Риск-нейтральная мера - Risk-neutral measure

В математические финансы, а нейтральная к риску мера (также называется равновесной мерой, или эквивалент мартингейл мера ) является вероятностной мерой, так что цена каждой акции в точности равна дисконтированному ожиданию цены акции в соответствии с этой мерой. Это широко используется при ценообразовании финансовые производные из-за фундаментальная теорема ценообразования активов, откуда следует, что в полный рынок цена производного инструмента - это дисконтированная ожидаемое значение будущей выплаты в рамках уникальной меры, нейтральной к риску.^[1] Такая мера существует тогда и только тогда, когда на рынке нет арбитража.

Самый простой способ запомнить, что такое мера, нейтральная к риску, или объяснить ее специалисту по теории вероятностей, который может не разбираться в финансах, - это осознать, что это:

Вероятностная мера преобразованной случайной величины. Обычно это преобразование представляет собой функцию полезности выплаты. Нейтральная к риску мера будет мерой, соответствующей ожиданию выплаты при линейной полезности.
An подразумевается мера вероятности, которая подразумевается из текущих наблюдаемых / опубликованных / торгуемых цен соответствующих инструментов. Релевантные означает те инструменты, которые причинно связаны с событиями в рассматриваемом вероятностном пространстве (т.е. базовые цены плюс производные финансовые инструменты), и
Это подразумеваемая вероятностная мера (решающая своего рода обратную задачу), которая определяется с использованием линейной (нейтральной по отношению к риску) полезности в выигрыше, предполагая некоторую известную модель выигрыша. Это означает, что вы пытаетесь найти нейтральную с точки зрения риска меру, решая уравнение, в котором текущие цены представляют собой ожидаемую приведенную стоимость будущих выплат в соответствии с нейтральной по отношению к риску мерой. Концепция уникальной нейтральной по отношению к риску меры наиболее полезна, когда можно представить себе, что цены на ряд производных финансовых инструментов бы сделать уникальную меру, нейтральную к риску, поскольку она подразумевает своего рода согласованность в гипотетических неторговых ценах и теоретически указывает на возможности арбитража на рынках, где видны цены покупки / продажи.

Также стоит отметить, что в большинстве вводных приложений в области финансов рассматриваемые выплаты являются детерминированными при условии знания цен на каком-либо терминале или в будущий момент времени. Для использования этих методов не обязательно.

Мотивация использования нейтральных к риску мер

Цены на активы во многом зависят от их рисковать поскольку инвесторы обычно требуют большей прибыли за больший риск. Таким образом, сегодняшняя цена требования по рисковой сумме, реализованной завтра, обычно будет отличаться от ее ожидаемой стоимости. Чаще всего инвесторы не склонный к риску и сегодняшняя цена ниже ожидание вознаграждения тех, кто несет риск (по крайней мере, в финансовые рынки; примерами рынков, ориентированных на риск, являются казино и лотереи ).

К цена активов, следовательно, рассчитанные ожидаемые значения необходимо скорректировать с учетом предпочтений инвестора в отношении риска (см. также Коэффициент Шарпа ). К сожалению, ставки дисконтирования будут варьироваться между инвесторами, и индивидуальные предпочтения к риску трудно определить количественно.

Оказывается, в полный рынок с нет возможности арбитража есть альтернативный способ сделать этот расчет: вместо того, чтобы сначала принять ожидание, а затем скорректировать предпочтение риска инвестора, можно раз и навсегда скорректировать вероятности будущих результатов, чтобы они включали все премии инвесторов за риск, и затем возьмем математическое ожидание в рамках этого нового распределения вероятностей, нейтральная к риску мера. Основное преимущество заключается в том, что после обнаружения нейтральных к риску вероятностей, каждый Стоимость актива можно оценить, просто взяв текущую стоимость его ожидаемой выплаты. Обратите внимание, что если бы мы использовали фактические реальные вероятности, для каждой ценной бумаги потребовалась бы другая корректировка (поскольку они различаются по степени риска).

