Периметр - Perimeter

Периметр - это расстояние вокруг двухмерной формы, измерение расстояния вокруг чего-либо; длина границы.

А периметр это путь, который охватывает / окружает двумерный форма. Этот термин может использоваться как для пути, так и для его длина - в одном измерении. Это можно представить как длину контура фигуры. Периметр круг или же эллипс называется его длина окружности.

Расчет периметра имеет несколько практических применений. Расчетный периметр - это длина забора, необходимая для окружения двора или сада. Периметр колеса / круга (его окружность) описывает, как далеко оно покатится за один революция. Точно так же количество струны, намотанной на катушку, зависит от ее периметра; если бы длина веревки была точной, она равнялась бы периметру.

Формулы


форма	формула	переменные
круг	${displaystyle 2pi r = pi d}$	куда ${displaystyle r}$ - радиус круга и ${displaystyle d}$ это диаметр.
треугольник	${displaystyle a + b + c,}$	куда ${displaystyle a}$ , ${displaystyle b}$ и ${displaystyle c}$ - длины сторон треугольника.
квадрат /ромб	${displaystyle 4a}$	куда ${displaystyle a}$ длина стороны.
прямоугольник	${displaystyle 2 (l + w)}$	куда ${displaystyle l}$ это длина и ${displaystyle w}$ это ширина.
равносторонний многоугольник	${displaystyle n imes a,}$	куда ${displaystyle n}$ это количество сторон и ${displaystyle a}$ длина одной из сторон.
правильный многоугольник	${displaystyle 2nbsin left ({frac {pi} {n}} ight)}$	куда ${displaystyle n}$ это количество сторон и ${displaystyle b}$ расстояние между центром многоугольника и одним из вершины многоугольника.
Общее многоугольник	${displaystyle a_ {1} + a_ {2} + a_ {3} + cdots + a_ {n} = sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i}}$	куда ${displaystyle a_ {i}}$ это длина ${displaystyle i}$ -й (1-й, 2-й, 3-й ... пй) сторона п-сторонний многоугольник.

кардиоид

{displaystyle gamma: [0,2pi] ightarrow mathbb {R} ^ {2}}

(рисунок с

{displaystyle a = 1}

)

{displaystyle x (t) = 2acos (t) (1 + cos (t))}

{displaystyle y (t) = 2asin (t) (1 + cos (t))}

{displaystyle L = int limits _ {0} ^ {2pi} {sqrt {x '(t) ^ {2} + y' (t) ^ {2}}}, mathrm {d} t = 16a}

Периметр - это расстояние вокруг фигуры. Периметры для более общих форм могут быть рассчитаны, как любой путь, с ${displaystyle int _ {0} ^ {L} mathrm {d} s}$ , куда ${displaystyle L}$ - длина пути и ${displaystyle ds}$ бесконечно малый линейный элемент. Оба они должны быть заменены алгебраическими формами, чтобы их можно было вычислить на практике. Если периметр задан как закрытый кусочно гладкая плоская кривая ${displaystyle gamma: [a, b] ightarrow mathbb {R} ^ {2}}$ с

{displaystyle gamma (t) = {egin {pmatrix} x (t) y (t) end {pmatrix}}}

тогда его длина ${displaystyle L}$ можно вычислить следующим образом:

{displaystyle L = int limits _ {a} ^ {b} {sqrt {x '(t) ^ {2} + y' (t) ^ {2}}}, mathrm {d} t}

Обобщенное понятие периметра, которое включает гиперповерхности ограничивающие объемы в ${displaystyle n}$ -размерный Евклидовы пространства, описывается теорией Наборы Caccioppoli.

Полигоны

Периметр прямоугольника.

Полигоны имеют основополагающее значение для определения периметров не только потому, что они являются простейшими формами, но и потому, что периметры многих форм вычисляются с помощью приблизительный их с последовательности многоугольников, стремящихся к этим формам. Известно, что первым математиком, использовавшим подобные рассуждения, был Архимед, который приблизил периметр круга, окружив его правильные многоугольники.

Периметр многоугольника равен сумма длины его стороны (края). В частности, периметр прямоугольник ширины ${displaystyle w}$ и длина ${displaystyle ell}$ равно ${displaystyle 2w + 2ell.}$

An равносторонний многоугольник многоугольник, все стороны которого имеют одинаковую длину (например, ромб представляет собой 4-сторонний равносторонний многоугольник). Чтобы вычислить периметр равностороннего многоугольника, нужно умножить общую длину сторон на количество сторон.

