Теорема о мартингальном представлении - Martingale representation theorem

Эта статья включает Список ссылок, связанное чтение или внешняя ссылка, но его источники остаются неясными, потому что в нем отсутствует встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Октябрь 2011 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В теория вероятности, то теорема мартингального представления утверждает, что случайная величина, которая измеримый с уважением к фильтрация созданный Броуновское движение можно записать в виде Ито интегральный относительно этого броуновского движения.

Теорема только утверждает существование представления и не помогает найти его явно; во многих случаях можно определить форму представления, используя Исчисление Маллявэна.

Подобные теоремы существуют и для мартингалы на фильтрациях, индуцированных переходные процессы, например, по Цепи Маркова.

Заявление

Позволять ${displaystyle B_ {t}}$ быть Броуновское движение по стандарту фильтрованное вероятностное пространство ${displaystyle (Omega, {mathcal {F}}, {mathcal {F}} _ {t}, P)}$ и разреши ${displaystyle {mathcal {G}} _ {t}}$ быть усиленная фильтрация создано ${displaystyle B}$. Если Икс это квадратично интегрируемый случайная величина, измеримая относительно ${displaystyle {mathcal {G}} _ {infty}}$, то существует предсказуемый процесс C который адаптированный относительно ${displaystyle {mathcal {G}} _ {t}}$, так что

${displaystyle X = E (X) + int _ {0} ^ {infty} C_ {s}, dB_ {s}.}$

Как следствие,

${displaystyle E (X | {mathcal {G}} _ {t}) = E (X) + int _ {0} ^ {t} C_ {s}, dB_ {s}.}$

Применение в финансах

Теорема о мартингальном представлении может быть использована для установления существования хеджирование стратегии. Предположим, что ${displaystyle left (M_ {t} ight) _ {0leq t$ является Q-мартингальным процессом, у которого непостоянство ${displaystyle sigma _ {t}}$ всегда отличен от нуля. Тогда, если ${displaystyle left (N_ {t} ight) _ {0leq t$ есть любой другой Q-мартингал, существует ${displaystyle {mathcal {F}}}$-предвидимый процесс ${displaystyle phi}$, единственное с точностью до множеств меры 0, такое что ${displaystyle int _ {0} ^ {T} phi _ {t} ^ {2} sigma _ {t} ^ {2}, dt$ с вероятностью единица, и N можно записать как:

${displaystyle N_ {t} = N_ {0} + int _ {0} ^ {t} phi _ {s}, dM_ {s}.}$

Стратегия репликации определяется следующим образом:

• держать ${displaystyle phi _ {t}}$ единиц акций в то время т, и
• держать ${displaystyle psi _ {t} B_ {t} = C_ {t} -phi _ {t} Z_ {t}}$ паи облигации.

куда ${displaystyle Z_ {t}}$ цена акции, дисконтированная на цену облигации во времени ${displaystyle t}$ и ${displaystyle C_ {t}}$ ожидаемая выплата по опциону во время ${displaystyle t}$.

В день истечения срока Т, стоимость портфеля составляет:

${displaystyle V_ {T} = phi _ {T} S_ {T} + psi _ {T} B_ {T} = C_ {T} = X}$

и легко проверить, что стратегия является самофинансируемой: изменение стоимости портфеля зависит только от изменения цен на активы ${displaystyle left (dV_ {t} = phi _ {t} dS_ {t} + psi _ {t}, dB_ {t} ight)}$.

Рекомендации

• Монтин, Бенуа. (2002) «Стохастические процессы, применяемые в финансах»^{[требуется полная цитата ]}
• Эллиотт, Роберт (1976) "Стохастические интегралы для мартингалов скачкообразного процесса с частично доступными временами перехода", Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete, 36, 213-226