Теорема Радона – Никодима - Radon–Nikodym theorem

В математика, то Теорема Радона – Никодима это результат теория меры который выражает взаимосвязь между двумя мерами, определенными на одном измеримое пространство. А мера это установить функцию который присваивает постоянную величину измеримым подмножествам измеримого пространства. Примеры меры включают площадь и объем, где подмножества представляют собой наборы точек; или вероятность события, которая представляет собой подмножество возможных результатов в более широком вероятностное пространство.

Один из способов получить новую меру из уже заданной - присвоить плотность каждой точке пространства, а затем интегрировать над измеримым подмножеством интереса. Это можно выразить как

{ displaystyle nu (A) = int _ {A} f , d mu,}

куда $ν$ определяется ли новая мера для любого измеримого подмножества $А$ и функция $ж$ - плотность в данной точке. Интеграл по существующей мере $μ$ , который часто может быть каноническим Мера Лебега на Реальная линия $ℝ$ или n-мерный Евклидово пространство $ℝ п$ (в соответствии с нашими стандартными представлениями о длине, площади и объеме). Например, если $ж$ представленная массовая плотность и $μ$ была мерой Лебега в трехмерном пространстве $ℝ 3$ , тогда $ν (А)$ равнялась бы общей массе в пространственной области $А$ .

Теорема Радона – Никодима по существу утверждает, что при определенных условиях любая мера $ν$ можно выразить таким образом относительно другой меры $μ$ на том же месте. Функция $ж$ затем называется Производная Радона – Никодима и обозначается ${ Displaystyle { tfrac {д ню} {д му}}}$ .^[1] Важное приложение находится в теория вероятности, ведущий к функция плотности вероятности из случайная переменная.

Теорема названа в честь Иоганн Радон, который доказал теорему для частного случая, когда основное пространство $ℝ п$ в 1913 г., а для Отто Никодим который доказал общий случай в 1930 г.^[2] В 1936 г. Ганс Фройденталь обобщил теорему Радона – Никодима, доказав Спектральная теорема Фрейденталя, в результате Пространство Рисса теория; в нем как частный случай содержится теорема Радона – Никодима.^[3]

А Банахово пространство $Y$ говорят, что имеет Радон – Никодим свойство если также выполняется обобщение теоремы Радона – Никодима, mutatis mutandis, для функций со значениями в $Y$ . Все Гильбертовы пространства обладают свойством Радона – Никодима.

Формальное описание

Теорема Радона – Никодима

В Теорема Радона – Никодима включает в себя измеримое пространство ${ Displaystyle (Х, { mathit { Sigma}})}$ на котором два σ-конечные меры определены, ${ displaystyle mu}$ и ${ displaystyle nu}$ В нем говорится, что если ${ Displaystyle ню ll mu}$ (т.е. ${ displaystyle nu}$ является абсолютно непрерывный относительно ${ displaystyle mu}$ ), то существует ${ Displaystyle { mathit { Sigma}}}$ -измеримая функция ${ displaystyle f: X rightarrow [0, infty)}$ , такое, что для любого измеримого множества ${ Displaystyle A substeq X}$ ,

{ displaystyle nu (A) = int _ {A} f , d mu}

Производная Радона – Никодима

Функция $ж$ удовлетворяющее указанному выше равенству однозначно определенный вплоть до а $μ$ -нулевой набор, то есть если $грамм$ - другая функция, обладающая тем же свойством, то $ж = грамм$ $μ$ -почти всюду. Функция $ж$ обычно пишется ${ displaystyle { frac {d nu} {d mu}}}$ и называется Производная Радона – Никодима. Выбор обозначений и названия функции отражает тот факт, что функция аналогична производная в исчисление в том смысле, что он описывает скорость изменения плотности одной меры по отношению к другой (способ Определитель якобиана используется в многопараметрической интеграции).

Распространение на подписанные или сложные меры

Аналогичную теорему можно доказать для подписанный и комплексные меры: а именно, что если $μ$ - неотрицательная σ-конечная мера, а $ν$ конечнозначная знаковая или комплексная мера такая, что $ν ≪ μ$ , т.е. $ν$ является абсолютно непрерывный относительно $μ$ , то есть $μ$ -интегрируемая вещественная или комплексная функция $грамм$ на $Икс$ такое, что для каждого измеримого множества $А$ ,

{ displaystyle nu (A) = int _ {A} g , d mu.}

Примеры

В следующих примерах набор $Икс$ - действительный интервал [0,1], а ${ Displaystyle { mathit { Sigma}}}$ это Борелевская сигма-алгебра на $Икс$ .