А правильный многоугольник можно охарактеризовать количеством сторон и по окружности, то есть постоянное расстояние между его центр и каждый из его вершины. Длину его сторон можно рассчитать с помощью тригонометрия. Если $р$ - радиус правильного многоугольника и $п$ - количество его сторон, тогда его периметр равен

{displaystyle 2nRsin left ({frac {180 ^ {circ}} {n}} ight).}

А разветвитель из треугольник это чевиан (отрезок от вершины до противоположной стороны), который делит периметр на две равные длины, эта общая длина называется полупериметр треугольника. Три делителя треугольника все пересекаются друг с другом на Точка Нагеля треугольника.

А тесак Треугольник - это отрезок от середины стороны треугольника до противоположной стороны, так что его периметр делится на два равных отрезка. Все три ножа треугольника пересекаются друг с другом в точках пересечения треугольника. Spieker центр.

Окружность круга

Если диаметр круга равен 1, его длина равна

π

.

Периметр круг, часто называемая окружностью, пропорциональна ее диаметр и это радиус. То есть существует постоянное число число Пи, $π$ (в Греческий п для периметра), что если $п$ периметр круга и $D$ его диаметр тогда,

{displaystyle P = pi cdot {D}.!}

По радиусу $р$ круга эта формула принимает вид

{displaystyle P = 2pi cdot r.}

Чтобы вычислить периметр круга, зная его радиус или диаметр и число $π$ достаточно. Проблема в том, что $π$ не является рациональный (это не может быть выражено как частное из двух целые числа ), и это не алгебраический (это не корень полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами). Итак, получив точное приближение $π$ важно при расчете. Вычисление цифр $π$ имеет отношение ко многим областям, таким как математический анализ, алгоритмика и Информатика.

Восприятие периметра

Чем больше вы разрезаете эту форму, тем меньше площадь и больше периметр. В выпуклый корпус остается такой же.

В Neuf-Brisach периметр укреплений сложен. Кратчайший путь вокруг него - по его выпуклый корпус.

Периметр и площадь два основных размера геометрических фигур. Распространенная ошибка - сбивать их с толку, равно как и полагать, что чем больше один из них, тем сильнее должен быть другой. Действительно, обычное наблюдение состоит в том, что увеличение (или уменьшение) формы приводит к увеличению (или уменьшению) ее площади, а также периметра. Например, если поле нарисовано на карте масштаба 1/10 000, фактический периметр поля можно вычислить, умножив периметр чертежа на 10 000. Реальная площадь - 10000² умножить на площадь фигуры на карте. Тем не менее, нет никакой связи между площадью и периметром обычной формы. Например, периметр прямоугольника шириной 0,001 и длиной 1000 немного больше 2000, а периметр прямоугольника шириной 0,5 и длиной 2 равен 5. Обе площади равны 1.

Прокл (V век) сообщает, что греческие крестьяне «справедливо» разделили поля по их периметру.^[1] Однако урожайность поля пропорциональна его площади, а не периметру, поэтому многие наивные крестьяне могли получить поля с длинным периметром, но небольшими площадями (таким образом, мало урожая).

Если удалить кусок из фигуры, его площадь уменьшится, а периметр - нет. В случае очень неправильных форм может возникнуть путаница между периметром и выпуклый корпус может возникнуть. Выпуклый корпус фигуры можно представить себе как форму, образованную натянутой вокруг нее резинкой. На анимированной картинке слева все фигуры имеют одинаковую выпуклую оболочку; большой, первый шестиугольник.

Изопериметрия

Изопериметрическая задача состоит в том, чтобы определить фигуру с наибольшей площадью среди фигур с заданным периметром. Решение интуитивно понятное; это круг. В частности, этим можно объяснить, почему капли жира на бульон поверхности круглые.

Эта проблема может показаться простой, но для ее математического доказательства требуются сложные теоремы. Изопериметрическую задачу иногда упрощают, ограничивая тип используемых фигур. В частности, чтобы найти четырехугольник, или треугольник, или другая конкретная фигура с наибольшей площадью среди фигур той же формы с заданным периметром. Решением четырехугольной изопериметрической задачи является квадрат, а решением проблемы треугольника является равносторонний треугольник. В общем, многоугольник с $п$ стороны, имеющие наибольшую площадь и заданный периметр, являются правильный многоугольник, который ближе к кругу, чем любой неправильный многоугольник с таким же количеством сторон.

Этимология

Слово происходит от Греческий περίμετρος периметрос из περί пери «вокруг» и μέτρον метрон "мера".

Смотрите также

внешняя ссылка

[1] Хит, Т. (1981). История греческой математики. 2. Dover Publications. п. 206. ISBN 0-486-24074-6.

[1]