Полярный круг (геометрия) - Википедия - Polar circle (geometry)

Полярный круг (красный) треугольника ABC

полярный круг (d), окружность из девяти точек (t), описанная окружность (e), описанная окружность касательного треугольника (ов)

В геометрия, то полярный круг из треугольник это круг чей центр - треугольник ортоцентр и квадрат радиуса которого равен

${ displaystyle { begin {align} r ^ {2} & = HA times HD = HB times HE = HC times HF & = - 4R ^ {2} cos A cos B cos C = 4R ^ {2} - { frac {1} {2}} (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}), end {align}}}$

куда А, Б, В обозначим оба треугольника вершины и угол меры в этих вершинах, ЧАС это ортоцентр (пересечение треугольника высоты ), D, E, F это основания высот из вершин А, Б, В соответственно, р это треугольник по окружности (радиус его описанный круг ), и а, б, c - длины сторон треугольника, противоположных вершинам А, B, C соответственно.^{[1]:п. 176}

Первые части формулы радиуса отражают тот факт, что ортоцентр делит высоты на пары сегментов равных произведений. В тригонометрический формула для радиуса показывает, что полярный круг существует на самом деле, только если треугольник тупой, поэтому один из его углов тупой и, следовательно, имеет отрицательный косинус.

Характеристики

Любые два полярных круга из двух треугольников в ортоцентрическая система находятся ортогональный.^{[1]:п. 177}

Полярные круги треугольников полный четырехугольник сформировать коаксиальный система.^{[1]:п. 179}

Описанная окружность треугольника, его круг из девяти точек, его полярный круг и описанный круг его тангенциальный треугольник коаксальные.^{[2]:п. 241}

Рекомендации

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Полярный круг". MathWorld.