${ displaystyle mu}$ это мера длины на $Икс$ . ${ displaystyle nu}$ присваивает каждому подмножеству $Y$ из $Икс$ , вдвое длиннее $Y$ . Потом, ${ textstyle { frac {d nu} {d mu}} = 2}$ .
${ displaystyle mu}$ это мера длины на $Икс$ . ${ displaystyle nu}$ присваивает каждому подмножеству $Y$ из $Икс$ , количество точек из множества {0.1, ..., 0.9}, содержащихся в $Y$ . Потом, ${ displaystyle nu}$ не является абсолютно непрерывным относительно ${ displaystyle mu}$ поскольку он присваивает ненулевую меру точкам нулевой длины. Действительно, производной нет ${ textstyle { frac {d nu} {d mu}}}$ : не существует конечной функции, которая при интегрировании, например, из ${ displaystyle (0,1- epsilon)}$ к ${ displaystyle (0,1+ epsilon)}$ , дает ${ displaystyle 1}$ для всех ${ displaystyle epsilon> 0}$ .
${ displaystyle mu = nu + delta _ {0}}$ , куда ${ displaystyle nu}$ - мера длины на X и ${ displaystyle delta _ {0}}$ это Мера Дирака на 0 (он присваивает меру 1 любому набору, содержащему 0, и меру 0 любому другому набору). Потом, ${ displaystyle nu}$ абсолютно непрерывна относительно ${ displaystyle mu}$ , и ${ textstyle { frac {d nu} {d mu}} = 1_ {X setminus {0 }}}$ - производная равна 0 при ${ displaystyle x = 0}$ и 1 в ${ displaystyle x> 0}$ .^[4]

Характеристики

Позволять ν, μ, и λ - σ-конечные меры на одном и том же пространстве с мерой. Если ν ≪ λ и μ ≪ λ (ν и μ оба абсолютно непрерывный относительно λ), тогда
${ displaystyle { frac {d ( nu + mu)} {d lambda}} = { frac {d nu} {d lambda}} + { frac {d mu} {d lambda }} quad lambda { text {-почти везде}}.}$
Если ν ≪ μ ≪ λ, тогда
${ displaystyle { frac {d nu} {d lambda}} = { frac {d nu} {d mu}} { frac {d mu} {d lambda}} quad lambda { text {-почти везде}}.}$
В частности, если μ ≪ ν и ν ≪ μ, тогда
${ displaystyle { frac {d mu} {d nu}} = left ({ frac {d nu} {d mu}} right) ^ {- 1} quad nu { text {-почти всюду}}.}$
Если μ ≪ λ и $грамм$ это μ-интегрируемая функция, затем
${ displaystyle int _ {X} g , d mu = int _ {X} g { frac {d mu} {d lambda}} , d lambda.}$
Если ν конечная знаковая или комплексная мера, то
${ displaystyle {d | nu | over d mu} = left | {d nu over d mu} right |.}$

Приложения

Теория вероятности

Теорема очень важна для расширения идей теория вероятности от масс вероятностей и плотностей вероятностей, определенных над действительными числами, к вероятностные меры определены над произвольными множествами. Он сообщает, можно ли и как перейти от одной вероятностной меры к другой. В частности, функция плотности вероятности из случайная переменная является производной Радона – Никодима индуцированной меры по некоторой базовой мере (обычно Мера Лебега за непрерывные случайные величины ).

Например, его можно использовать для доказательства существования условное ожидание для вероятностных мер. Последнее само по себе является ключевым понятием в теория вероятности, в качестве условная возможность это просто его частный случай.

Финансовая математика

Среди других областей, финансовая математика широко использует теорему, в частности, через Теорема Гирсанова. Такие изменения вероятностной меры являются краеугольным камнем рациональное ценообразование из производные и используются для преобразования фактических вероятностей в вероятности нейтральные к риску вероятности.

