Центроид - Centroid

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (апрель 2013) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Центроид треугольника

В математика и физика, то центроид или геометрический центр из плоская фигура это среднее арифметическое положение всех точек на рисунке. Неформально, это точка, в которой вырез формы может быть идеально сбалансирован на кончике булавки.^[1]

Определение распространяется на любой объект в п-размерный Космос: его центроид - это среднее положение всех точек во всех направлениях координат.^[2]

Пока в геометрия слово барицентр это синоним центроид, в астрофизика и астрономия, барицентром является центр массы двух или более тел, которые орбита друг друга. В физика, центр масс - это среднее арифметическое всех точек взвешенный по местной плотности или конкретный вес. Если физический объект имеет однородную плотность, его центр масс совпадает с центроидом его формы.

В география, центроид радиальной проекции участка поверхности Земли на уровень моря является географический центр.

История

Термин «центроид» появился недавно (1814 г.).^{[нужна цитата ]} Он используется вместо старых терминов "центр гравитации," и "центр массы ", когда необходимо подчеркнуть чисто геометрические аспекты этой точки. Термин свойственен английскому языку. Французское употребление"Centre de Gravité"в большинстве случаев, а другие используют термины аналогичного значения.

Центр тяжести, как следует из названия, возник в механике, скорее всего, в связи со строительством. Когда, где и кем он был изобретен, неизвестно, так как эта концепция, вероятно, пришла в голову многим людям индивидуально с небольшими различиями.

Пока возможно Евклид все еще был активен в Александрии в детстве Архимед (287–212 гг. До н.э.), несомненно, что когда Архимед посетил Александрия Евклида больше не было. Таким образом, Архимед не мог усвоить теорему о том, что медианы треугольника пересекаются в точке - центре тяжести треугольника прямо из Евклида, поскольку этого утверждения нет в Элементы Евклида. Первое явное утверждение этого предложения связано с тем, что Цапля Александрийская (возможно, I век н. э.) и встречается в его «Механике». Между прочим, можно добавить, что это положение не входило в учебники по геометрии плоскости до XIX века.

Хотя Архимед не заявляет об этом утверждении явно, он косвенно ссылается на него, предполагая, что он был знаком с ним. Однако, Жан Этьен Монукла (1725–1799), автор первой истории математики (1758), категорически заявляет (т. I, стр. 463), что центр тяжести твердых тел - это предмет, которого Архимед не касался.

В 1802 г. Чарльз Боссут (1730–1813) опубликовал двухтомный Essai sur l'histoire générale des mathématiques. Эта книга была высоко оценена современниками, судя по тому, что уже через два года после публикации она была переведена на итальянский (1802–03), английский (1803) и немецкий (1804) языки. Босут приписывает Архимеду открытие центра тяжести плоских фигур, но ничего не говорит о твердых телах.^[3]

Характеристики

Геометрический центр тяжести выпуклый объект всегда лежит в объекте. У невыпуклого объекта центр тяжести может находиться вне самой фигуры. Центроид звенеть или чаша, например, находится в центральной пустоте объекта.

Если центроид определен, это неподвижная точка всех изометрий в его группа симметрии. В частности, геометрический центроид объекта лежит на пересечении всех его гиперплоскости из симметрия. Центроид многих фигур (правильный многоугольник, правильный многогранник, цилиндр, прямоугольник, ромб, круг, сфера, эллипс, эллипсоид, суперэллипс, суперэллипсоид и т. д.) можно определить только по этому принципу.

В частности, центр тяжести параллелограмм место встречи двух диагонали. Это не относится к другим четырехугольники.

По той же причине центроид объекта с поступательная симметрия не определено (или находится за пределами ограничивающего пространства), потому что перевод не имеет фиксированной точки.

Примеры

Центроид треугольника - это пересечение трех медианы треугольника (каждая медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны).^[4]

Для других свойств центроида треугольника см. ниже.

Расположение

Метод отвеса

Центроид равномерно плотной плоская пластинка, например, на рисунке (а) ниже, можно определить экспериментально с помощью отвес и штифт для поиска совмещенного центра масс тонкого тела однородной плотности, имеющего такую ​​же форму. Тело удерживается штифтом, вставленным в точку за пределами предполагаемого центра тяжести, таким образом, чтобы оно могло свободно вращаться вокруг штифта; затем отвес снимается со штифта (рисунок b). Положение отвеса отслеживается на поверхности, и процедура повторяется со штифтом, вставленным в любую другую точку (или несколько точек) за пределами центроида объекта. Единственной точкой пересечения этих линий будет центроид (рисунок c). При условии, что тело имеет однородную плотность, все линии, сделанные таким образом, будут включать центроид, и все линии будут пересекаться в одном и том же месте.

