Средняя точка - Midpoint

Середина отрезка (

Икс

₁,

у

₁) к (

Икс

₂,

у

₂)

В геометрия, то середина это середина точка из отрезок. это равноудаленный с обеих конечных точек, и это центроид как сегмента, так и конечных точек. Это делит пополам сегмент.

Формулы

Середина сегмента в п-мерное пространство, концы которого ${ Displaystyle А = (а_ {1}, а_ {2}, точки, а_ {п})}$ и ${ displaystyle B = (b_ {1}, b_ {2}, dots, b_ {n})}$ дан кем-то

{ displaystyle { frac {A + B} {2}}.}

Это я^th координата средней точки (я = 1, 2, ..., п) является

{ displaystyle { frac {a_ {i} + b_ {i}} {2}}.}

Строительство

Учитывая две точки интереса, найти среднюю точку отрезка, который они определяют, можно с помощью компас и линейка. Середина линейного сегмента, встроенного в самолет, можно найти, сначала построив линза используя дуги окружности равного (и достаточно большого) радиуса с центрами в двух конечных точках, затем соединяя куспиды линзы (две точки, где дуги пересекаются). Точка, в которой линия, соединяющая куспиды, пересекает сегмент, тогда является средней точкой сегмента. Сложнее определить среднюю точку, используя только компас, но, если судить по Теорема Мора-Машерони.^[1]

Геометрические свойства, включающие средние точки

Круг

Середина любого диаметр из круг это центр круга.

Любая линия перпендикуляр любому аккорд круга и проходя через его середину, также проходит через центр круга.

В теорема бабочка заявляет, что если M это середина аккорда PQ круга, через который две другие хорды AB и CD нарисованы, то ОБЪЯВЛЕНИЕ и до н.э пересечение хорды PQ в Икс и Y соответственно такие, что M это середина XY.

Эллипс

Середина любого сегмента, который является площадь биссектриса или же периметр биссектриса эллипс центр эллипса.

Центр эллипса - это также середина отрезка, соединяющего два фокусы эллипса.

Гипербола

Середина отрезка, соединяющего гипербола вершины - центр гиперболы.

Треугольник

В серединный перпендикуляр к стороне из треугольник это линия, которая перпендикулярна этой стороне и проходит через ее середину. Три серединных перпендикуляра трех сторон треугольника пересекаются в точках центр окружности (центр круга через три вершины).

В медиана стороны треугольника проходит как через середину стороны, так и через противоположную точку треугольника. вершина. Три медианы треугольника пересекаются в точках треугольника. центроид (точка, в которой треугольник балансировал бы, если бы он был сделан из тонкого листа металла однородной плотности).

В центр девяти точек треугольника лежит в середине между центром описанной окружности и ортоцентр. Все эти точки находятся на Линия Эйлера.

А средний сегмент (или же средняя линия) треугольника - это отрезок прямой, соединяющий середины двух сторон треугольника. Он параллелен третьей стороне и имеет длину, равную половине этой третьей стороны.

В средний треугольник данного треугольника имеет вершины в серединах сторон данного треугольника, поэтому его стороны являются тремя средними сегментами данного треугольника. Он имеет тот же центр тяжести и медианы с данным треугольником. В периметр медиального треугольника равна полупериметр (половина периметра) исходного треугольника, а его площадь составляет четверть площади исходного треугольника. В ортоцентр (пересечение высоты ) среднего треугольника совпадает с центр окружности (центр круга через вершины) исходного треугольника.

Каждый треугольник имеет вписанный эллипс, назвал его Штайнер инеллипс, которая касается треугольника изнутри в серединах всех его сторон. Этот эллипс находится в центре тяжести треугольника, и он имеет наибольшую площадь из всех эллипсов, вписанных в треугольник.

В прямоугольный треугольник, центр описанной окружности - это середина гипотенуза.

В равнобедренный треугольник, медиана, высота, и серединный перпендикуляр из основание сторона и биссектриса угла из вершина совпадают с линией Эйлера и ось симметрии, и эти совпадающие линии проходят через середину основной стороны.