Информационные расхождения

Если μ и ν меры превышают $Икс$ , и μ ≪ ν

В Дивергенция Кульбака – Лейблера из μ к ν определяется как
${ displaystyle D _ { text {KL}} ( mu parallel nu) = int _ {X} log left ({ frac {d mu} {d nu}} right) ; д му.}$
За α> 0, α ≠ 1 то Расхождение Реньи порядка α из μ к ν определяется как
${ displaystyle D _ { alpha} ( mu parallel nu) = { frac {1} { alpha -1}} log left ( int _ {X} left ({ frac {d mu} {d nu}} right) ^ { alpha -1} ; d mu right).}$

Предположение об σ-конечности

Теорема Радона – Никодима предполагает, что мера μ относительно которого вычисляется скорость изменения ν σ-конечно. Вот пример, когда μ не является σ-конечным, и теорема Радона – Никодима неверна.

Рассмотрим Борелевская σ-алгебра на реальная линия. Пусть счетная мера, $μ$ , борелевского множества $А$ быть определенным как количество элементов $А$ если $А$ конечно, и $\infty$ иначе. Это можно проверить $μ$ действительно мера. Это не так $σ$ -конечный, так как не каждое борелевское множество является не более чем счетным объединением конечных множеств. Позволять $ν$ быть обычным Мера Лебега на этой борелевской алгебре. Потом, $ν$ абсолютно непрерывна относительно $μ$ , поскольку для набора $А$ надо $μ (А) = 0$ только если $А$ это пустой набор, а потом $ν (А)$ также равен нулю.

Предположим, что выполняется теорема Радона – Никодима, т.е. для некоторой измеримой функции $ж$ надо

{ displaystyle nu (A) = int _ {A} f , d mu}

для всех борелевских множеств. Принимая $А$ быть одноэлементный набор, $А = {а},$ и используя указанное выше равенство, находим

{ Displaystyle 0 = е (а)}

для всех действительных чисел $а$ . Отсюда следует, что функция $ж$ , поэтому мера Лебега $ν$ , равна нулю; противоречие.

Доказательство

В этом разделе дается теоретико-мерное доказательство теоремы. Существует также функционально-аналитическое доказательство с использованием методов гильбертова пространства, которое впервые было дано фон Нейман.

Для конечных мер $μ$ и $ν$ , идея состоит в том, чтобы рассмотреть функции $ж$ с $f dμ \leq dν$ . Супремум всех таких функций вместе с теорема о монотонной сходимости, то дает производную Радона – Никодима. Дело в том, что оставшаяся часть $μ$ сингулярна относительно $ν$ следует из технического факта о конечных мерах. После того, как результат установлен для конечных мер, распространяясь на $σ$ -конечные, подписанные и сложные меры могут быть выполнены естественным образом. Подробности приведены ниже.

Для конечных мер

Создание кандидата с расширенной оценкой Сначала предположим $μ$ и $ν$ обе конечнозначные неотрицательные меры. Позволять $F$ быть набором этих измеримых функций расширенного значения $ж : Икс \to [0, \infty]$ такой, что:

{ displaystyle forall A in { mathit { Sigma}}: qquad int _ {A} f , d mu leq nu (A)}

$F \neq \emptyset$ , поскольку он содержит хотя бы нулевую функцию. Теперь позвольте $ж 1, ж 2 \in F$ , и предположим $А$ - произвольное измеримое множество, и определим:

{ displaystyle { begin {align} A_ {1} & = left {x in A: f_ {1} (x)> f_ {2} (x) right }, A_ {2} & = left {x in A: f_ {2} (x) geq f_ {1} (x) right }, end {align}}}

Тогда есть

{ displaystyle int _ {A} max left {f_ {1}, f_ {2} right } , d mu = int _ {A_ {1}} f_ {1} , d mu + int _ {A_ {2}} f_ {2} , d mu leq nu left (A_ {1} right) + nu left (A_ {2} right) = nu (A),}

и поэтому, $Максимум{ж 1, ж 2} \in F$ .

