Аффинная комбинация - Affine combination

В математика, аффинная комбинация из Икс₁, ..., Икс_п это линейная комбинация

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} { alpha _ {i} cdot x_ {i}} = alpha _ {1} x_ {1} + alpha _ {2} x_ {2 } + cdots + alpha _ {n} x_ {n},}$

такой, что

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} { alpha _ {i}} = 1.}$

Здесь, Икс₁, ..., Икс_п могут быть элементами (векторов ) из векторное пространство через поле K, а коэффициенты ${ displaystyle alpha _ {я}}$ являются элементами K.

Элементы Икс₁, ..., Икс_п также могут быть точками Евклидово пространство, и, в более общем плане, аффинное пространство над полем K. В этом случае ${ displaystyle alpha _ {я}}$ являются элементами K (или же ${ Displaystyle mathbb {R}}$ для евклидова пространства), а аффинная комбинация также является точкой. Видеть Аффинное пространство § Аффинные комбинации и барицентр для определения в этом случае.

Эта концепция является фундаментальной в Евклидова геометрия и аффинная геометрия, поскольку множество всех аффинных комбинаций набора точек образуют наименьшее подпространство, содержащее точки, точно так же, как линейные комбинации набора векторов образуют их линейный пролет.

Аффинные комбинации коммутируют с любыми аффинное преобразование Т в том смысле, что

${ displaystyle T sum _ {i = 1} ^ {n} { alpha _ {i} cdot x_ {i}} = sum _ {i = 1} ^ {n} { alpha _ {i} cdot Tx_ {i}}.}$

В частности, любая аффинная комбинация фиксированные точки данного аффинное преобразование ${ displaystyle T}$ также является неподвижной точкой ${ displaystyle T}$, поэтому множество неподвижных точек ${ displaystyle T}$ образует аффинное подпространство (в 3D: линия или плоскость, а в тривиальных случаях - точка или все пространство).

Когда стохастическая матрица, А, действует на вектор-столбец, б→, результатом является вектор-столбец, элементы которого являются аффинными комбинациями б→ с коэффициентами из строк в А.

Смотрите также

Связанные комбинации

• Выпуклая комбинация
• Коническая комбинация
• Линейная комбинация

Аффинная геометрия

• Аффинное пространство
• Аффинная геометрия
• Аффинная оболочка

Рекомендации

• Галье, Жан (2001), Геометрические методы и приложения, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95044-0. См. Главу 2.

внешняя ссылка

• Замечания об аффинных комбинациях.