(а)	(б)	(c)

Этот метод может быть расширен (теоретически) на вогнутые формы, где центроид может лежать вне формы, и практически на твердые тела (опять же, с однородной плотностью), где центроид может лежать внутри тела. (Виртуальные) положения отвесов должны быть записаны другими способами, кроме их рисования по форме.

Метод балансировки

Для выпуклых двумерных форм центр тяжести можно найти, уравновешивая форму на меньшей форме, такой как вершина узкого цилиндра. Центроид находится где-то в пределах диапазона контакта между двумя формами (и точно в точке, где форма будет балансировать на штифте). В принципе, для нахождения центра тяжести с произвольной точностью можно использовать все более узкие цилиндры. На практике воздушные потоки делают это невозможным. Однако, отмечая диапазон перекрытия от нескольких весов, можно достичь значительного уровня точности.

Конечного множества точек

Центроид конечного множества ${ displaystyle k}$ точки ${ displaystyle mathbf {x} _ {1}, mathbf {x} _ {2}, ldots, mathbf {x} _ {k}}$ в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ является

${ displaystyle mathbf {C} = { frac { mathbf {x} _ {1} + mathbf {x} _ {2} + cdots + mathbf {x} _ {k}} {k}} }$.^[2]

Эта точка минимизирует сумму квадратов евклидовых расстояний между собой и каждой точкой в ​​наборе.

Путем геометрического разложения

Центроид плоской фигуры ${ displaystyle X}$ можно вычислить, разделив его на конечное число более простых фигур ${ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, dots, X_ {n}}$, вычисляя центроид ${ displaystyle C_ {i}}$ и площадь ${ displaystyle A_ {i}}$ каждой части, а затем вычислить

${ Displaystyle C_ {x} = { frac { sum C_ {i_ {x}} A_ {i}} { sum A_ {i}}}, C_ {y} = { frac { sum C_ {i_ {y}} A_ {i}} { sum A_ {i}}}}$

Отверстия в фигуре ${ displaystyle X}$, перекрытия между частями или части, выходящие за пределы фигуры, могут обрабатываться с использованием отрицательных областей ${ displaystyle A_ {i}}$. А именно меры ${ displaystyle A_ {i}}$ следует воспринимать с положительными и отрицательными знаками таким образом, чтобы сумма знаков ${ displaystyle A_ {i}}$ для всех частей, которые окружают данную точку ${ displaystyle p}$ равно 1, если ${ displaystyle p}$ принадлежит ${ displaystyle X}$, и 0 в противном случае.

Например, рисунок ниже (а) легко разделить на квадрат и треугольник, оба с положительной площадью; и круглое отверстие с отрицательной площадью (b).

(а) 2D объект

(б) Объект, описанный с использованием более простых элементов

(c) Центроиды элементов объекта

Центроид каждой части можно найти в любом список центроидов простых форм (с). Тогда центроид фигуры - это средневзвешенное значение трех точек. Горизонтальное положение центроида от левого края рисунка равно

${ displaystyle x = { frac {5 times 10 ^ {2} +13,33 times { frac {1} {2}} 10 ^ {2} -3 times pi 2,5 ^ {2}} {10 ^ {2} + { frac {1} {2}} 10 ^ {2} - pi 2,5 ^ {2}}} приблизительно 8,5 { mbox {units}}.}$

Таким же образом определяется вертикальное положение центроида.

Та же самая формула верна для любых трехмерных объектов, за исключением того, что каждый ${ displaystyle A_ {i}}$ должен быть объем ${ displaystyle X_ {i}}$, а не его площадь. Это также верно для любого подмножества ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$, для любого измерения ${ displaystyle d}$, где области заменены ${ displaystyle d}$-размерный меры частей.

