Параллельные линии - Concurrent lines

Линии в плоскости или многомерном пространстве называются одновременный если они пересекаться на одном точка.

Примеры

Треугольники

В треугольник, четыре основных типа наборов параллельных линий: высоты, биссектриса угла, медианы, и перпендикулярные биссектрисы:

  • Высота треугольника от каждого вершина и встретимся с противоположной стороной на прямой угол. Точка пересечения трех высот - это ортоцентр.
  • Биссектрисы угла - это лучи, идущие из каждой вершины треугольника и делящие пополам соответствующие угол. Все они встречаются в стимулятор.
  • Медианы соединяют каждую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы встречаются в центроид.
  • Перпендикулярные биссектрисы - это линии, выходящие из середин каждой стороны треугольника под углом 90 градусов. Три серединных перпендикуляра пересекаются в точке центр окружности.

Другие наборы линий, связанные с треугольником, также являются параллельными. Например:

  • Любая медиана (которая обязательно биссектриса площади треугольника ) совпадает с двумя другими биссектрисами площади, каждая из которых параллельна стороне.[1]
  • А тесак треугольника - это отрезок прямой, делит пополам периметр треугольника и имеет одну конечную точку в середине одной из трех сторон. Три ножа совпадают в центре Круг Шпикера, какой окружать из средний треугольник.
  • А разветвитель Треугольник - это отрезок прямой, имеющий одну конечную точку в одной из трех вершин треугольника и делящий пополам периметр. Три сплиттера сходятся во мнении Точка Нагеля треугольника.
  • Любая линия, проходящая через треугольник, которая разделяет как площадь треугольника, так и его периметр пополам, проходит через треугольник. стимулятор, и каждый треугольник состоит из одной, двух или трех таких линий.[2] Таким образом, если их трое, они соглашаются в центре внимания.
  • В Тарри-пойнт треугольника - это точка совпадения прямых, проходящих через вершины треугольника, перпендикулярных соответствующим сторонам первого треугольника. Треугольник Брокара.
  • В Точка Шиффлера треугольника - точка совпадения Линии Эйлера четырех треугольников: рассматриваемый треугольник и три треугольника, каждый из которых имеет две общие с ним вершины и имеет свои стимулятор как другая вершина.
  • В Наполеон очки и их обобщения являются точками параллелизма. Например, первая точка Наполеона - это точка совпадения трех линий, каждая из которых идет от вершины до центроида равностороннего треугольника, нарисованного на внешней стороне противоположной стороны от вершины. Обобщением этого понятия является Точка Якоби.
  • В de Longchamps Point точка совпадения нескольких строк с Линия Эйлера.
  • Три линии, каждая из которых образована путем рисования внешнего равностороннего треугольника на одной из сторон данного треугольника и соединения новой вершины с противоположной вершиной исходного треугольника, совпадают в точке, называемой первый изогональный центр. В случае, когда исходный треугольник не имеет угла больше 120 °, эта точка также является Точка Ферма.
  • В Точка Аполлония - точка совпадения трех прямых, каждая из которых соединяет точку касания окружности, с которой треугольник вне окружности являются внутренне касательными к противоположной вершине треугольника.

Четырехугольники

  • Два бимедианцы из четырехугольник (сегменты, соединяющие середины противоположных сторон) и линейный сегмент, соединяющий середины диагоналей, параллельны и все делятся пополам по своей точке пересечения.[3]:стр.125
  • В тангенциальный четырехугольник, четверка биссектриса угла согласиться в центре окружать.[4]
  • Даны другие совпадения тангенциального четырехугольника. Вот.
  • В циклический четырехугольник, четыре отрезка, каждый перпендикуляр в одну сторону и проходя через противоположную сторону середина, являются параллельными.[3]:стр.131;[5] Эти отрезки называются солодовые привычки,[6] что является аббревиатурой от средней точки высоты. Их общая точка называется антицентр.
  • Выпуклый четырехугольник - это эксантангенциальный тогда и только тогда, когда есть шесть параллельных биссектрис углов: внутренний биссектриса угла при двух противоположных углах при вершине, биссектрисы внешнего угла при двух других углах при вершине и биссектрисы внешнего угла при углах, образованных в местах пересечения продолжений противоположных сторон.

