Педальный треугольник - Pedal triangle

Треугольник ABC черным цветом перпендикуляры из точки п синим цветом, а полученный треугольник педали LMN в красном.

В геометрия, а педальный треугольник получается путем проецирования точка по сторонам треугольник.

В частности, рассмотрим треугольник ABC, и точка п это не одна из вершин А, Б, В. Отбросьте перпендикуляры из п к трем сторонам треугольника (может потребоваться их изготовление, т. е. удлинение). метка L, M, N пересечения линий из п с боков до н.э, AC, AB. Треугольник педали тогда LMN.

Если ABC не является тупым треугольником, углы LMN равны 180º-2A, 180º-2B и 180º-2C.[1]

Расположение выбранной точки п относительно выбранного треугольника ABC приводит к некоторым частным случаям:

Случай, когда п находится на описанной окружности, а треугольник педали переходит в линию (красная).

Если п на описанный круг треугольника, LMN сворачивается в линию. Тогда это называется педальная линия, или иногда Линия Симсона после Роберт Симсон.

Вершины педального треугольника внутренней точки п, как показано на верхней диаграмме, разделите стороны исходного треугольника таким образом, чтобы удовлетворить Теорема Карно:[2]

Трилинейные координаты

Если п имеет трилинейные координаты п : q : р, то вершины L, M, N педального треугольника п даны

  • L = 0: q + p cos C : r + p потому что B
  • М = р + д потому что С: 0: г + д потому что А
  • N = p + r потому что B: q + r потому что А: 0

Антипедальный треугольник

Одна вершина, L ', из антипедальный треугольник из п точка пересечения перпендикуляра к BP через B и перпендикуляр к CP через C. Другие его вершины, M ' и N ', строятся аналогично. Трилинейные координаты даны

  • L ' = - (q + p потому что С) (г + р потому что Б): (г + р потому что В) (p + q потому что C): (q + p потому что C) (p + r потому что Б)
  • М ' = (r + q потому что А) (q + p потому что В): - (г + д потому что А) (p + q потому что C): (p + q потому что C) (q + r потому что А)
  • N ' = (q + r потому что А) (г + р потому что B): (p + r потому что Б) (г + д потому что А): - (p + r потому что В) (q + r потому что А)

Например, эксцентральный треугольник - антипедальный треугольник центрирующего центра.

Предположим, что п не лежит ни на одной из вытянутых сторон BC, CA, AB, и разреши п−1 обозначить изогональный конъюгат из п. Педальный треугольник п является гомотетичный к антипедальному треугольнику п−1. Гомотетический центр (который является центром треугольника тогда и только тогда, когда п центр треугольника) - точка, указанная в трилинейные координаты от

ap (p + q потому что C) (p + r потому что Б): bq (q + r потому что А) (q + p потому что В): cr (r + p потому что Б) (г + д потому что А).

Произведение площадей педального треугольника п и антипедальный треугольник п−1 равняется квадрату площади треугольника ABC.

использованная литература

  1. ^ "Тригонометрия / Круги и треугольники / Педальный треугольник - Викиучебники, открытые книги для открытого мира". en.wikibooks.org. Получено 2020-10-31.
  2. ^ Альфред С. Посаментьер; Чарльз Т. Салкинд (1996). Сложные задачи геометрии. Нью-Йорк: Дувр. стр.85 -86. ISBN  9780486134864. OCLC  829151719.

внешние ссылки