Высота (треугольник) - Altitude (triangle)

Три высоты треугольника пересекаются в ортоцентре, который для острого треугольника находится внутри треугольника.

В геометрия, высота из треугольник это отрезок через вершина и перпендикуляр к (т. е. формирование прямой угол with) строка, содержащая база (сторона, противоположная вершине). Эта линия, содержащая противоположную сторону, называется расширенная база высоты. Пересечение расширенный база и высота называется ступня высоты. Длина высоты, часто называемая просто «высотой», - это расстояние между расширенным основанием и вершиной. Процесс определения высоты от вершины к стопе известен как падение высоты в этой вершине. Это частный случай ортогональная проекция.

Высота может использоваться при вычислении площадь треугольника: половина произведения длины высоты и длины его основания равна площади треугольника. Таким образом, самая длинная высота перпендикулярна самой короткой стороне треугольника. Высоты также связаны со сторонами треугольника через тригонометрические функции.

В прямоугольном треугольнике высота каждого острого угла совпадает с катетом и пересекает противоположную сторону в прямоугольной вершине, которая является ортоцентром (имеет основание в).

В равнобедренный треугольник (треугольник с двумя конгруэнтный сторон), высота, имеющая в качестве основания неконгруэнтную сторону, будет иметь середина с той стороны как его подножие. Также высота, имеющая инконгруэнтную сторону в качестве основы, будет биссектриса угла угла при вершине.

Обычно высоту отмечают буквой час (как в рост), часто в нижнем индексе с названием стороны, на которую обращается высота.

В прямоугольный треугольник, высота, приведенная к гипотенузе c делит гипотенузу на два отрезка длины п и q. Если обозначить длину высоты через час_c, то имеем соотношение

{ displaystyle h_ {c} = { sqrt {pq}}}

(Геометрическая теорема о среднем )

Высоты от каждого из острых углов тупого треугольника лежат полностью вне треугольника, как и ортоцентр H.

Для острых и прямоугольных треугольников все основания высот приходятся на стороны треугольника (не вытянутые). В тупом треугольнике (один с тупой угол ) основание высоты до тупоугольной вершины попадает внутрь противоположной стороны, но подножие высот к остроугольным вершинам приходится на противоположную сторону. расширенная сторона, вне треугольника. Это показано на соседней диаграмме: в этом тупоугольном треугольнике высота, пониженная перпендикулярно верхней вершине, имеющей острый угол, пересекает расширенную горизонтальную сторону вне треугольника.

Ортоцентр

Три высоты, пересекающиеся в ортоцентре

Три (возможно, расширенные) высоты пересекаются в одной точке, называемой ортоцентр треугольника, обычно обозначаемого $ЧАС$ .^[1]^[2] Ортоцентр лежит внутри треугольника если и только если треугольник острый (то есть не имеет угла больше или равного прямому). Если один угол прямой, то ортоцентр совпадает с вершиной под прямым углом.^[2]

Позволять $А, B, C$ обозначим вершины, а также углы треугольника, и пусть $а = | до н.э |, б = | CA |, c = | AB |$ быть длинами сторон. Ортоцентр имеет трилинейные координаты^[3]

${ displaystyle sec A: sec B: sec C = cos A- sin B sin C: cos B- sin C sin A: cos C- sin A sin B,}$

и барицентрические координаты

{ displaystyle displaystyle (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}) (a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2}) :( a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}) (- a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) :( a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ { 2}) (- a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2})}

{ displaystyle = tan A: tan B: tan C.}

Поскольку все барицентрические координаты положительны для точки внутри треугольника, но по крайней мере одна отрицательна для точки на внешней стороне, а две барицентрические координаты равны нулю для вершины, барицентрические координаты, данные для ортоцентра, показывают, что находится в острый треугольник внутри, на прямоугольной вершине прямоугольный треугольник, и вне тупой треугольник.