Теперь позвольте ${ж п}$ - последовательность функций из $F$ такой, что

{ displaystyle lim _ {n to infty} int _ {X} f_ {n} , d mu = sup _ {f in F} int _ {X} f , d mu .}

Заменив $ж п$ с максимумом первого $п$ функций, можно считать, что последовательность ${ж п}$ растет. Позволять $грамм$ - расширеннозначная функция, определяемая как

{ displaystyle g (x): = lim _ {n to infty} f_ {n} (x).}

По Лебегу теорема о монотонной сходимости, надо

{ displaystyle lim _ {n to infty} int _ {A} f_ {n} , d mu = int _ {A} lim _ {n to infty} f_ {n} ( x) , d mu (x) = int _ {A} g , d mu leq nu (A)}

для каждого $А \in Σ$ , и поэтому, $грамм \in F$ . Также по построению $грамм$ ,

{ displaystyle int _ {X} g , d mu = sup _ {f in F} int _ {X} f , d mu.}

Доказательство равенства Теперь, поскольку $грамм \in F$ ,

{ Displaystyle nu _ {0} (A): = nu (A) - int _ {A} g , d mu}

определяет неотрицательную меру на $Σ$ . Чтобы доказать равенство, покажем, что $ν 0 = 0$ .

Предполагать $ν 0 \neq 0$ ; тогда, поскольку $μ$ конечно, есть $ε > 0$ такой, что $ν 0 (Икс) > ε μ (Икс)$ . Чтобы вывести противоречие из $ν 0 \neq 0$ , мы ищем положительный набор $п \in Σ$ для подписанной меры $ν 0 - ε μ$ (т.е. измеримое множество $п$ , все измеримые подмножества которых имеют неотрицательные $ν 0 - ε μ$ мера), где также $п$ имеет положительный $μ$ -мера. Концептуально мы ищем набор $п$ , куда $ν 0 \geq ε μ$ в каждой части $п$ . Удобный подход - использовать Разложение Хана $(п, N)$ для подписанной меры $ν 0 - ε μ$ .

Обратите внимание, что для каждого $А \in Σ$ надо $ν 0 (А \cap п) \geq ε μ (А \cap п)$ , и поэтому,

{ Displaystyle { begin {align} nu (A) & = int _ {A} g , d mu + nu _ {0} (A) & geq int _ {A} g , d mu + nu _ {0} (A cap P) & geq int _ {A} g , d mu + varepsilon mu (A cap P) & = int _ {A} left (g + varepsilon 1_ {P} right) , d mu, end {align}}}

куда $1 п$ это индикаторная функция из $п$ . Также обратите внимание, что $μ (п) > 0$ по желанию; если $μ (п) = 0$ , то (поскольку $ν$ абсолютно непрерывна по отношению к $μ$ ) $ν 0 (п) \leq ν (п) = 0$ , так $ν 0 (п) = 0$ и

{ displaystyle nu _ {0} (X) - varepsilon mu (X) = left ( nu _ {0} - varepsilon mu right) (N) leq 0,}

что противоречит тому факту, что $ν 0 (Икс) > εμ (Икс)$ .

Тогда, поскольку также

{ displaystyle int _ {X} left (g + varepsilon 1_ {P} right) , d mu leq nu (X) <+ infty,}

$грамм + ε 1 п \in F$ и удовлетворяет

{ displaystyle int _ {X} left (g + varepsilon 1_ {P} right) , d mu> int _ {X} g , d mu = sup _ {f in F} int _ {X} f , d mu.}

Это невозможно; поэтому исходное предположение, что $ν 0 \neq 0$ должно быть ложным. Следовательно, $ν 0 = 0$ , по желанию.

Ограничение конечными значениями Теперь, поскольку $грамм$ является $μ$ -интегрируемый, набор ${Икс \in Икс : грамм (Икс) = \infty}$ является $μ$ -ноль. Следовательно, если $ж$ определяется как

{ displaystyle f (x) = { begin {case} g (x) & { text {if}} g (x) < infty 0 & { text {в противном случае}} end {cases}} }

тогда $ж$ обладает желаемыми свойствами.

Уникальность Что касается уникальности, пусть $ж, грамм : Икс \to [0, \infty)$ быть измеримыми функциями, удовлетворяющими

{ Displaystyle Nu (A) = int _ {A} f , d mu = int _ {A} g , d mu}

для каждого измеримого множества $А$ . Потом, $грамм - ж$ является $μ$ -интегрируемый, и

{ displaystyle int _ {A} (g-f) , d mu = 0.}

В частности, для $А = {Икс \in Икс : ж (Икс) > грамм (Икс)},$ или же ${Икс \in Икс : ж (Икс) < грамм (Икс)}.$ Следует, что

{ Displaystyle int _ {X} (г-е) ^ {+} , d му = 0 = int _ {X} (г-е) ^ {-} , д му,}

и так, что $(грамм - ж) + = 0$ $μ$ -почти всюду; то же самое верно для $(грамм - ж) -$ , и поэтому, $ж = грамм$ $μ$ -почти везде, по желанию.