По интегральной формуле

Центроид подмножества Икс из ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ также может быть вычислено интеграл

${ Displaystyle С = { гидроразрыва { int xg (x) ; dx} { int g (x) ; dx}}}$

где интегралы берутся по всему пространству ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$, и грамм это характеристическая функция подмножества, которое равно 1 внутри Икс и 0 за его пределами.^[5] Обратите внимание, что знаменатель - это просто мера из набора Икс. Эта формула не может применяться, если набор Икс имеет нулевую меру или если любой интеграл расходится.

Другая формула для центроида:

${ Displaystyle C_ {к} = { гидроразрыва { int zS_ {k} (z) ; dz} { int S_ {k} (z) ; dz}}}$

где C_k это k-я координата C, и S_k(z) - мера пересечения Икс с гиперплоскостью, определяемой уравнением Икс_k = z. Опять же, знаменатель - это просто мера Икс.

В частности, для плоской фигуры координаты центра масс равны

${ displaystyle C _ { mathrm {x}} = { frac { int xS _ { mathrm {y}} (x) ; dx} {A}}}$

${ displaystyle C _ { mathrm {y}} = { frac { int yS _ { mathrm {x}} (y) ; dy} {A}}}$

где А это площадь фигуры Икс; S_у(Икс) - длина пересечения Икс с вертикальной линией на абсцисса Икс; и S_Икс(у) - аналогичная величина для поменяемых местами осей.

Ограниченной области

Центроид ${ displaystyle ({ bar {x}}, ; { bar {y}})}$ области, ограниченной графиками непрерывные функции ${ displaystyle f}$ и ${ displaystyle g}$ такой, что ${ Displaystyle е (х) geq g (х)}$ на интервале ${ Displaystyle [а, б]}$, ${ Displaystyle а leq x leq b}$, дан кем-то

${ displaystyle { bar {x}} = { frac {1} {A}} int _ {a} ^ {b} x [f (x) -g (x)] ; dx}$^[5]

${ displaystyle { bar {y}} = { frac {1} {A}} int _ {a} ^ {b} left [{ frac {f (x) + g (x)} {2 }} right] [f (x) -g (x)] ; dx,}$^[6]

где ${ displaystyle A}$ это площадь региона (определяется как ${ Displaystyle int _ {a} ^ {b} [е (х) -g (х)] ; dx}$).^[7][8]

Г-образного объекта

Это метод определения центра тяжести L-образного объекта.

1. Разделите фигуру на два прямоугольника, как показано на рис. 2. Найдите центры тяжести этих двух прямоугольников, нарисовав диагонали. Проведите линию, соединяющую центроиды. Центроид фигуры должен лежать на этой линии AB.
2. Разделите фигуру на два других прямоугольника, как показано на рис. 3. Найдите центры тяжести этих двух прямоугольников, нарисовав диагонали. Проведите линию, соединяющую центроиды. Центроид L-образной формы должен лежать на этой прямой CD.
3. Поскольку центр тяжести формы должен лежать вдоль AB, а также вдоль CD, он должен быть на пересечении этих двух линий в точке O. Точка O может лежать внутри или снаружи L-образного объекта.

Треугольника

Центроид треугольник точка пересечения его медианы (линии, соединяющие каждую вершина с серединой противоположной стороны).^[4] Центроид делит каждую из медиан в соотношение 2: 1, то есть он расположен на расстояния от каждой стороны до противоположной вершины (см. Рисунки справа).^[9][10] это Декартовы координаты являются означает координат трех вершин. То есть, если три вершины ${ Displaystyle L = (x_ {L}, y_ {L}),}$ ${ Displaystyle M = (x_ {M}, y_ {M}),}$ и ${ Displaystyle N = (x_ {N}, y_ {N}),}$ тогда центроид (обозначенный C здесь, но чаще всего обозначается г в геометрия треугольника ) является

${ displaystyle C = { frac {1} {3}} (L + M + N) = left ({ frac {1} {3}} (x_ {L} + x_ {M} + x_ {N) }), ; ; { frac {1} {3}} (y_ {L} + y_ {M} + y_ {N}) right).}$

Центроид поэтому находится в ${ displaystyle { tfrac {1} {3}}: { tfrac {1} {3}}: { tfrac {1} {3}}}$ в барицентрические координаты.

