Непересекающаяся решетка - Википедия - Lattice disjoint

В математике, особенно в теория порядка и функциональный анализ, два элемента Икс и у из векторная решетка Икс находятся решетка непересекающаяся или просто непересекающийся если ${ displaystyle inf left {| x |, | y | right } = 0}$, в этом случае мы пишем ${ Displaystyle х перп у}$, где абсолютная величина из Икс определяется как ${ Displaystyle | х |: = sup left {x, -x right }}$.^[1] Мы говорим, что два набора А и B находятся решетка непересекающаяся или же непересекающийся если а и б не пересекаются для всех а в А и все б в B, в этом случае мы пишем ${ displaystyle A perp B}$.^[2] Если А это одноэлементный набор ${ Displaystyle {а }}$ тогда мы напишем ${ Displaystyle а перп Б}$ на месте ${ Displaystyle {а } перп Б}$. Для любого набора А, мы определяем непересекающееся дополнение быть набором ${ Displaystyle A ^ { perp}: = left {x in X: x perp A right }}$.^[2]

Характеристики

Два элемента Икс и у не пересекаются тогда и только тогда, когда ${ Displaystyle sup {| х |, | у | } = | х | + | у |}$. Если Икс и у не пересекаются, то ${ Displaystyle | х + у | = | х | + | у |}$ и ${ Displaystyle влево (х + у вправо) ^ {+} = х ^ {+} + у ^ {+}}$, где для любого элемента z, ${ Displaystyle Z ^ {+}: = sup left {z, 0 right }}$ и ${ Displaystyle Z ^ {-}: = sup left {- z, 0 right }}$.

Характеристики

Непересекающиеся дополнения всегда группы, но в целом обратное неверно. Если А это подмножество Икс такой, что ${ Displaystyle х = sup A}$ существует, и если B является решеткой подмножеств в Икс это не пересекается с А, тогда B решетка, не пересекающаяся с ${ Displaystyle {х }}$.^[2]

Представление в виде непересекающейся суммы положительных элементов

Для любого Икс в Икс, позволять ${ Displaystyle х ^ {+}: = sup left {x, 0 right }}$ и ${ Displaystyle х ^ {-}: = sup left {- x, 0 right }}$, где заметим, что оба эти элемента являются ${ displaystyle geq 0}$ и ${ Displaystyle х = х ^ {+} - х ^ {-}}$ с ${ Displaystyle | х | = х ^ {+} + х ^ {-}}$. потом ${ displaystyle x ^ {+}}$ и ${ Displaystyle х ^ {-}}$ не пересекаются, и ${ Displaystyle х = х ^ {+} - х ^ {-}}$ является уникальным представлением Икс как разность непересекающихся элементов, которые ${ displaystyle geq 0}$.^[2] Для всех Икс и у в Икс, ${ Displaystyle влево | х ^ {+} - у ^ {+} вправо | Leq | х-у |}$ и ${ Displaystyle х + Y = sup {x, y } + inf {x, y }}$.^[3] Если у ≥ 0 и Икс ≤ у тогда Икс⁺ ≤ у. Более того, ${ displaystyle x leq y}$ если и только если ${ Displaystyle х ^ {+} leq у ^ {+}}$ и ${ Displaystyle х ^ {-} leq x ^ {- 1}}$.^[2]

Смотрите также

• Твердый набор
• Локально выпуклая векторная решетка
• Векторная решетка

Рекомендации

Источники

• Шефер, Гельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 3. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.CS1 maint: ref = harv (связь)