Отсутствие арбитража имеет решающее значение для существования меры, нейтральной к риску. Фактически, по фундаментальная теорема ценообразования активов, условие отсутствия арбитража эквивалентно существованию меры, нейтральной к риску. Полнота рынка также важна, потому что на неполном рынке существует множество возможных цен на актив, соответствующих различным параметрам, нейтральным к риску. Обычно утверждают, что рыночная эффективность подразумевает наличие только одной цены ("закон одной цены "); правильная нейтральная к риску мера цены, которая должна быть выбрана с использованием экономических, а не чисто математических аргументов.

Распространенная ошибка - путать построенное распределение вероятностей с реальной вероятностью. Они будут другими, потому что в реальном мире инвесторы требуют премии за риск, тогда как можно показать, что при нейтральных к риску вероятностях все активы имеют одинаковую ожидаемую норму доходности, т.е. безрисковая ставка (или же короткая ставка ) и, следовательно, не включают в себя такие премии. Метод ценообразования без учета риска следует рассматривать, как и многие другие полезные вычислительные инструменты - удобные и мощные, даже если они кажутся искусственными.

Происхождение нейтральной по отношению к риску меры (ценные бумаги Arrow)

Естественно спросить, как возникает нейтральная к риску мера на рынке, свободном от арбитража. Каким-то образом цены на все активы будут определять вероятностную меру. Одно объяснение дается с использованием Стрелка безопасности. Для простоты рассмотрим дискретный (даже конечный) мир только с одним временным горизонтом будущего. Другими словами, есть настоящее (время 0) и будущее (время 1), а в момент времени 1 состояние мира может быть одним из конечного числа состояний. Безопасность Arrow, соответствующая состоянию п, А_п, это тот, который платит 1 доллар в момент времени 1 в состоянии п и 0 долларов в любом из других государств мира.

Какова цена А_п сейчас же? Он должен быть положительным, поскольку есть шанс выиграть 1 доллар; он должен быть меньше 1 доллара, так как это максимально возможный выигрыш. Таким образом, цена каждого А_п, который обозначим через А_п(0), находится строго между 0 и 1.

Фактически, сумма всех цен на ценные бумаги должна быть равна приведенной стоимости в 1 доллар, потому что владение портфелем, состоящим из каждой ценной бумаги Arrow, приведет к определенной выплате в 1 доллар. Рассмотрим розыгрыш, в котором один билет выигрывает приз из всех вступительных взносов: если приз составляет 1 доллар, вступительный взнос будет равен 1 / количество билетов. Для простоты мы будем считать, что процентная ставка равна 0, так что приведенная стоимость 1 доллара равна 1 доллару.

Таким образом А_п(0) удовлетворяют аксиомам вероятностного распределения. Каждый из них неотрицателен, и их сумма равна 1. Это мера без риска! Теперь осталось показать, что он работает так, как рекламируется, т.е.принятие ожидаемых значений относительно этой меры вероятности даст правильную цену в момент времени 0.

Предположим, у вас есть безопасность C цена которого в момент времени 0 равна С (0). В будущем в состоянии я, его выплата будет C_я. Рассмотрим портфолио п состоящий из C_я сумма каждой ценной бумаги Arrow А_я. В будущем в каком бы состоянии я происходит тогда А_я платит 1 доллар, в то время как другие ценные бумаги Arrow платят 0 долларов, поэтому п Заплатит C_я. Другими словами, портфолио п воспроизводит отдачу C независимо от того, что произойдет в будущем. Отсутствие арбитражных возможностей означает, что цена п и C должно быть таким же сейчас, поскольку любая разница в цене означает, что мы можем без всякого риска (шортить) продать более дорогое, купить более дешевое и положить разницу в карман. В будущем нам нужно будет вернуть коротко проданный актив, но мы можем финансировать это именно за счет продажи нашего купленного актива, оставив нам нашу первоначальную прибыль.

Рассматривая каждую ценную бумагу Arrow как вероятность, мы видим, что цена портфеля П (0) ожидаемое значение C при нейтральных к риску вероятностях. Если бы процентная ставка R не была равна нулю, нам пришлось бы соответствующим образом дисконтировать ожидаемую стоимость, чтобы получить цену. В частности, портфель, состоящий из каждой ценной бумаги Arrow, теперь имеет приведенную стоимость ${ displaystyle { frac {1} {1 + R}}}$ , поэтому нейтральная к риску вероятность состояния i становится ${ Displaystyle (1 + R)}$ умноженная на цену каждой ценной бумаги Arrow А_я, или его форвардная цена.