Четырехугольник

Два бимедианцы из выпуклый четырехугольник - это отрезки, которые соединяют середины противоположных сторон, следовательно, каждый из них делит две стороны пополам. Две бимедианы и отрезок, соединяющий середины диагоналей, представляют собой одновременный в (все пересекаются в) точке, называемой «центроид вершины», которая является средней точкой всех трех этих сегментов.^[2]^:стр.125

Четыре «солодости» выпуклого четырехугольника - это перпендикуляры к стороне, проходящей через середину противоположной стороны, следовательно, делят последнюю пополам. Если четырехугольник циклический (обведены кружком), все эти солодовые вкусы встречаются в общей точке, называемой «антицентром».

Теорема Брахмагупты утверждает, что если вписанный четырехугольник ортодиагональный (то есть имеет перпендикуляр диагонали ), то перпендикуляр к стороне от точки пересечения диагоналей всегда проходит через середину противоположной стороны.

Теорема Вариньона утверждает, что середины сторон произвольного четырехугольника образуют вершины параллелограмм, а если четырехугольник не самопересекающийся, то площадь параллелограмма равна половине площади четырехугольника.

В Линия Ньютона - это линия, соединяющая середины двух диагоналей в выпуклый четырехугольник, который не является параллелограммом. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника, пересекаются в точке, лежащей на линии Ньютона.

Общие многоугольники

А правильный многоугольник имеет вписанный круг который касательная с каждой стороны многоугольника в его средней точке.

В правильном многоугольнике с четным числом сторон средняя точка диагональ между противоположными вершинами находится центр многоугольника.

В многоугольник растяжения средней точки из циклический многоугольник $п$ (а многоугольник все вершины которого лежат в одной окружности) - это еще один циклический многоугольник, вписанный в ту же окружность, многоугольник, вершины которого являются серединами дуги окружности между вершинами $п$ .^[3] Итерация операции растяжения средней точки на произвольном начальном многоугольнике приводит к последовательности многоугольников, формы которых сходятся к форме правильный многоугольник.^[3]^[4]

Обобщения

В вышеупомянутый формулы для средней точки сегмента неявно используют длины сегментов. Однако в обобщении к аффинная геометрия, где длины сегментов не определены,^[5] середину все еще можно определить, так как это аффинная инвариантный. В синтетический аффинное определение середины $M$ сегмента $AB$ это проективное гармоническое сопряжение из точка в бесконечности, $п$ , линии $AB$ . То есть суть $M$ такой, что $ЧАС[А, B; п, M]$ .^[6] Когда координаты могут быть введены в аффинную геометрию, два определения средней точки будут совпадать.^[7]

Середина не определяется естественным образом в проективная геометрия поскольку нет выделенной точки, которая могла бы играть роль бесконечно удаленной точки (любой точки в проективный диапазон может быть проективно отображен в любую другую точку (того же или другого) проективного диапазона). Однако фиксация бесконечно удаленной точки определяет аффинную структуру на проективная линия в вопросе, и может быть применено приведенное выше определение.

Определение средней точки сегмента может быть расширено до геодезический дуги на Риманово многообразие. Отметим, что, в отличие от аффинного случая, середина между двумя точками не может быть однозначно определено.

Смотрите также

внешняя ссылка

Анимация - отображение характеристик средней точки отрезка линии
Что такое формула средней точки

[1] "Вольфрам математический мир". 29 сентября 2010 г.

[Altshiller-Court-2] Альтшиллер-Корт, Натан, Колледж Геометрия, Dover Publ., 2007.

[dhz-3] а ^б Дин, Джиу; Хитт, Л. Ричард; Чжан, Синь-Минь (1 июля 2003 г.), «Цепи Маркова и динамическая геометрия многоугольников» (PDF), Линейная алгебра и ее приложения, 367: 255–270, Дои:10.1016 / S0024-3795 (02) 00634-1, получено 19 октября 2011.

[4] Гомес-Мартин, Франциско; Таслакян, Перуз; Туссен, Годфрид Т. (2008), «Сходимость теневой последовательности вписанных многоугольников», 18-й осенний семинар по вычислительной геометрии

[5] Фишбэк, W.T. (1969), Проективная и евклидова геометрия (2-е изд.), John Wiley & Sons, стр. 214, г. ISBN 0-471-26053-3

[6] Месерв, Брюс Э. (1983) [1955], Основные понятия геометрии, Дувр, стр. 156, ISBN 0-486-63415-9

[7] Янг, Джон Уэсли (1930), Проективная геометрия, Carus Mathematical Monographs # 4, Mathematical Association of America, стр. 84–85.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]