Теорема Брианшона - Википедия - Brianchons theorem

Теорема Брианшона

В геометрия, Теорема Брианшона это теорема, утверждающая, что когда шестиугольник является ограниченный вокруг коническая секция, его главный диагонали (соединяющие противоположные вершины) встречаются в одной точке. Он назван в честь Шарль Жюльен Брианшон (1783–1864).

Официальное заявление

Позволять ${ Displaystyle P_ {1} P_ {2} P_ {3} P_ {4} P_ {5} P_ {6}}$ быть шестиугольник сформированный шестью касательные линии из коническая секция. Затем строки ${ displaystyle { overline {P_ {1} P_ {4}}}, ; { overline {P_ {2} P_ {5}}}, ; { overline {P_ {3} P_ {6}} }}$ (расширенные диагонали, каждая из которых соединяет противоположные вершины) пересекаются в одном точка ${ displaystyle B}$, то Точка Брианшон.^{[1]:п. 218[2]}

Связь с теоремой Паскаля

В полярный взаимный и проективный дуальный этой теоремы дают Теорема Паскаля.

Дегенерации

3-касательное вырождение теоремы Брианшона

Что касается теоремы Паскаля, то существуют дегенерации для теоремы Брианшона тоже: Пусть совпадают две соседние касательные. Их точка пересечения становится точкой коники. На диаграмме совпадают три пары соседних касательных. Результатом этой процедуры является заявление о эллипсы треугольников. С проективной точки зрения два треугольника ${ Displaystyle P_ {1} P_ {3} P_ {5}}$ и ${ displaystyle P_ {2} P_ {4} P_ {6}}$ лежать перспективно с центром ${ displaystyle B}$. Это означает, что существует центральная коллинеация, которая отображает один треугольник на другой. Но только в особых случаях эта коллинеация является аффинным масштабированием. Например, для эллипса Штайнера, где точка Брианшона является центроидом.

В аффинной плоскости

Теорема Брианшона верна как в аффинная плоскость и реальная проективная плоскость. Однако его изложение в аффинной плоскости в некотором смысле менее информативно и сложнее, чем в аффинной плоскости. проективная плоскость. Рассмотрим, например, пять касательных к парабола. Их можно считать сторонами шестиугольника, шестая сторона которого является линия на бесконечности, но на аффинной плоскости нет бесконечно удаленной линии. В двух случаях линия от (несуществующей) вершины к противоположной вершине будет линией параллельно одна из пяти касательных. Теорема Брианшона, сформулированная только для аффинной плоскости, в такой ситуации должна быть сформулирована иначе.

Проективный двойник теоремы Брианшона имеет исключения в аффинной плоскости, но не в проективной плоскости.

Доказательство

Теорема Брианшона может быть доказана с помощью идеи радикальная ось или взаимностью.

Смотрите также

• Теорема семи кругов
• Теорема Паскаля

Рекомендации