в комплексная плоскость, пусть точки $А, B$ и $C$ представляют числа ${ displaystyle z_ {A}}$ , ${ displaystyle z_ {B}}$ и, соответственно, ${ displaystyle z_ {C}}$ и предположим, что центр окружности треугольника $ABC$ находится в начале координат плоскости. Тогда комплексное число

{ displaystyle z_ {H} = z_ {A} + z_ {B} + z_ {C}}

представлен точкой $ЧАС$ , а именно ортоцентр треугольника $ABC$ .^[4] Отсюда следующие характеристики ортоцентра $ЧАС$ посредством бесплатные векторы можно установить прямо:

{ displaystyle { vec {OH}} = sum limits _ { scriptstyle { rm {cyclic}}} { vec {OA}}, qquad 2 cdot { vec {HO}} = sum limits _ { scriptstyle { rm {cyclic}}} { vec {HA}}.}

Первое из предыдущих векторных тождеств также известно как проблема Сильвестра, предложено Джеймс Джозеф Сильвестр.^[5]

Свойства

Позволять $D, E$ , и $F$ обозначают ноги высот от $А, B$ , и $C$ соответственно. Потом:

Произведение длин сегментов, на которые ортоцентр делит высоту, одинаково для всех трех высот:^[6]^[7]

{ displaystyle AH cdot HD = BH cdot HE = CH cdot HF.}

Круг с центром в

ЧАС

имеющий радиус квадратный корень из этой константы есть треугольник полярный круг.^[8]

Сумма отношений по трем высотам расстояния ортоцентра от основания к длине высоты равна 1:^[9] (Это и следующее свойство являются приложениями более общее свойство любой внутренней точки и трех чевианы через это.)

{ displaystyle { frac {HD} {AD}} + { frac {HE} {BE}} + { frac {HF} {CF}} = 1.}

Сумма отношений по трем высотам расстояния ортоцентра от вершины к длине высоты равна 2:^[9]

{ displaystyle { frac {AH} {AD}} + { frac {BH} {BE}} + { frac {CH} {CF}} = 2.}

В изогональный конъюгат ортоцентра - это центр окружности треугольника.^[10]

В изотомный конъюгат ортоцентра - это симедианная точка из антикомплементарный треугольник.^[11]

Четыре точки на плоскости, одна из которых является ортоцентром треугольника, образованного другими тремя, называются ортоцентрическая система или ортоцентрический четырехугольник.

Связь с кругами и кониками

Обозначим по окружности треугольника на $р$ . потом^[12]^[13]

{ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + AH ^ {2} + BH ^ {2} + CH ^ {2} = 12R ^ {2}.}

Кроме того, обозначая $р$ как радиус треугольника окружать, $р а, р б$ , и $р c$ как радиусы его вне окружности, и $р$ опять же, как радиус его описанной окружности, следующие соотношения выполняются относительно расстояний ортоцентра от вершин:^[14]

{ displaystyle r_ {a} + r_ {b} + r_ {c} + r = AH + BH + CH + 2R,}

{ displaystyle r_ {a} ^ {2} + r_ {b} ^ {2} + r_ {c} ^ {2} + r ^ {2} = AH ^ {2} + BH ^ {2} + CH ^ {2} + (2R) ^ {2}.}

Если какая-то высота, например, $ОБЪЯВЛЕНИЕ$ , продолжается до пересечения описанной окружности в точке $п$ , так что $AP$ хорда описанной окружности, то ступня $D$ сегмент пополам $HP$ :^[7]

{ displaystyle HD = DP.}

В директрисы из всех параболы , которые касаются снаружи одной стороны треугольника и касаются продолжений других сторон, проходят через ортоцентр.^[15]

А циркумконический проходящий через ортоцентр треугольника является прямоугольная гипербола.^[16]

Отношение к другим центрам, девятиконечный круг

Ортоцентр $ЧАС$ , то центроид $г$ , то центр окружности $О$ , а центр $N$ из круг из девяти точек все лежат на одной линии, известной как Линия Эйлера.^[17] Центр девятиконечной окружности находится в точке середина линии Эйлера между ортоцентром и центром описанной окружности, а расстояние между центром тяжести и центром описанной окружности составляет половину расстояния между центроидом и ортоцентром:^[18]

{ displaystyle OH = 2NH,}

{ displaystyle 2OG = GH.}

Ортоцентр находится ближе к стимулятор $я$ чем он к центроиду, а ортоцентр дальше, чем центр тяжести от центроида:

