Ортоцентрический тетраэдр - Orthocentric tetrahedron

В геометрия, ортоцентрический тетраэдр это тетраэдр где все три пары противоположных ребер перпендикуляр. Он также известен как ортогональный тетраэдр поскольку ортогональный означает перпендикулярный. Впервые его изучил Саймон Люильер в 1782 г. и получил название ортоцентрический тетраэдр. Г. де Лоншам в 1890 г.^[1]

В ортоцентрическом тетраэдре четыре высоты равны одновременный. Эта общая точка называется ортоцентр, и он обладает тем свойством, что является симметричной точкой центра ограниченная сфера с уважением к центроид.^[1] Следовательно, ортоцентр совпадает с Точка Монжа тетраэдра.

Характеристики

Все тетраэдры можно вписать в параллелепипед. Тетраэдр ортоцентрический если и только если его описанный параллелепипед является ромбоэдр. Действительно, в любом тетраэдре пара противоположных ребер перпендикулярна тогда и только тогда, когда соответствующие грани описанного параллелепипеда являются ромбами. Если четыре грани параллелепипеда являются ромбами, то все ребра имеют одинаковую длину и все шесть граней являются ромбами; Отсюда следует, что если две пары противоположных ребер в тетраэдре перпендикулярны, то перпендикулярна и третья пара, и тетраэдр ортоцентрический.^[1]

Тетраэдр ABCD ортоцентричен тогда и только тогда, когда сумма квадратов противоположных ребер одинакова для трех пар противоположных ребер:^[2]^[3]

{ displaystyle displaystyle AB ^ {2} + CD ^ {2} = AC ^ {2} + BD ^ {2} = AD ^ {2} + BC ^ {2}.}

Фактически, чтобы тетраэдр был ортоцентрическим, достаточно, чтобы только две пары противоположных ребер удовлетворяли этому условию.

Другая необходимое и достаточное условие ортоцентричностью тетраэдра является то, что его три бимедианцы иметь одинаковую длину.^[3]

Объем

Характеристика ребер подразумевает, что если известны только четыре из шести ребер ортоцентрического тетраэдра, оставшиеся два могут быть вычислены, если они не противоположны друг другу. Следовательно объем ортоцентрического тетраэдра можно выразить через четыре ребра а, б, c, d. Формула^[4]

{ displaystyle V = { frac {1} {6}} { sqrt {4 (c ^ {2} + d ^ {2}) s (sa) (sb) (sc) -a ^ {2} b ^ {2} c ^ {2}}}}

где c и d противоположные края, и ${ displaystyle s = { tfrac {1} {2}} (a + b + c)}$ .

Смотрите также

использованная литература

^ ^а ^б ^c Суд, Н.А. (Октябрь 1934 г.), "Заметки об ортоцентрическом тетраэдре", Американский математический ежемесячный журнал, 41 (8): 499–502, Дои:10.2307/2300415, JSTOR 2300415.
^ Рейман, Иштван, «Международная математическая олимпиада: 1976–1990», Anthem Press, 2005, стр. 175–176.
^ ^а ^б Хазевинкель, Михиэль, "Энциклопедия математики: Приложение, Volym 3", Kluwer Academic Publishers, 1997, с. 468.
^ Андрееску, Титу и Гелька, Разван, «Задачи математической олимпиады», Биркхойзер, второе издание, 2009 г., стр. 30–31, 159.

[Court-1] а ^б ^c Суд, Н.А. (Октябрь 1934 г.), "Заметки об ортоцентрическом тетраэдре", Американский математический ежемесячный журнал, 41 (8): 499–502, Дои:10.2307/2300415, JSTOR 2300415.

[2] Рейман, Иштван, «Международная математическая олимпиада: 1976–1990», Anthem Press, 2005, стр. 175–176.

[Hazewinkel-3] а ^б Хазевинкель, Михиэль, "Энциклопедия математики: Приложение, Volym 3", Kluwer Academic Publishers, 1997, с. 468.

[Andreescu-4] Андрееску, Титу и Гелька, Разван, «Задачи математической олимпиады», Биркхойзер, второе издание, 2009 г., стр. 30–31, 159.

[1]

[2]

[3]

[4]