Обратите внимание, что ценные бумаги Arrow на самом деле не нужно продавать на рынке. Именно здесь вступает в игру полнота рынка. На полноценном рынке каждую ценную бумагу Arrow можно воспроизвести с использованием портфеля реальных торгуемых активов. Приведенный выше аргумент все еще работает, если рассматривать каждую ценную бумагу Arrow как портфель.

В более реалистичной модели, такой как Модель Блэка – Шоулза и его обобщения, наша безопасность Arrow будет чем-то вроде двойной цифровой вариант, который приносит 1 доллар, когда базовый актив находится между нижней и верхней границей, и 0 долларов в противном случае. Цена такого опциона затем отражает точку зрения рынка на вероятность того, что спотовая цена окажется в этом ценовом интервале, скорректированная на премию за риск, что полностью аналогично тому, как мы получили вышеупомянутые вероятности для одношагового дискретного мира.

использование

Меры, не связанные с риском, позволяют легко выразить стоимость производного инструмента в формуле. Предположим, в будущем ${ displaystyle T}$ производная (например, опцион колл на акции ) платит ${ displaystyle H_ {T}}$ единиц, где ${ displaystyle H_ {T}}$ это случайная переменная на вероятностное пространство описание рынка. Далее предположим, что коэффициент дисконтирования с настоящего момента (нулевое время) до времени ${ displaystyle T}$ является ${ Displaystyle P (0, T)}$ . Тогда справедливая стоимость производного инструмента на сегодняшний день равна

{ displaystyle H_ {0} = P (0, T) operatorname {E} _ {Q} (H_ {T}).}

где нейтральная к риску мера обозначена ${ displaystyle Q}$ . Это можно переформулировать с точки зрения физической меры. п в качестве

{ displaystyle H_ {0} = P (0, T) operatorname {E} _ {P} left ({ frac {dQ} {dP}} H_ {T} right)}

куда ${ displaystyle { frac {dQ} {dP}}}$ это Производная Радона – Никодима из ${ displaystyle Q}$ относительно ${ displaystyle P}$ .^[2]

Другое название нейтральной по отношению к риску меры - эквивалент мартингейл мера. Если на финансовом рынке существует только одна нейтральная к риску мера, то для каждого актива на рынке существует уникальная цена без арбитража. Это фундаментальная теорема безарбитражного ценообразования. Если таких мер больше, то в интервале цен никакой арбитраж невозможен. Если эквивалентной меры мартингейла не существует, существуют возможности для арбитража.

На рынках с транзакционными издержками, без numéraire, то последовательный процесс ценообразования занимает место эквивалентной меры мартингала. На самом деле существует 1 к 1 связь между последовательным процессом ценообразования и эквивалентной мерой мартингейла.

Пример 1 - Биномиальная модель цен акций

Учитывая вероятностное пространство ${ Displaystyle ( Omega, { mathfrak {F}}, mathbb {P})}$ , рассмотрим однопериодную биномиальную модель. Вероятностная мера ${ displaystyle mathbb {P ^ {*}}}$ называется нейтральным к риску, если для всех ${ displaystyle i in {0, ..., d }}$ ${ displaystyle pi ^ {i} = mathbb {E} _ { mathbb {P} ^ {*}} (S ^ {i} / (1 + r))}$ .Предположим, у нас есть экономика с двумя состояниями: начальная цена акций ${ displaystyle S}$ может подняться до ${ displaystyle S ^ {u}}$ или до ${ Displaystyle S ^ {d}}$ . Если процентная ставка ${ displaystyle R> 0}$ , и ${ Displaystyle S ^ {d} leq (1 + R) S leq S ^ {u}}$ (еще есть арбитраж на рынке), то нейтральная к риску вероятность восходящего движения акций определяется числом

{ displaystyle pi = { frac {(1 + R) S-S ^ {d}} {S ^ {u} -S ^ {d}}}.}

^[3]