За $σ$ -конечные положительные меры

Если $μ$ и $ν$ находятся $σ$ -конечно, тогда $Икс$ можно записать как объединение последовательности ${B п} п$ из непересекающиеся множества в $Σ$ , каждый из которых имеет конечную меру при обоих $μ$ и $ν$ . Для каждого $п$ , в конечном случае существует $Σ$ -измеримая функция $ж п : B п \to [0, \infty)$ такой, что

{ displaystyle nu _ {n} (A) = int _ {A} f_ {n} , d mu}

для каждого $Σ$ -измеримое подмножество $А$ из $B п$ . Сумма ${ displaystyle left ( sum _ {n} f_ {n} 1_ {B_ {n}} right): = f}$ этих функций тогда является требуемой функцией, такой что ${ Displaystyle Nu (A) = int _ {A} fd mu}$ .

Что касается уникальности, так как каждый из $ж п$ является $μ$ -почти везде уникальна, $ж$ .

Для подписанных и сложных мер

Если $ν$ это $σ$ -конечная знаковая мера, то ее можно разложить по Хану – Жордану $ν = ν + - ν -$ где одна из мер конечна. Применяя предыдущий результат к этим двум мерам, мы получаем две функции: $грамм, час : Икс \to [0, \infty)$ , удовлетворяющую теореме Радона – Никодима для $ν +$ и $ν -$ соответственно, по крайней мере один из которых $μ$ -интегрируемый (т.е. его интеграл по $μ$ конечно). Тогда ясно, что $ж = грамм - час$ удовлетворяет требуемым свойствам, включая уникальность, поскольку оба $грамм$ и $час$ уникальны до $μ$ -почти везде равенство.

Если $ν$ это комплексная мера, его можно разложить как $ν = ν 1 + я 2$ , где оба $ν 1$ и $ν 2$ конечнозначные знаковые меры. Применяя приведенный выше аргумент, получаем две функции: $грамм, час : Икс \to [0, \infty)$ , удовлетворяющий требуемым свойствам для $ν 1$ и $ν 2$ , соответственно. Четко, $ж = грамм + ах$ это требуемая функция.

Теорема Лебега о разложении

Теорема разложения Лебега показывает, что условия теоремы Радона – Никодима могут быть найдены даже в ситуации, которая кажется более общей. Рассмотрим σ-конечную положительную меру ${ displaystyle mu}$ на мерном пространстве ${ Displaystyle (Х, { mathit { Sigma}})}$ и σ-конечная знаковая мера ${ displaystyle nu}$ на ${ Displaystyle { mathit { Sigma}}}$ , не предполагая абсолютной преемственности. Тогда существуют уникальные подписанные меры ${ displaystyle nu _ {a}}$ и ${ displaystyle nu _ {s}}$ на ${ Displaystyle { mathit { Sigma}}}$ такой, что ${ Displaystyle nu = nu _ {a} + nu _ {s}}$ , ${ Displaystyle nu _ {а} ll mu}$ , и ${ displaystyle nu _ {s} perp mu}$ . Тогда теорема Радона – Никодима может быть применена к паре ${ displaystyle nu _ {a}, mu}$ .

Смотрите также

Примечания

^ Биллингсли, Патрик (1995). Вероятность и мера (Третье изд.). Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. С. 419–427. ISBN 0-471-00710-2.
^ Никодым, О. (1930). "Sur une généralisation des intégrales de M. J. Radon" (PDF). Fundamenta Mathematicae (На французском). 15: 131–179. Дои:10.4064 / FM-15-1-131-179. JFM 56.0922.02. Получено 2018-01-30.
^ Заанен, Адриан К. (1996). Введение в теорию операторов в пространствах Рисса. Springer. ISBN 3-540-61989-5.
^ «Расчет производной Радона Никодима». Обмен стеком. 7 апреля 2018.

Теорема Радона – Никодима - Radon–Nikodym theorem

Содержание