Вронскиан - Wronskian

В математика, то Вронскиан (или же Вроньский) это детерминант представлен Юзеф Хене-Вронски (1812 ) и назван Томас Мьюир (1882, Глава XVIII). Он используется при изучении дифференциальные уравнения, где иногда может отображаться линейная независимость в комплекте решений.

Определение

Вронскиан двух дифференцируемых функций $ж$ и $грамм$ является $W (ж, грамм) = f g' - g f'$ .

В более общем плане для $п$ настоящий - или же сложный -значные функции $ж 1, . . . , ж п$ , которые $п - 1$ раз дифференцируемый на интервал $я$ , вронскианец $W (ж 1, . . . , ж п)$ как функция на $я$ определяется

{ Displaystyle W (f_ {1}, ldots, f_ {n}) (x) = { begin {vmatrix} f_ {1} (x) & f_ {2} (x) & cdots & f_ {n} ( x) f_ {1} '(x) & f_ {2}' (x) & cdots & f_ {n} '(x) vdots & vdots & ddots & vdots f_ {1} ^ {(n-1)} (x) & f_ {2} ^ {(n-1)} (x) & cdots & f_ {n} ^ {(n-1)} (x) end {vmatrix}} , qquad x in I.}

То есть это детерминант из матрица построенный путем размещения функций в первой строке, первой производной каждой функции во второй строке и т. д. через $(п - 1)$ -я производная, образуя квадратная матрица.

Когда функции $ж я$ являются решениями линейное дифференциальное уравнение, вронскиан можно найти явно, используя Личность Авеля, даже если функции $ж я$ не известны явно.

Вронскиан и линейная независимость

Если функции $ж я$ линейно зависимы, то и столбцы вронскиана являются линейными, поскольку дифференцирование является линейной операцией, поэтому вронскиан равен нулю. Таким образом, вронскиан можно использовать, чтобы показать, что набор дифференцируемых функций линейно независимый на интервале, показав, что он не обращается в нуль тождественно. Однако в отдельных точках он может исчезнуть.^[1]

Распространенное заблуждение состоит в том, что $W = 0$ везде подразумевает линейную зависимость, но Пеано (1889) указал, что функции $Икс 2$ и $| Икс | \cdot Икс$ имеют непрерывные производные, и их вронскиан всюду равен нулю, но они не являются линейно зависимыми ни в какой окрестности $0$ .^[а] Есть несколько дополнительных условий, которые гарантируют, что исчезновение вронскиана в интервале подразумевает линейную зависимость.Максим Бохер заметил, что если функции аналитический, то исчезновение вронскиана на интервале означает их линейную зависимость.^[3] Бохер (1901) дал несколько других условий исчезновения вронскиана, подразумевающих линейную зависимость; например, если вронскиан $п$ функции тождественно равны нулю и $п$ Вронскианцы $п - 1$ из них не обращаются в нуль ни в какой точке, то функции линейно зависимы. Вольссон (1989a) дал более общее условие, которое вместе с обращением в нуль вронскиана подразумевает линейную зависимость.

Над полями положительной характеристики п вронскиан может исчезнуть даже для линейно независимых многочленов; например, вронскианец Икс^п и 1 тождественно 0.^{[нужна цитата ]}

Приложение к линейным дифференциальным уравнениям

В общем, для ${ displaystyle n}$ линейное дифференциальное уравнение порядка, если ${ Displaystyle (п-1)}$ решения известны, последнее можно определить с помощью вронскиана.

Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка в Обозначения Лагранжа

{ Displaystyle у '' = а (х) у '+ Ь (х) у}

куда ${ Displaystyle а (х), Ь (х)}$ известны. Позвоните нам ${ displaystyle y_ {1}, y_ {2}}$ два решения уравнения и образуют их вронскиан

{ displaystyle W (x) = y_ {1} y '_ {2} -y_ {2} y' _ {1}}

Затем дифференцируя ${ Displaystyle W (х)}$ и используя тот факт, что ${ displaystyle y_ {i}}$ подчиняться приведенному выше дифференциальному уравнению показывает, что

{ Displaystyle W '(х) = AW (х)}

Следовательно, вронскиан подчиняется простому дифференциальному уравнению первого порядка и может быть точно решен:

{ Displaystyle W (х) = е ^ {А (х)}}

куда ${ Displaystyle А '(х) = а (х)}$

Теперь предположим, что мы знаем одно из решений, скажем ${ displaystyle y_ {2}}$ . Тогда по определению вронскиана ${ displaystyle y_ {1}}$ подчиняется дифференциальному уравнению первого порядка:

{ displaystyle y '_ {1} - { frac {y' _ {2}} {y_ {2}}} y_ {1} = - W (x) / y_ {2}}

и может быть решена точно (по крайней мере, теоретически).

Метод легко обобщается на уравнения более высокого порядка.