{ displaystyle HI

{ displaystyle HG> IG.}

По сторонам $а, б, в$ , inradius $р$ и по окружности $р$ ,^[19]

{ displaystyle OH ^ {2} = R ^ {2} -8R ^ {2} cos A cos B cos C = 9R ^ {2} - (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}),}

^[20]^{:п. 449}

{ displaystyle HI ^ {2} = 2r ^ {2} -4R ^ {2} cos A cos B cos C.}

Ортический треугольник

Треугольник

abc

(соответственно,

DEF

в тексте) - ортический треугольник треугольника

ABC

Если треугольник $ABC$ является косой (не содержит прямого угла) педальный треугольник ортоцентра исходного треугольника называется ортический треугольник или высотный треугольник. То есть основания высот наклонного треугольника образуют ортический треугольник, $DEF$ . Кроме того, центр (центр вписанной окружности) ортического треугольника $DEF$ является ортоцентром исходного треугольника $ABC$ .^[21]

Трилинейные координаты для вершин ортогонального треугольника задаются

$D = 0: сек B : сек C$
$E = сек А : 0: сек C$
$F = сек А : сек B : 0$ .

В расширенные стороны ортогонального треугольника встречаются с противоположными вытянутыми сторонами исходного треугольника в трех точках. коллинеарные точки.^[22]^[23]^[21]

В любой острый треугольник, вписанный треугольник с наименьшим периметром - это ортический треугольник.^[24] Это решение Проблема Фаньяно, поставлена в 1775 году.^[25] Стороны ортогонального треугольника параллельны касательным к описанной окружности в вершинах исходного треугольника.^[26]

Ортический треугольник острого треугольника дает треугольный световой путь.^[27]

Касательные линии девятиконечной окружности в серединах сторон $ABC$ параллельны сторонам ортического треугольника, образуя треугольник, похожий на ортический треугольник.^[28]

Ортический треугольник тесно связан с тангенциальный треугольник, построенный следующим образом: пусть $L А$ - касательная к описанной окружности треугольника $ABC$ в вершине $А$ , и определим $L B$ и $L C$ аналогично. Позволять $А " = L B \cap L C$ , $B " = L C \cap L А$ , $C " = L C \cap L А$ . Тангенциальный треугольник $A "B" C "$ , стороны которого являются касательными к треугольнику $ABC$ описанная окружность в вершинах; это гомотетичный к ортическому треугольнику. Центр описанной окружности тангенциального треугольника и центр подобия ортического и касательного треугольников, находятся на Линия Эйлера.^[20]^{:п. 447}

Трилинейные координаты вершин тангенциального треугольника задаются выражением

$А " = - а : б : c$
$B " = а : - б : c$
$C " = а : б : - c$ .

Для получения дополнительной информации об ортическом треугольнике см. Вот.

Некоторые дополнительные теоремы о высоте

Высота по сторонам

Для любого треугольника со сторонами $а, б, в$ и полупериметр $s = (а + б + c) / 2$ , высота сбоку $а$ дан кем-то

{ displaystyle h_ {a} = { frac {2 { sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)}}} {a}}.}

Это следует из объединения Формула Герона для площади треугольника через стороны с формулой площади (1/2) × основание × высота, где основание принимается как сторона $а$ а высота - это высота от $А$ .

Теоремы Инрадиуса

Рассмотрим произвольный треугольник со сторонами $а, б, в$ и с соответствующими высотами $час а, час б$ , и $час c$ . Высота и окружать радиус $р$ связаны^[29]^{:Лемма 1}

{ displaystyle displaystyle { frac {1} {r}} = { frac {1} {h_ {a}}} + { frac {1} {h_ {b}}} + { frac {1} {h_ {c}}}.}

Теорема о круге радиуса

Обозначая высоту с одной стороны треугольника как $час а$ , две другие стороны как $б$ и $c$ , а треугольник по окружности (радиус описанной окружности треугольника) как $р$ , высота определяется как^[30]