В трилинейные координаты центроид может быть выражен любым из этих эквивалентных способов в терминах длин сторон а, б, в и углы при вершинах L, M, N:^[11]

${ displaystyle { begin {align} C & = { frac {1} {a}}: { frac {1} {b}}: { frac {1} {c}} = bc: ca: ab = csc L: csc M: csc N [6pt] & = cos L + cos M cdot cos N: cos M + cos N cdot cos L: cos N + cos L cdot cos M [6pt] & = sec L + sec M cdot sec N: sec M + sec N cdot sec L: sec N + sec L cdot sec M. end {выровнено }}}$

Центроид также является физическим центром масс, если треугольник сделан из однородного листа материала; или если вся масса сосредоточена в трех вершинах и поровну разделена между ними. С другой стороны, если масса распределена по периметру треугольника, с равномерным линейная плотность, то центр масс находится в точке Spieker центр (в стимулятор из средний треугольник ), который (в общем случае) не совпадает с геометрическим центроидом полного треугольника.

Площадь треугольника в 1,5 раза превышает длину любой стороны, умноженную на перпендикулярное расстояние от стороны до центроида.^[12]

Центроид треугольника лежит на его Линия Эйлера между его ортоцентр ЧАС и это центр окружности О, ровно в два раза ближе ко второму, чем к первому:

${ displaystyle { overline {CH}} = 2 { overline {CO}}.}$^[13][14]

Кроме того, для стимулятор я и центр девяти точек N, у нас есть

${ displaystyle { begin {align} { overline {CH}} & = 4 { overline {CN}} [5pt] { overline {CO}} & = 2 { overline {CN}} [5pt] { overline {IC}} & <{ overline {HC}} [5pt] { overline {IH}} & <{ overline {HC}} [5pt] { overline {IC }} & <{ overline {IO}} end {align}}}$

Если G - центр тяжести треугольника ABC, то:

${ Displaystyle Displaystyle ({ текст {Площадь}} треугольник mathrm {ABG}) = ({ text {Площадь}} треугольник mathrm {ACG}) = ({ text {Площадь}} треугольник mathrm {BCG}) = { frac {1} {3}} ({ text {Площадь}} треугольник mathrm {ABC})}$

В изогональный конъюгат центра тяжести треугольника является его симедианная точка.

Любая из трех медиан, проходящих через центроид, делит площадь треугольника пополам. Это неверно для других линий через центроид; наибольшее отклонение от деления на равные площади происходит, когда линия, проходящая через центроид, параллельна стороне треугольника, образуя меньший треугольник и трапеция; в этом случае площадь трапеции равна 5/9 площади исходного треугольника.^[15]

Позволять п - любая точка на плоскости треугольника с вершинами А, Б, и C и центроид г. Тогда сумма квадратов расстояний п от трех вершин превышает сумму квадратов расстояний до центроида г от вершин на троекратный квадрат расстояния между п и г:

${ displaystyle PA ^ {2} + PB ^ {2} + PC ^ {2} = GA ^ {2} + GB ^ {2} + GC ^ {2} + 3PG ^ {2}.}$^[16]

Сумма квадратов сторон треугольника равна трехкратной сумме квадратов расстояний от центроида до вершин:

${ displaystyle AB ^ {2} + BC ^ {2} + CA ^ {2} = 3 (GA ^ {2} + GB ^ {2} + GC ^ {2}).}$^[16]

Центроид треугольника - это точка, которая максимизирует произведение направленных расстояний точки от боковых линий треугольника.^[17]

Позволять ABC быть треугольником, пусть г быть его центроидом, и пусть D, E, и F быть серединой до н.э, CA, и AB, соответственно. Для любой точки п в плоскости ABC тогда

${ Displaystyle PA + PB + PC leq 2 (PD + PE + PF) + 3PG.}$^[18]

Многоугольника

Центроид несамопересекающегося замкнутого многоугольник определяется п вершины (Икс₀,у₀), (Икс₁,у₁), ..., (Икс_п−1,у_п−1) - точка (C_Икс, C_у),^[19] где

${ displaystyle C _ { mathrm {x}} = { frac {1} {6A}} sum _ {i = 0} ^ {n-1} (x_ {i} + x_ {i + 1}) ( x_ {i} y_ {i + 1} -x_ {i + 1} y_ {i}),}$ и

${ displaystyle C _ { mathrm {y}} = { frac {1} {6A}} sum _ {i = 0} ^ {n-1} (y_ {i} + y_ {i + 1}) ( x_ {i} y_ {i + 1} -x_ {i + 1} y_ {i}),}$

