квадрат, тессеракт проецируется на куб. Обратите внимание, что остальные 5 граней куба здесь не видны. Они есть скрытый по видимому лицу. Точно так же остальные 7 ячеек тессеракта здесь не видны, потому что они закрыты видимой ячейкой.
		На изображении слева тот же куб показан с ребра. Аналогичная точка зрения тессеракта - это перспективная проекция лицом вперед, показанный справа. Так же, как проекция куба, ориентированная на ребро, состоит из двух трапеции, проекция тессеракта лицом вперед состоит из двух усики. Ближайший край куба в этой точке обзора находится между красной и зеленой гранями. Точно так же ближайшая грань тессеракта находится между красной и зеленой ячейками.
		Слева - куб, если смотреть в угол. Это аналогично перспективная проекция с краю тессеракта, показанного справа. Так же, как проекция вершины куба состоит из 3 дельтовидные мышцы окружающая вершину, проекция тессеракта с ребром состоит из 3 шестигранный объемы, окружающие край. Подобно тому, как ближайшая вершина куба - это та, где встречаются три грани, так и ближайшая грань тессеракта - это то, что находится в центре объема проекции, где встречаются три ячейки.
		Другая аналогия может быть проведена между проекцией тессеракта с ребром на ребро и проекцией куба с ребром. В проекции куба, ориентированной на ребро, есть две трапеции, окружающие ребро, в то время как у тессеракта есть три шестигранные объемы, окружающие ребро.
		Слева - куб, если смотреть в угол. В вершинная перспективная проекция тессеракта показан справа. В проекции куба, ориентированной на вершину, есть три четырехугольника, окружающих вершину, но у проекции тессеракта на первую вершину четыре шестигранные объемы, окружающие вершину. Подобно тому, как ближайший угол куба лежит в центре изображения, ближайшая вершина тессеракта лежит не на границе проецируемого объема, а в его центре. внутри, где встречаются все четыре клетки. Обратите внимание, что здесь можно увидеть только три грани шести граней куба, потому что остальные 3 лежат позади эти три грани на противоположной стороне куба. Точно так же здесь можно увидеть только 4 из 8 ячеек тессеракта; оставшиеся 4 лжи позади эти 4 в четвертом направлении, на дальней стороне тессеракта.

Тени

Концепция, тесно связанная с проекцией, - это отбрасывание теней.

Если свет падает на трехмерный объект, отбрасывается двумерная тень. По аналогии с измерениями, свет, падающий на двумерный объект в двухмерном мире, отбрасывает одномерную тень, а свет на одномерный объект в одномерном мире отбрасывает нульмерную тень, то есть , точка несвета. Если пойти другим путем, можно сделать вывод, что свет, падающий на четырехмерный объект в четырехмерном мире, отбрасывает трехмерную тень.

Если каркас куба освещается сверху, результирующая тень на плоской двумерной поверхности представляет собой квадрат внутри квадрата с соответствующими соединенными углами.Точно так же, если бы каркас тессеракта освещался «сверху» (в четвертом измерении), его тень была бы тенью трехмерного куба внутри другого трехмерного куба, подвешенного в воздухе («плоская» поверхность от четырехугольника). -мерная перспектива). (Обратите внимание, что технически показанное здесь визуальное представление на самом деле является двухмерным изображением трехмерной тени четырехмерной каркасной фигуры.)

Граничные объемы

Пространственная аналогия также помогает вывести основные свойства объектов в более высоких измерениях. Например, двухмерные объекты ограничены одномерными границами: квадрат ограничен четырьмя ребрами. Трехмерные объекты ограничены двумерными поверхностями: куб ограничен 6 квадратными гранями. Применяя аналогию с размерностями, можно сделать вывод, что четырехмерный куб, известный как тессеракт, ограничена трехмерными объемами. И действительно, это так: математика показывает, что тессеракт ограничен 8 кубиками. Знание этого является ключом к пониманию того, как интерпретировать трехмерную проекцию тессеракта. Границы проекта tesseract до тома на изображении, а не только на двухмерных поверхностях.

Визуальный охват

Люди имеют пространственное самовосприятие как существ в трехмерном пространстве, но визуально ограничены одним измерением меньше: глаз видит мир как проекцию в двух измерениях на поверхности сетчатка. Если предположить, что четырехмерное существо могло видеть мир в проекциях на гиперповерхность, также всего на одно измерение меньше, то есть в трех измерениях, оно могло бы видеть, например, все шесть сторон непрозрачного бокса одновременно и в Фактически, то, что находится внутри коробки одновременно, точно так же, как люди могут видеть все четыре стороны и одновременно внутреннюю часть прямоугольника на листе бумаги.^{[нужна цитата ]} Существо сможет различать все точки в трехмерном подпространстве одновременно, в том числе внутреннюю структуру твердых трехмерных объектов, вещи, скрытые от человеческих точек зрения в трех измерениях на двухмерных проекциях. Мозг получает изображения в двух измерениях и использует рассуждения, чтобы помочь представить себе трехмерные объекты.

Ограничения

Рассуждения по аналогии с знакомыми более низкими измерениями могут быть отличным интуитивным руководством, но необходимо проявлять осторожность, чтобы не принимать результаты, которые не подвергаются более тщательной проверке. Например, рассмотрим формулы для длины окружности круга${ Displaystyle C = 2 pi r}$и площадь поверхности шара:${ Displaystyle А = 4 пи г ^ {2}}$Можно попытаться предположить, что объем поверхности гиперсферы равен ${ Displaystyle V = 6 pi r ^ {3}}$, или возможно ${ Displaystyle V = 8 pi r ^ {3}}$, но любой из них будет неправильным. Правильная формула ${ Displaystyle V = 2 pi ^ {2} г ^ {3}}$.^[4]:119

Смотрите также

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Арчибальд, Р. (1914). «Время как четвертое измерение» (PDF). Бюллетень Американского математического общества: 409–412.
• Эндрю Форсайт (1930) Геометрия четырех измерений, ссылка из Интернет-архив.
• Гамов, Георгий (1988). Раз два три . . . Бесконечность: факты и предположения науки (3-е изд.). Courier Dover Publications. п. 68. ISBN  978-0-486-25664-1. Выдержка со страницы 68
• Э. Х. Невилл (1921) Четвертое измерение, Издательство Кембриджского университета, ссылка из университет Мичигана Исторический математический сборник.

внешняя ссылка

• Видео "Размеры", демонстрирующие несколько различных способов визуализации четырехмерных объектов.
• Новости науки статья, обобщающая видео "Размеры", с роликами
• Флатландия: многомерный роман (второе издание)
• Покадровая анимация 4D - 3D аналогии