{ displaystyle h_ {a} = { frac {bc} {2R}}.}

Внутренняя точка

Если $п 1, п 2$ , и $п 3$ перпендикулярные расстояния от любой точки $п$ в стороны, и $час 1, час 2$ , и $час 3$ - высоты сторон, то^[31]

{ displaystyle { frac {p_ {1}} {h_ {1}}} + { frac {p_ {2}} {h_ {2}}} + { frac {p_ {3}} {h_ {3) }}} = 1.}

Теорема площади

Обозначая высоты любого треугольника со сторон $а, б$ , и $c$ соответственно как ${ displaystyle h_ {a}}$ , ${ displaystyle h_ {b}}$ , и ${ displaystyle h_ {c}}$ , и обозначая полусумму обратных величин высот как ${ displaystyle H = (h_ {a} ^ {- 1} + h_ {b} ^ {- 1} + h_ {c} ^ {- 1}) / 2}$ у нас есть^[32]

{ displaystyle mathrm {Area} ^ {- 1} = 4 { sqrt {H (H-h_ {a} ^ {- 1}) (H-h_ {b} ^ {- 1}) (H-h_ {c} ^ {- 1})}}.}

Общая точка на высоте

Если $E$ любая точка на высоте $ОБЪЯВЛЕНИЕ$ любого треугольника $ABC$ , тогда^[33]^:77–78

{ displaystyle AC ^ {2} + EB ^ {2} = AB ^ {2} + CE ^ {2}.}

Треугольники особого случая

Равносторонний треугольник

Для любой точки $п$ в пределах равносторонний треугольник, сумма перпендикуляров к трем сторонам равна высоте треугольника. Это Теорема Вивиани.

Прямоугольный треугольник

Высота прямоугольного треугольника от его прямого угла до гипотенузы - это среднее геометрическое длин отрезков, на которые разбита гипотенуза. С помощью Теорема Пифагора на 3 треугольниках сторон (п + q, р, s ), (р, п, час ) и (s, час, q ),

{ Displaystyle { begin {align} (p + q) ^ {2} ; ; & = quad r ^ {2} ; ; , + quad s ^ {2} p ^ { 2} ! ! + ! 2pq ! + ! Q ^ {2} & = overbrace {p ^ {2} ! ! + ! H ^ {2}} + overbrace {h ^ { 2} ! ! + ! Q ^ {2}} 2pq quad ; ; ; & = 2h ^ {2} ; поэтому h ! = ! { Sqrt {pq}} конец {выровнен}}}

В прямоугольном треугольнике три высоты $час а, час б$ , и $час c$ (первые две из которых равны длине ног $б$ и $а$ соответственно) связаны согласно^[34]^[35]

{ displaystyle { frac {1} {h_ {a} ^ {2}}} + { frac {1} {h_ {b} ^ {2}}} = { frac {1} {h_ {c}) ^ {2}}}.}

История

Теорема о том, что три высоты треугольника встречаются в одной точке, ортоцентре, была впервые доказана в публикации 1749 г. Уильям Чаппл.^[36]

