Дискретная мера - Discrete measure

Схематическое изображение Мера Дирака линией, увенчанной стрелкой. Мера Дирака - это дискретная мера, опорой которой является точка 0. Мера Дирака любого множества, содержащего 0, равна 1, а мера любого множества, не содержащего 0, равна 0.

В математика, точнее в теория меры, а мера на реальная линия называется дискретная мера (в отношении Мера Лебега ), если он сосредоточен на не более чем счетное множество. Обратите внимание, что опора не обязательно должна быть дискретный набор. Геометрически дискретная мера (на вещественной прямой относительно меры Лебега) представляет собой набор точечных масс.

Определение и свойства

Мера ${displaystyle mu}$ определены на Измеримые по Лебегу множества реальной линии со значениями в ${displaystyle [0, infty]}$ как говорят дискретный если существует (возможно конечное) последовательность чисел

${displaystyle s_ {1}, s_ {2}, dots,}$

такой, что

${displaystyle mu (mathbb {R} ackslash {s_ {1}, s_ {2}, dots}) = 0.}$

Простейшим примером дискретной меры на действительной прямой является Дельта-функция Дирака ${displaystyle delta.}$ Надо ${displaystyle delta (mathbb {R} ackslash {0}) = 0}$ и ${displaystyle delta ({0}) = 1.}$

В более общем смысле, если ${displaystyle s_ {1}, s_ {2}, dots}$ представляет собой (возможно, конечную) последовательность действительных чисел, ${displaystyle a_ {1}, a_ {2}, dots}$ это последовательность чисел в ${displaystyle [0, infty]}$ такой же длины можно рассматривать Меры Дирака ${displaystyle delta _ {s_ {i}}}$ определяется

${displaystyle delta _ {s_ {i}} (X) = {egin {cases} 1 & {mbox {if}} s_ {i} в X 0 & {mbox {if}} s_ {i} ot в X end { случаи}}}$

для любого измеримого по Лебегу множества ${displaystyle X.}$ Тогда мера

${displaystyle mu = sum _ {i} a_ {i} delta _ {s_ {i}}}$

дискретная мера. Фактически, можно доказать, что любая дискретная мера на действительной прямой имеет такой вид для правильно выбранных последовательностей ${displaystyle s_ {1}, s_ {2}, dots}$ и ${displaystyle a_ {1}, a_ {2}, dots}$

Расширения

Можно расширить понятие дискретных мер на более общие измерять пространства. Учитывая измеримое пространство ${displaystyle (X, Sigma),}$ и две меры ${displaystyle mu}$ и ${displaystyle u}$ в теме, ${displaystyle mu}$ как говорят дискретный с уважением к ${displaystyle u}$ если существует не более чем счетное подмножество ${displaystyle S}$ из ${displaystyle X}$ такой, что

1. Все одиночные игры ${displaystyle {s}}$ с ${displaystyle s}$ в ${displaystyle S}$ измеримы (что означает, что любое подмножество ${displaystyle S}$ измеримо)
2. ${displaystyle u (S) = 0,}$
3. ${displaystyle mu (X ackslash S) = 0.,}$

Обратите внимание, что первые два требования всегда выполняются для не более чем счетного подмножества реальной строки, если ${displaystyle u}$ является мерой Лебега, поэтому они не были необходимы в первом определении выше.

Как и в случае мер на действительной прямой, мера ${displaystyle mu}$ на ${displaystyle (X, Sigma)}$ дискретна относительно другой меры ${displaystyle u}$ на том же пространстве тогда и только тогда, когда ${displaystyle mu}$ имеет форму

${displaystyle mu = sum _ {i} a_ {i} delta _ {s_ {i}}}$

куда ${displaystyle S = {s_ {1}, s_ {2}, dots},}$ синглтоны ${displaystyle {s_ {i}}}$ находятся в ${displaystyle Sigma,}$ и их ${displaystyle u}$ мера равна 0.

Можно также определить понятие дискретности для подписанные меры. Тогда вместо условий 2 и 3 выше следует спросить, что ${displaystyle u}$ равен нулю на всех измеримых подмножествах ${displaystyle S}$ и ${displaystyle mu}$ равняться нулю на измеримых подмножествах ${displaystyle X ackslash S.}$

Рекомендации

• Курбатов, В. Г. (1999). Функционально-дифференциальные операторы и уравнения. Kluwer Academic Publishers. ISBN  0-7923-5624-1.

внешняя ссылка

• А.П. Терехин (2001) [1994], «Дискретная мера», Энциклопедия математики, EMS Press