Коническая комбинация - Conical combination

Учитывая конечное число векторов ${displaystyle x_ {1}, x_ {2}, dots, x_ {n}}$ в настоящий векторное пространство, а коническая комбинация, коническая сумма, или взвешенная сумма^[1][2] из этих векторов - вектор вида

${displaystyle alpha _ {1} x_ {1} + alpha _ {2} x_ {2} + cdots + alpha _ {n} x_ {n}}$

где ${displaystyle alpha _ {i}}$ находятся неотрицательный действительные числа.

Название происходит от того факта, что коническая сумма векторов определяет конус (возможно, в низкоразмерном подпространство ).

Конический корпус

В набор всех конических комбинаций для данного набора S называется конический корпус из S и обозначен конус(S)^[1] или кони(S).^[2] Это,

${displaystyle operatorname {coni} (S) = left {sum _ {i = 1} ^ {k} alpha _ {i} x_ {i}: x_ {i} в S ,, alpha _ {i} в mathbb {R } _ {geq 0} ,, kin mathbb {N} ight}.}$

Принимая k = 0, следует за нулевым вектором (происхождение ) принадлежит всем коническим оболочкам (так как суммирование становится пустая сумма ).

Конический корпус комплекта S это выпуклый набор. Фактически, это пересечение всех выпуклые конусы содержащий S плюс происхождение.^[1] Если S это компактный набор (в частности, когда это конечный непустой набор точек), то условие "плюс начало" не нужно.

Если отбросить начало координат, мы можем разделить все коэффициенты на их сумму, чтобы увидеть, что коническая комбинация есть выпуклое сочетание масштабируется положительным фактором.

В плоскости конический корпус круг проходящий через начало координат является открытым полуплоскость определяется касательная линия к кругу в начале координат плюс начало координат.

Следовательно, «конические комбинации» и «конические оболочки» фактически являются «выпуклыми коническими комбинациями» и «выпуклыми коническими оболочками» соответственно.^[1] Более того, вышеприведенное замечание о делении коэффициентов при отбрасывании начала координат подразумевает, что конические комбинации и оболочки можно рассматривать как выпуклые комбинации и выпуклые оболочки в проективное пространство.

В то время как выпуклая оболочка компакта также является компактным множеством, это не так для конической оболочки; во-первых, последний неограничен. Более того, это даже не обязательно закрытый набор: контрпример - это сфера проходящий через начало координат, при этом конический корпус является открытым полупространство плюс происхождение. Однако если S непустой компакт, не содержащий начала координат, то коническая оболочка S замкнутое множество.^[1]

Смотрите также

Связанные комбинации

• Аффинная комбинация
• Выпуклая комбинация
• Линейная комбинация

использованная литература