Суперэллипсоид - Superellipsoid

Коллекция суперэллипсоидов с параметрами экспоненты, созданная с использованием Пов-луч. Здесь e = 2 / r и n = 2 / t (эквивалентно, r = 2 / e и t = 2 / n).[1] В куб, цилиндр, сфера, Штейнмец твердый, биконус и регулярный октаэдр все можно рассматривать как частные случаи.

В математика, а суперэллипсоид или суперэллипсоид твердое тело, горизонтальные сечения которого суперэллипсы (Кривые Ламе) с тем же показатель степени р, вертикальные сечения которых через центр представляют собой суперэллипсы с тем же показателем т.

Суперэллипсоиды как компьютерная графика примитивы были популяризированы Алан Х. Барр (кто использовал имя "суперквадрика "для обозначения как суперэллипсоидов, так и супертороиды ).[2][3] Однако в то время как некоторые суперэллипсоиды суперквадрика, ни одно семейство не содержится в другом.

Пит Хайн с супер-яйца являются частными случаями суперэллипсоидов.

Формулы

Основная форма

Базовый суперэллипсоид определяется неявное неравенство

Параметры р и т являются положительными действительными числами, которые контролируют степень сглаживания на концах и на экваторе. Обратите внимание, что формула становится частным случаем уравнения суперквадрики, если (и только если) т = р.

Любые "параллель широты "суперэллипсоида (горизонтальное сечение при любой постоянной z между -1 и +1) является кривой Ламе с показателем р, масштабируется :

Любые "меридиан долготы "(сечение любой вертикальной плоскостью через начало координат) - кривая Ламе с показателем т, растянутый по горизонтали в раз ш это зависит от плоскости сечения. А именно, если Икс = ты потому чтоθ и y = ты грехθ, для фиксированного θ, тогда

где

В частности, если р равно 2, горизонтальные сечения - кружки, а горизонтальное растяжение ш вертикальных сечений - 1 для всех плоскостей. В этом случае суперэллипсоид представляет собой твердое тело революции, полученная поворотом кривой Ламе с показателем т вокруг вертикальной оси.

Базовая форма выше простирается от -1 до +1 вдоль каждой координатной оси. Общий суперэллипсоид получается путем масштабирования основной формы вдоль каждой оси на множители А, B, C, полудиаметры полученного твердого тела. Неявное неравенство

Настройка р = 2, т = 2.5, А = B = 3, C = 4 получаем Суперэгэ Пита Хайна.

Общий суперэллипсоид имеет параметрическое представление по параметрам поверхности -π / 2 < v <π / 2, -π < ты <π.[3]

где вспомогательные функции

и функция знака sgn (Икс) является

Объем внутри этой поверхности можно выразить через бета-функцииГамма-функции, поскольку β (м,п) = Γ (м) Γ (п) / Γ (м + п) ), так как:

использованная литература

  1. ^ http://www.povray.org/documentation/view/3.6.1/285/
  2. ^ Барр, A.H. (январь 1981 г.), Суперквадрики и преобразования с сохранением угла. IEEE_CGA т. 1 шт. 1. С. 11–23.
  3. ^ а б Барр, A.H. (1992), Жесткие физически обоснованные суперквадрики. Глава III.8 Графика Самоцветы III, под редакцией Д. Кирка, стр. 137–159.
  • Алеш Яклич, Алеш Леонардис, Франц Солина, Сегментация и восстановление суперквадрик. Kluwer Academic Publishers, Дордрехт, 2000.
  • Алеш Яклич, Франс Солина (2003) Моменты суперэллипсоидов и их применение для регистрации дальномерных изображений. IEEE TRANSACTIONS ON SYSTEMS, MAN, AND CYBERNETICS, 33 (4). стр. 648–657

внешние ссылки