Обобщенные вронскианы

За $п$ функции нескольких переменных, обобщенный вронскиан является определителем $п$ к $п$ матрица с записями $D я (ж j)$ (с $0 \leq я < п$ ), где каждый $D я$ - некоторый линейный дифференциальный оператор в частных производных с постоянными коэффициентами порядка $я$ . Если функции линейно зависимы, то все обобщенные вронскианы обращаются в нуль. Как и в случае с 1 переменной, в общем случае обратное неверно: если все обобщенные вронскианы обращаются в нуль, это не означает, что функции линейно зависимы. Однако во многих частных случаях верно обратное. Например, если функции являются полиномами и все обобщенные вронскианы обращаются в нуль, то функции линейно зависимы. Рот использовал этот результат об обобщенных вронскианах в своем доказательстве Теорема Рота. Более общие условия, при которых верно обратное, см. Вольссон (1989b).

Смотрите также

Вариация параметров
Матрица Мура, аналогично вронскиану с заменой дифференцирования на Эндоморфизм Фробениуса над конечным полем.
Альтернантная матрица
Матрица Вандермонда

Примечания

^ Пеано опубликовал свой пример дважды, потому что в первый раз, когда он опубликовал его, редактор, Особняк Пола, который написал учебник, ошибочно утверждая, что исчезновение вронскиана подразумевает линейную зависимость, добавил сноску к статье Пеано, утверждая, что этот результат верен, если ни одна из функций не является тождественным нулем. Во второй статье Пеано указывалось, что эта сноска была вздором.^[2]

Цитаты

^ Бендер, Карл М.; Орзаг, Стивен А. (1999) [1978], Передовые математические методы для ученых и инженеров: асимптотические методы и теория возмущений, Нью-Йорк: Springer, стр. 9, ISBN 978-0-387-98931-0
^ Энгдаль, Сюзанна; Паркер, Адам (апрель 2011 г.). "Пеано о вронскианцах: перевод". Конвергенция. Математическая ассоциация Америки. Дои:10.4169 / loci003642. Получено 2020-10-08.
^ Энгдаль, Сюзанна; Паркер, Адам (апрель 2011 г.). "Пеано о вронскианцах: перевод". Конвергенция. Математическая ассоциация Америки. Раздел "О детерминанте Вронскиана". Дои:10.4169 / loci003642. Получено 2020-10-08. Самая известная теорема приписывается Бохеру и утверждает, что если вронскиан ${ displaystyle n}$ аналитический функция равна нулю, то функции линейно зависимы ([B2], [BD]). [Цитаты «B2» и «BD» относятся к Bôcher (1900–1901 ) и Бостан и Дюма (2010 ), соответственно.]

Матрица классы
Явно ограниченные записи	(0,1) Альтернант Антидиагональный Антиэрмитский Антисимметричный Стрелка Группа Двухдиагональный Двоичный Бисимметричный Блок-диагональ Блокировать Блок трехдиагональный Булево Коши Центросимметричный Конференция Комплекс Адамар Копозитивный По диагонали Диагональ Дискретное преобразование Фурье Элементарный Эквивалент Фробениус Обобщенная перестановка Адамар Ганкель Эрмитский Hessenberg Пустой Целое число Логический Марков Metzler Моном Мур Неотрицательный Разделенный Паризи Пятидиагональный Перестановка Персимметричный Полиномиальный Положительный Кватернионный Знак Подпись Косоэрмитский Кососимметричный Горизонт Разреженный Сильвестр Симметричный Теплиц Треугольная Трехдиагональный Унитарный Vandermonde Уолш Z
Постоянный	Обмен Гильберта Личность Лемер Из них Паскаль Паули Редхеффер Сдвиг Нуль
Условия на собственные значения или собственные векторы	Компаньон Сходящийся Дефектный Диагонализуемый Гурвиц Положительно определенный Стабильность Стилтьес
Удовлетворительные условия на товары или же обратное	Конгруэнтный Идемпотент или же Проекция Обратимый Инволютивный Нильпотентный Нормальный Ортогональный Ортонормированный Единственное число Унимодулярный Унипотентный Полностью унимодулярный Взвешивание
Со специальными приложениями	Приспосабливать Альтернативный знак Дополненный Безу Карлеман Картан Циркулянт Кофактор Коммутация Путаница Coxeter Оскорбительный Расстояние Дублирование Устранение Евклидово расстояние Фундаментальное (линейное дифференциальное уравнение) Генератор Грамиан Гессен Домохозяин Якобиан Момент Заплатить Выбирать Случайный Вращение Зейферт Сдвиг Сходство Симплектический Полностью положительный Трансформация Wedderburn X – Y – Z
Используется в статистика	Бернулли Центрирование Корреляция Ковариация Дизайн Дисперсия Дважды стохастический Информация Fisher Шляпа Точность Стохастик Переход
Используется в теория графов	Смежность Двуличность Степень Эдмондс Заболеваемость Лапласиан Зайдельская смежность Косая смежность Тутте
Используется в науке и технике	Кабиббо – Кобаяси – Маскава Плотность Фундаментальный (компьютерное зрение) Нечеткий ассоциативный Гамма Гелл-Манн Гамильтониан Нерегулярный Перекрывать S Состояние перехода Замена Z (химия)
Связанные термины	Иорданская каноническая форма Линейная независимость Матрица экспоненциальная Матричное представление конических сечений Идеальная матрица Псевдообратный Кватернионная матрица Форма эшелона строки Вронскиан
Список матриц Категория: Матрицы