Смотрите также

Заметки

^ Умный 1998, п. 156
^ ^а ^б Береле и Гольдман 2001, п. 118
^ Энциклопедия треугольных центров Кларка Кимберлинга «Архивная копия». Архивировано из оригинал на 2012-04-19. Получено 2012-04-19.CS1 maint: заархивированная копия как заголовок (ссылка на сайт)
^ Андрееску, Титу; Андрица, Дорин, «Комплексные числа от А до ... Я». Биркхойзер, Бостон, 2006 г., ISBN 978-0-8176-4326-3, стр. 90, Предложение 3
^ Дёрри, Генрих, "100 великих проблем элементарной математики. Их история и решение". Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1965 г., ISBN 0-486-61348-8, стр.142
^ Джонсон 2007, п. 163, статья 255
^ ^а ^б ""Ортоцентр треугольника"". Архивировано из оригинал на 2012-07-05. Получено 2012-05-04.
^ Джонсон 2007, п. 176, статья 278
^ ^а ^б Панапой, Ронначай, "Некоторые свойства ортоцентра треугольника", Университет Джорджии.
^ Умный 1998, п. 182
^ Вайсштейн, Эрик В. «Изотомическое сопряжение» из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/IsotomicConjugate.html
^ Вайсштейн, Эрик В. "Ортоцентр". Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram.
^ Альтшиллер-Суд 2007, п. 102
^ Белл, Эми, "Теорема Хансена о прямоугольном треугольнике, ее обратное и обобщение", Форум Geometricorum 6, 2006, 335–342.
^ Вайстейн, Эрик В. «Киперт Парабола». Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/KiepertParabola.html
^ Вайсштейн, Эрик В. «Джерабек Гипербола». Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/JerabekHyperbola.html
^ Береле и Гольдман 2001, п. 123
^ Береле и Гольдман 2001, стр. 124-126
^ Мари-Николь Гра, «Расстояния между центром описанной окружности треугольника вне касания и классическими центрами», Форум Geometricorum 14 (2014), 51-61. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html
^ ^а ^б Смит, Джефф и Леверша, Джерри, «Эйлер и геометрия треугольника», Математический вестник 91, ноябрь 2007 г., стр. 436–452.
^ ^а ^б Уильям Х. Баркер, Роджер Хоу (2007). «§ VI.2: Классические совпадения». Непрерывная симметрия: от Евклида до Клейна. Американское математическое общество. п. 292. ISBN 0-8218-3900-4. См. Также: следствие 5.5, с. 318.
^ Джонсон 2007, п. 199, статья 315
^ Альтшиллер-Суд 2007, п. 165
^ Джонсон 2007, п. 168, статья 264
^ Береле и Гольдман 2001, стр. 120-122
^ Джонсон 2007, п. 172, Раздел 270c
^ Брайант В. и Брэдли Х. «Треугольные световые пути». Математический вестник 82, июль 1998 г., 298-299.
^ Кей, Дэвид К. (1993), Геометрия колледжа / Подход открытия, HarperCollins, стр. 6, ISBN 0-06-500006-4
^ Дорин Андрица и Дан Штефан Маринеску. «Новые интерполяционные неравенства к R ≥ 2r Эйлера». Форум Geometricorum, Том 17 (2017), стр. 149–156. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201719.pdf
^ Джонсон 2007, п. 71, раздел 101а
^ Джонсон 2007, п. 74, Раздел 103c
^ Митчелл, Дуглас У., "Формула типа Герона для обратной площади треугольника", Математический вестник 89, ноябрь 2005 г., стр. 494.
^ Альфред С. Посаментьер и Чарльз Т. Салкинд, Сложные задачи геометрии, Dover Publishing Co., второе исправленное издание, 1996 г.
^ Воулс, Роджер, "Целочисленные решения ${ displaystyle a ^ {- 2} + b ^ {- 2} = d ^ {- 2}}$ ," Математический вестник 83, июль 1999 г., стр. 269–271.
^ Ричиник, Дженнифер, "Перевернутая теорема Пифагора", Математический вестник 92, июль 2008 г., 313–317.
^ Богомольный Александр, «Возможно первое доказательство совпадения высот», Разрезать узел, получено 2019-11-17

использованная литература

Альтшиллер-Корт, Натан (2007) [1952], Колледж Геометрия, Dover Publications
Береле, Аллан; Гольдман, Джерри (2001), Геометрия / Теоремы и конструкции, Прентис Холл, ISBN 0-13-087121-4
Джонсон, Роджер А. (2007) [1960], Продвинутая евклидова геометрия, Дувр, ISBN 978-0-486-46237-0
Смарт, Джеймс Р. (1998), Современная геометрия (5-е изд.), Брукс / Коул, ISBN 0-534-35188-3

внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Высота». MathWorld.
Ортоцентр треугольника С интерактивной анимацией
Анимированная демонстрация построения ортоцентра Компас и линейка.
Проблема Фаньяно Джей Варендорф, Вольфрам Демонстрационный проект.