Шестиугольники

  • Если последовательные стороны циклический шестиугольник находятся а, б, c, d, е, ж, то три главных диагонали совпадают в одной точке тогда и только тогда, когда туз = bdf.[7]
  • Если шестиугольник имеет вписанный конический, затем по Теорема Брианшона его главный диагонали являются параллельными (как на изображении выше).
  • Параллельные линии возникают в двойственном Теорема Паппа о шестиугольнике.
  • Для каждой стороны циклического шестиугольника протяните соседние стороны до их пересечения, образуя треугольник, внешний по отношению к данной стороне. Тогда отрезки, соединяющие центры описанных окружностей противоположных треугольников, совпадают.[8]

Правильные многоугольники

  • Если у правильного многоугольника четное число сторон, диагонали соединяющие противоположные вершины совпадают в центре многоугольника.

Круги

Эллипсы

  • Все биссектрисы площади и биссектрисы периметра эллипс параллельны в центре эллипса.

Гиперболы

  • В гипербола следующие параллельны: (1) окружность, проходящая через фокусы гиперболы с центром в центре гиперболы; (2) любая из прямых, касающихся гиперболы в вершинах; и (3) любая из асимптот гиперболы.
  • Следующие элементы также совпадают: (1) круг с центром в центре гиперболы и проходящий через вершины гиперболы; (2) либо директриса; и (3) любая из асимптот.

Тетраэдры

Алгебра

Смотрите также: Частота (геометрия) § Сопоставление

Согласно Теорема Руше – Капелли, система уравнений есть последовательный если и только если классифицировать из матрица коэффициентов равен рангу расширенная матрица (матрица коэффициентов дополнена столбцом перехватывающих членов), и система имеет уникальный решение тогда и только тогда, когда этот общий ранг равен количеству переменных. Таким образом, с двумя переменными k линии на плоскости, связанные с набором k уравнения, являются параллельными тогда и только тогда, когда ранг k × 2 матрица коэффициентов и ранг k × 3 расширенная матрица равна 2. В этом случае только два из k уравнения независимый, а точка параллелизма может быть найдена путем одновременного решения любых двух взаимно независимых уравнений для двух переменных.

Проективная геометрия

В проективная геометрия, в двух измерениях параллелизм - это двойной из коллинеарность; в трех измерениях параллелизм является двойным копланарность.

Рекомендации

  1. ^ Данн, Дж. А., Претти, Дж. Э., «Деление треугольника пополам», Математический вестник 56, май 1972 г., стр. 105-108.
  2. ^ Кодокостас, Димитриос, «Треугольные эквалайзеры», Математический журнал 83, апрель 2010 г., стр. 141–146.
  3. ^ а б Альтшиллер-Корт, Натан (2007) [1952], Геометрия колледжа: введение в современную геометрию треугольника и круга (2-е изд.), Courier Dover, стр. 131, 137–8, ISBN  978-0-486-45805-2, OCLC  78063045
  4. ^ Андрееску, Титу и Энеску, Богдан, Сокровища математической олимпиады, Birkhäuser, 2006, стр. 64–68.
  5. ^ Хонсбергер, Росс (1995), «4.2 Циклические четырехугольники», Эпизоды евклидовой геометрии девятнадцатого и двадцатого веков, Новая математическая библиотека, 37, Cambridge University Press, стр. 35–39, ISBN  978-0-88385-639-0
  6. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Мальтитуд". MathWorld.
  7. ^ Картенсен, Йенс, «О шестиугольниках», Математический спектр 33(2) (2000-2001), 37-40.
  8. ^ Николаос Дергиадес, «Теорема Дао о шести центрах окружности, связанных с циклическим шестиугольником», Форум Geometricorum 14, 2014, 243--246. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201424index.html
  9. ^ Люнг, Камтим; и Суен, Сук-нам; "Векторы, матрицы и геометрия", Hong Kong University Press, 1994, стр. 53-54.

внешняя ссылка