Теорема Лебега о разложении - Википедия - Lebesgues decomposition theorem

В математика, точнее в теория меры, Теорема разложения Лебега^[1]^[2]^[3] заявляет, что на каждые два σ-конечный подписанные меры ${ displaystyle mu}$ и ${ displaystyle nu}$ на измеримое пространство ${ displaystyle ( Omega, Sigma),}$ существуют две σ-конечные знаковые меры ${ displaystyle nu _ {0}}$ и ${ displaystyle nu _ {1}}$ такой, что:

${ Displaystyle ню = ню _ {0} + ню _ {1} ,}$
${ displaystyle nu _ {0} ll mu}$ (то есть, ${ displaystyle nu _ {0}}$ является абсолютно непрерывный относительно ${ displaystyle mu}$ )
${ Displaystyle ню _ {1} перп му}$ (то есть, ${ displaystyle nu _ {1}}$ и ${ displaystyle mu}$ находятся единственное число ).

Эти две меры однозначно определяются ${ displaystyle mu}$ и ${ displaystyle nu}$ .

Уточнение

Теорема Лебега о разложении может быть уточнена несколькими способами.

Во-первых, разложение единственное число часть регулярного Мера Бореля на реальная линия можно уточнить:^[4]

{ displaystyle , nu = nu _ { mathrm {cont}} + nu _ { mathrm {sing}} + nu _ { mathrm {pp}}}

куда

ν_{продолжение} это абсолютно непрерывный часть
ν_петь это сингулярно непрерывный часть
ν_pp это чистая точка часть (а дискретная мера ).

Во-вторых, абсолютно непрерывные меры классифицируются по Теорема Радона – Никодима, и дискретные меры легко понять. Следовательно (не считая сингулярных непрерывных мер) разложение Лебега дает очень явное описание мер. В Мера Кантора (в вероятностная мера на реальная линия чей кумулятивная функция распределения это Функция Кантора ) является примером особой непрерывной меры.

Связанные понятия

Разложение Леви – Ито

Аналогичный^{[нужна цитата ]} разложение для случайные процессы это Разложение Леви – Ито: учитывая Леви процесс ИКС, его можно разложить на сумму трех независимых Леви процессы ${ Displaystyle X = X ^ {(1)} + X ^ {(2)} + X ^ {(3)}}$ куда:

${ Displaystyle X ^ {(1)}}$ это Броуновское движение с вылетом, соответствующим абсолютно сплошной части;
${ Displaystyle X ^ {(2)}}$ это составной процесс Пуассона, соответствующая чистой точечной части;
${ Displaystyle X ^ {(3)}}$ это квадратично интегрируемый чистый прыжок мартингейл который почти наверняка имеет счетное число скачков на конечном интервале, соответствующем особой непрерывной части.

Смотрите также

Разложение спектра
Теорема Хана о разложении и соответствующая теорема Жордана о разложении

Цитаты

^ (Халмос 1974, Раздел 32, теорема C)
^ (Хьюитт и Стромберг, 1965 г., Глава V, § 19, (19.42) Теорема Лебега о разложении)
^ (Рудин 1974, Раздел 6.9, Теорема Лебега-Радона-Никодима)
^ (Хьюитт и Стромберг, 1965 г., Глава V, § 19, (19.61) теорема)

Рекомендации

Халмос, Пол Р. (1974) [1950], Теория измерения, Тексты для выпускников по математике, 18, Нью-Йорк, Гейдельберг, Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90088-9, МИСТЕР 0033869, Zbl 0283.28001
Хьюитт, Эдвин; Стромберг, Карл (1965), Реальный и абстрактный анализ. Современное рассмотрение теории функций действительной переменной, Тексты для выпускников по математике, 25, Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90138-1, МИСТЕР 0188387, Zbl 0137.03202
Рудин, Вальтер (1974), Реальный и комплексный анализ, Серия Макгроу-Хилла по высшей математике (2-е изд.), Нью-Йорк, Дюссельдорф, Йоханнесбург: McGraw-Hill Book Comp., ISBN 0-07-054233-3, МИСТЕР 0344043, Zbl 0278.26001

В статье использован материал теоремы Лебега о разложении PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.

[1] (Халмос 1974, Раздел 32, теорема C)

[2] (Хьюитт и Стромберг, 1965 г., Глава V, § 19, (19.42) Теорема Лебега о разложении)

[3] (Рудин 1974, Раздел 6.9, Теорема Лебега-Радона-Никодима)

[4] (Хьюитт и Стромберг, 1965 г., Глава V, § 19, (19.61) теорема)

[1]

[2]

[3]

[4]