Площадь единицы - Unit square

В математика, а единичный квадрат это квадрат чьи стороны имеют длину $1$ . Часто, в единичный квадрат относится конкретно к квадрату в Декартова плоскость с углами в четырех точках $(0, 0$ ), $(1, 0)$ , $(0, 1)$ , и $(1, 1)$ .

Декартовы координаты

В Декартова система координат с координатами $(Икс, у)$ , единичный квадрат определяется как квадрат состоящий из точек, где оба $Икс$ и $у$ лежать в закрытом единичный интервал из $0$ к $1$ .

То есть единичный квадрат - это Декартово произведение $я \times я$ , куда $я$ обозначает замкнутый единичный интервал.

Комплексные координаты

Единичный квадрат также можно рассматривать как подмножество комплексная плоскость, топологическое пространство, образованное сложные числа На этом изображении четыре угла единичного квадрата находятся в четырех комплексных числах. $0$ , $1$ , $я$ , и $1 + я$ .

Проблема рационального расстояния

Нерешенная проблема в математике:

Есть ли точка на плоскости на рациональном расстоянии от всех четырех углов единичного квадрата?

(больше нерешенных задач по математике)

Неизвестно, является ли какая-либо точка на плоскости рациональный расстояние от всех четырех вершин единичного квадрата.^[1] Однако, по мнению Периа, единственные точки, входящие в квадрат рациональных расстояний четырех вершин, обязательно находятся на сторонах:

С точкой ${ Displaystyle (х, у)}$ с ${ displaystyle y geq 1}$ , Предположим, что ${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = { frac {A ^ {2}} {B ^ {2}}}}$ .

Тогда расстояние: ${ displaystyle x ^ {2} + (1-y) ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2} -2y + 1 = { frac {A ^ {2}} {B ^ {2 }}} - 2y + 1 = left ({ frac {A} {B}} - 1 right) ^ {2} подразумевает y = { frac {A} {B}} подразумевает x = 0}$ .

Смотрите также

внешняя ссылка

Вайсштейн, Эрик В. «Единичный квадрат». MathWorld.

[1] Гай, Ричард К. (1991), Нерешенные вопросы теории чисел. 1 (2-е изд.), Springer-Verlag, стр. 181–185..

[1]