Учитывая производную с выплатой ${ displaystyle X ^ {u}}$ когда цена акций движется вверх и ${ displaystyle X ^ {d}}$ когда цена снижается, мы можем оценить производную через

{ displaystyle X = { frac { pi X ^ {u} + (1- pi) X ^ {d}} {1 + R}}.}

Пример 2 - Модель броуновского движения цен акций

Предположим, наша экономика состоит из двух активов: акции и безрисковая облигация, и что мы используем Модель Блэка – Шоулза. В модели эволюцию курса акций можно описать как Геометрическое броуновское движение:

{ Displaystyle dS_ {t} = mu S_ {t} , dt + sigma S_ {t} , dW_ {t}}

куда ${ displaystyle W_ {t}}$ это стандарт Броуновское движение относительно физической меры. Если мы определим

{ displaystyle { tilde {W}} _ {t} = W_ {t} + { frac { mu -r} { sigma}} t,}

Теорема Гирсанова заявляет, что существует мера ${ displaystyle Q}$ под которым ${ displaystyle { tilde {W}} _ {t}}$ это броуновское движение. ${ displaystyle { frac { mu -r} { sigma}}}$ известен как рыночная цена риска. Используя правила в рамках исчисления Ито, можно неформально дифференцировать ${ displaystyle t}$ и измените приведенное выше выражение, чтобы получить SDE

{ displaystyle dW_ {t} = d { tilde {W}} _ {t} - { frac { mu -r} { sigma}} , dt,}

Верните это в исходное уравнение:

{ displaystyle dS_ {t} = rS_ {t} , dt + sigma S_ {t} , d { tilde {W}} _ {t}.}

Позволять ${ displaystyle { tilde {S}} _ {t}}$ быть цена акции со скидкой данный ${ displaystyle { tilde {S}} _ {t} = e ^ {- rt} S_ {t}}$ , затем по Лемма Ито получаем СДЭ:

{ displaystyle d { tilde {S}} _ {t} = sigma { tilde {S}} _ {t} , d { tilde {W}} _ {t}.}

${ displaystyle Q}$ является уникальной мерой модели, нейтральной к риску. Процесс дисконтированной выплаты производного инструмента по акциям ${ displaystyle H_ {t} = operatorname {E} _ {Q} (H_ {T} | F_ {t})}$ это мартингейл под ${ displaystyle Q}$ . Обратите внимание, что дрейф SDE равен r, безрисковая процентная ставка, подразумевая нейтральный риск. С ${ displaystyle { tilde {S}}}$ и ${ displaystyle H}$ находятся ${ displaystyle Q}$ -martingales мы можем вызвать теорема мартингального представления найти стратегия воспроизведения - портфель акций и облигаций с доходом ${ displaystyle H_ {t}}$ во все времена ${ displaystyle t leq T}$ .

Смотрите также

Примечания

^ Глин А. Холтон (2005). «Фундаментальная теорема ценообразования активов». riskglossary.com. Получено 20 октября, 2011.
^ Ханс Фёльмер; Александр Шид (2004). Стохастические финансы: введение в дискретное время (2-е изд.). Вальтер де Грюйтер. п.6. ISBN 978-3-11-018346-7.
^ Эллиотт, Роберт Джеймс; Копп П. Э. (2005). Математика финансовых рынков (2-е изд.). Springer. стр.48 –50. ISBN 978-0-387-21292-0.

внешняя ссылка

Гизигер, Николас: Объяснение нейтральных к риску вероятностей
Там, Джозеф: Риск-нейтральная оценка: осторожное введение, Часть II

[1] Глин А. Холтон (2005). «Фундаментальная теорема ценообразования активов». riskglossary.com. Получено 20 октября, 2011.

[FollmerSchied-2] Ханс Фёльмер; Александр Шид (2004). Стохастические финансы: введение в дискретное время (2-е изд.). Вальтер де Грюйтер. п.6. ISBN 978-3-11-018346-7.

[3] Эллиотт, Роберт Джеймс; Копп П. Э. (2005). Математика финансовых рынков (2-е изд.). Springer. стр.48 –50. ISBN 978-0-387-21292-0.

[1]

[2]

[3]