[1] Умный 1998, п. 156

[BG118-2] а ^б Береле и Гольдман 2001, п. 118

[ck-3] Энциклопедия треугольных центров Кларка Кимберлинга «Архивная копия». Архивировано из оригинал на 2012-04-19. Получено 2012-04-19.CS1 maint: заархивированная копия как заголовок (ссылка на сайт)

[Andreescu-4] Андрееску, Титу; Андрица, Дорин, «Комплексные числа от А до ... Я». Биркхойзер, Бостон, 2006 г., ISBN 978-0-8176-4326-3, стр. 90, Предложение 3

[Dorrie-5] Дёрри, Генрих, "100 великих проблем элементарной математики. Их история и решение". Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1965 г., ISBN 0-486-61348-8, стр.142

[6] Джонсон 2007, п. 163, статья 255

[pballew-7] а ^б ""Ортоцентр треугольника"". Архивировано из оригинал на 2012-07-05. Получено 2012-05-04.

[8] Джонсон 2007, п. 176, статья 278

[Panapoi-9] а ^б Панапой, Ронначай, "Некоторые свойства ортоцентра треугольника", Университет Джорджии.

[10] Умный 1998, п. 182

[11] Вайсштейн, Эрик В. «Изотомическое сопряжение» из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/IsotomicConjugate.html

[12] Вайсштейн, Эрик В. "Ортоцентр". Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram.

[13] Альтшиллер-Суд 2007, п. 102

[14] Белл, Эми, "Теорема Хансена о прямоугольном треугольнике, ее обратное и обобщение", Форум Geometricorum 6, 2006, 335–342.

[15] Вайстейн, Эрик В. «Киперт Парабола». Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/KiepertParabola.html

[16] Вайсштейн, Эрик В. «Джерабек Гипербола». Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/JerabekHyperbola.html

[17] Береле и Гольдман 2001, п. 123

[18] Береле и Гольдман 2001, стр. 124-126

[19] Мари-Николь Гра, «Расстояния между центром описанной окружности треугольника вне касания и классическими центрами», Форум Geometricorum 14 (2014), 51-61. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html

[SL-20] а ^б Смит, Джефф и Леверша, Джерри, «Эйлер и геометрия треугольника», Математический вестник 91, ноябрь 2007 г., стр. 436–452.

[Barker-21] а ^б Уильям Х. Баркер, Роджер Хоу (2007). «§ VI.2: Классические совпадения». Непрерывная симметрия: от Евклида до Клейна. Американское математическое общество. п. 292. ISBN 0-8218-3900-4. См. Также: следствие 5.5, с. 318.

[22] Джонсон 2007, п. 199, статья 315

[23] Альтшиллер-Суд 2007, п. 165

[Johnson-24] Джонсон 2007, п. 168, статья 264

[25] Береле и Гольдман 2001, стр. 120-122

[26] Джонсон 2007, п. 172, Раздел 270c

[27] Брайант В. и Брэдли Х. «Треугольные световые пути». Математический вестник 82, июль 1998 г., 298-299.

[28] Кей, Дэвид К. (1993), Геометрия колледжа / Подход открытия, HarperCollins, стр. 6, ISBN 0-06-500006-4

[29] Дорин Андрица и Дан Штефан Маринеску. «Новые интерполяционные неравенства к R ≥ 2r Эйлера». Форум Geometricorum, Том 17 (2017), стр. 149–156. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201719.pdf

[30] Джонсон 2007, п. 71, раздел 101а

[31] Джонсон 2007, п. 74, Раздел 103c

[32] Митчелл, Дуглас У., "Формула типа Герона для обратной площади треугольника", Математический вестник 89, ноябрь 2005 г., стр. 494.

[Posamentier-33] Альфред С. Посаментьер и Чарльз Т. Салкинд, Сложные задачи геометрии, Dover Publishing Co., второе исправленное издание, 1996 г.

[34] Воулс, Роджер, "Целочисленные решения ${ displaystyle a ^ {- 2} + b ^ {- 2} = d ^ {- 2}}$ ," Математический вестник 83, июль 1999 г., стр. 269–271.

[35] Ричиник, Дженнифер, "Перевернутая теорема Пифагора", Математический вестник 92, июль 2008 г., 313–317.

[36] Богомольный Александр, «Возможно первое доказательство совпадения высот», Разрезать узел, получено 2019-11-17

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]