и где А площадь со знаком многоугольника,^[19] как описано формула шнурка:

${ displaystyle A = { frac {1} {2}} sum _ {i = 0} ^ {n-1} (x_ {i} y_ {i + 1} -x_ {i + 1} y_ {я}).}$

В этих формулах предполагается, что вершины пронумерованы в порядке их появления по периметру многоугольника; кроме того, вершина ( Икс_п, у_п ) считается таким же, как ( Икс₀, у₀ ), смысл ${ displaystyle i + 1}$ в последнем случае должен вернуться к ${ displaystyle i = 0}$. (Если точки пронумерованы по часовой стрелке, площадь А, вычисленное, как указано выше, будет отрицательным; однако координаты центроида будут правильными даже в этом случае.)

Конуса или пирамиды

Центроид конус или пирамида расположен на отрезке линии, соединяющем вершина к центру тяжести основания. Для твердого конуса или пирамиды центр тяжести составляет 1/4 расстояния от основания до вершины. Для конуса или пирамиды, которые представляют собой просто оболочку (полую) без основания, центроид составляет 1/3 расстояния от базовой плоскости до вершины.

Тетраэдра и п-мерный симплекс

А тетраэдр это объект в трехмерное пространство имея четыре треугольника в качестве лица. Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центром тяжести противоположной грани, называется отрезком. медиана, а отрезок, соединяющий середины двух противоположных ребер, называется бимедиан. Следовательно, есть четыре медианы и три бимедианы. Эти семь отрезков пересекаются в центроид тетраэдра.^[20] Медианы делятся на центроид в соотношении 3: 1. Центроид тетраэдра - это середина между его Точка Монжа и центр описанной области (центр описанной сферы). Эти три точки определяют Линия Эйлера тетраэдра, аналогичного Линия Эйлера треугольника.

Эти результаты обобщаются на любые п-размерный симплекс следующим образом. Если набор вершин симплекса равен ${ displaystyle {v_ {0}, ldots, v_ {n}}}$, то рассматривая вершины как векторов, центроид

${ displaystyle C = { frac {1} {n + 1}} sum _ {i = 0} ^ {n} v_ {i}.}$

Геометрический центроид совпадает с центром масс, если масса равномерно распределена по всему симплексу, или сосредоточена в вершинах как п + 1 равные массы.

Полушария

Центроид сплошного полушария (т.е. половина сплошного шара) делит отрезок прямой, соединяющий центр сферы с полюсом полушария в соотношении 3: 5 (т. Е. Он находится на 3/8 пути от центра до полюса). Центроид полого полушария (т.е. половина полой сферы) делит отрезок прямой, соединяющий центр сферы с полюсом полушария пополам.

Смотрите также

• Чебышев центр
• Фреше означает
• k-средний алгоритм
• Список центроидов
• Определение центра масс
• Медоид
• Теорема Паппа о центроиде
• Спектральный центроид
• Центр треугольника

Примечания

Рекомендации

• Альтшиллер-Корт, Натан (1925), Геометрия колледжа: введение в современную геометрию треугольника и круга (2-е изд.), Нью-Йорк: Barnes & Noble, LCCN  52013504
• Бурк, Поль (июль 1997 г.). «Расчет площади и центра тяжести многоугольника».
• Джонсон, Роджер А. (2007), Продвинутая евклидова геометрия, Дувр
• Кей, Дэвид К. (1969), Колледж Геометрия, Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон, LCCN  69012075
• Ларсон, Роланд Э .; Хостетлер, Роберт П .; Эдвардс, Брюс Х. (1998), Исчисление одной переменной (6-е изд.), Компания Houghton Mifflin
• Protter, Murray H .; Морри младший, Чарльз Б. (1970), Вычисление колледжа с аналитической геометрией (2-е изд.), Литература: Эддисон-Уэсли, LCCN  76087042

внешняя ссылка

• Энциклопедия центров треугольников Кларк Кимберлинг. Центроид обозначен как X (2).
• Характерное свойство центроида в завязать узел
• Барицентрические координаты в завязать узел
• Показ интерактивной анимации Центроид треугольника и Конструкция центроида с компасом и линейкой
• Экспериментальное определение медиан и центроида треугольника в Эскизы динамической геометрии, интерактивный эскиз динамической геометрии с использованием симулятора гравитации Золушки.