Неподвижные точки групп изометрий в евклидовом пространстве - Fixed points of isometry groups in Euclidean space

А неподвижная точка группы изометрий это точка, которая является фиксированная точка для каждого изометрия в группе. Для любого группа изометрии в Евклидово пространство набор неподвижных точек либо пуст, либо аффинное пространство.

Для объекта любой уникальный центр и, в более общем смысле, любая точка с уникальными свойствами по отношению к объекту является фиксированной точкой его группа симметрии.

В частности, это касается центроид фигуры, если она существует. В случае физического тела, если для симметрии учитывается не только форма, но и плотность, это относится к центр масс.

Если множество неподвижных точек группы симметрии объекта является одиночка то объект имеет конкретный центр симметрии. Центроид и центр масс, если они определены, являются этой точкой. Другое значение «центра симметрии» - это точка, относительно которой применяется инверсионная симметрия. Такая точка не обязательно должна быть уникальной; если нет, то есть поступательная симметрия, значит, таких точек бесконечно много. С другой стороны, в случаях, например, C_3ч и D₂ симметрия есть центр симметрии в первом смысле, но не инверсия.

Если группа симметрии объекта не имеет фиксированных точек, то объект бесконечен, а его центроид и центр масс не определены.

Если набор фиксированных точек группы симметрии объекта представляет собой линию или плоскость, тогда центроид и центр масс объекта, если они определены, и любая другая точка, которая имеет уникальные свойства по отношению к объекту, находятся на этой линии. или самолет.

1D

Линия

Только тривиальная группа изометрий оставляет неподвижной всю прямую.

Точка

Группы, порожденные отражением, оставляют точку неподвижной.

2D

Самолет

Только тривиальная группа изометрий C₁ оставляет неподвижным всю плоскость.

Линия

C_s относительно любой линии оставляет эту линию фиксированной.

Точка

В группы точек в двух измерениях относительно любой точки оставьте эту точку неподвижной.

3D

Космос

Только тривиальная группа изометрий C₁ оставляет все пространство фиксированным.

Самолет

C_s относительно плоскости оставляет эту плоскость неподвижной.

Линия

Группы изометрий, оставляющие фиксированную линию, представляют собой изометрии, которые в каждой плоскости, перпендикулярной этой линии, имеют общие двухмерные группы точек в двух измерениях относительно точки пересечения линии и плоскостей.

• C_п ( п > 1) и C_NV ( п > 1 )
• цилиндрическая симметрия без отражательной симметрии в плоскости, перпендикулярной оси
• случаи, когда группа симметрии является бесконечным подмножеством группы симметрии цилиндрической

Точка

Все остальные группы точек в трех измерениях

Нет фиксированных точек

Группа изометрии содержит переводы или винтовые операции.

Произвольное измерение

Точка

Одним из примеров группы изометрии, применяемой в каждом измерении, является группа, созданная инверсией в точке. N-мерный параллелепипед является примером объекта, инвариантного при такой инверсии.

Рекомендации

Славик В. Джаблан, Симметрия, орнамент и модульность, Том 30 серии K&E о узлах и всем остальном, World Scientific, 2002. ISBN  9812380809