Преобразование Ганкеля - Hankel transform

В математика, то Преобразование Ганкеля выражает любую заданную функцию ж(р) как взвешенную сумму бесконечного числа Функции Бесселя первого рода $J ν (кр)$ . Все функции Бесселя в сумме имеют один и тот же порядок ν, но отличаются масштабным коэффициентом k вдоль р ось. Необходимый коэффициент $F ν$ каждой функции Бесселя в сумме в зависимости от масштабного коэффициента k составляет преобразованную функцию. Преобразование Ханкеля - это интегральное преобразование и был впервые разработан математиком Герман Ганкель. Он также известен как преобразование Фурье – Бесселя. Так же, как преобразование Фурье для бесконечного интервала связана с Ряд Фурье на конечном интервале, поэтому преобразование Ганкеля на бесконечном интервале связано с Ряд Фурье – Бесселя на конечном интервале.

Определение

В Преобразование Ганкеля порядка ${ displaystyle nu}$ функции ж(р) дан кем-то

{ Displaystyle F _ { nu} (к) = int _ {0} ^ { infty} f (r) J _ { nu} (kr) , r , mathrm {d} r,}

где ${ displaystyle J _ { nu}}$ это Функция Бесселя первого вида заказа ${ displaystyle nu}$ с ${ displaystyle nu geq -1/2}$ . Обратное преобразование Ганкеля $F ν (k)$ определяется как

{ displaystyle f (r) = int _ {0} ^ { infty} F _ { nu} (k) J _ { nu} (kr) , k , mathrm {d} k,}

что можно легко проверить, используя соотношение ортогональности, описанное ниже.

Область определения

Обращение преобразования Ганкеля функции ж(р) действует в каждой точке, в которой ж(р) непрерывна при условии, что функция определена в (0, ∞), кусочно-непрерывна и имеет ограниченную вариацию на каждом конечном подынтервале в (0, ∞), и

{ displaystyle int _ {0} ^ { infty} | f (r) | , r ^ { frac {1} {2}} , mathrm {d} r < infty.}

Однако, как и преобразование Фурье, область может быть расширена аргументом плотности для включения некоторых функций, интеграл которых выше не является конечным, например ${ Displaystyle е (г) = (1 + г) ^ {- 3/2}}$ .

Альтернативное определение

Альтернативное определение гласит, что преобразование Ганкеля грамм(р) является^[1]

{ displaystyle h _ { nu} (k) = int _ {0} ^ { infty} g (r) J _ { nu} (kr) , { sqrt {kr}} , mathrm {d } р.}

Эти два определения связаны:

Если

{ Displaystyle г (г) = е (г) { sqrt {r}}}

, тогда

{ displaystyle h _ { nu} (k) = F _ { nu} (k) { sqrt {k}}.}

Это означает, что, как и в предыдущем определении, преобразование Ханкеля, определенное таким образом, также является своим собственным обратным:

{ displaystyle g (r) = int _ {0} ^ { infty} h _ { nu} (k) J _ { nu} (kr) , { sqrt {kr}} , mathrm {d } k.}

Очевидная область теперь имеет условие

{ displaystyle int _ {0} ^ { infty} | g (r) | , mathrm {d} r < infty,}

но это можно продлить. Согласно приведенной выше ссылке, мы можем взять интеграл как предел, поскольку верхний предел стремится к бесконечности ( несобственный интеграл а не Интеграл Лебега ), и таким образом преобразование Ганкеля и его обратная работа для всех функций из L² (0, ∞).

Преобразование уравнения Лапласа

Преобразование Ханкеля можно использовать для преобразования и решения Уравнение Лапласа выражается в цилиндрических координатах. При преобразовании Ганкеля оператор Бесселя превращается в умножение на ${ displaystyle -q ^ {2}}$ .^[2] В осесимметричном случае уравнение в частных производных преобразуется как

{ displaystyle { mathcal {H}} _ {0} left {{ frac { partial ^ {2} u} { partial r ^ {2}}} + { frac {1} {r} } { frac { partial u} { partial r}} + { frac { partial ^ {2} u} { partial z ^ {2}}} right } = - q ^ {2} U + { frac { partial ^ {2}} { partial z ^ {2}}} U,}

которое представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение относительно преобразованной переменной ${ displaystyle U}$ .

Ортогональность

Функции Бесселя образуют ортогональный базис относительно весового коэффициента р:^[3]

{ Displaystyle int _ {0} ^ { infty} J _ { nu} (kr) J _ { nu} (k'r) , r , mathrm {d} r = { frac { delta (k-k ')} {k}}, quad k, k'> 0.}

Теорема Планшереля и теорема Парсеваля

Если ж(р) и грамм(р) таковы, что их преобразования Ганкеля $F ν (k)$ и $грамм ν (k)$ хорошо определены, то Теорема Планшереля состояния

{ displaystyle int _ {0} ^ { infty} f (r) g (r) , r , mathrm {d} r = int _ {0} ^ { infty} F _ { nu} (k) G _ { nu} (k) , k , mathrm {d} k.}

Теорема Парсеваля, в котором говорится

{ displaystyle int _ {0} ^ { infty} | f (r) | ^ {2} , r , mathrm {d} r = int _ {0} ^ { infty} | F_ { nu} (k) | ^ {2} , k , mathrm {d} k,}

является частным случаем теоремы Планшереля. Эти теоремы можно доказать, используя свойство ортогональности.

Связь с многомерным преобразованием Фурье

Преобразование Ханкеля появляется, когда человек записывает многомерное преобразование Фурье в гиперсферические координаты, поэтому преобразование Ганкеля часто возникает в физических задачах с цилиндрической или сферической симметрией.

Рассмотрим функцию ${ Displaystyle F ( mathbf {r})}$ из ${ textstyle d}$ -мерный вектор $р$ . Его ${ textstyle d}$ -мерное преобразование Фурье определяется как

{ Displaystyle F ( mathbf {k}) = int _ { mathbb {R} ^ {d}} f ( mathbf {r}) e ^ {- я mathbf {k} cdot mathbf {r }} , mathrm {d} mathbf {r}.}

Чтобы переписать его в гиперсферических координатах, мы можем использовать разложение плоской волны на

{ textstyle d}

-мерные гиперсферические гармоники

{ displaystyle Y_ {l, m}}

:^[4]

{ Displaystyle е ^ {- я mathbf {k} cdot mathbf {r}} = (2 pi) ^ {d / 2} (kr) ^ {1-d / 2} sum _ {l = 0} ^ {+ infty} (- i) ^ {l} J_ {d / 2-1 + l} (kr) sum _ {m} Y_ {l, m} ( Omega _ { mathbf {k }}) Y_ {l, m} ^ {*} ( Omega _ { mathbf {r}}),}

где

{ textstyle Omega _ { mathbf {r}}}

и

{ textstyle Omega _ { mathbf {k}}}

- множества всех гиперсферических углов в

{ displaystyle mathbf {r}}

-пространство и

{ displaystyle mathbf {k}}

-Космос. Это дает следующее выражение для

{ textstyle d}

-мерное преобразование Фурье в гиперсферических координатах:

{ Displaystyle F ( mathbf {k}) = (2 pi) ^ {d / 2} k ^ {1-d / 2} sum _ {l = 0} ^ {+ infty} (- я) ^ {l} sum _ {m} Y_ {l, m} ( Omega _ { mathbf {k}}) int _ {0} ^ {+ infty} J_ {d / 2-1 + l} (kr) r ^ {d / 2} mathrm {d} r int f ( mathbf {r}) Y_ {l, m} ^ {*} ( Omega _ { mathbf {r}}) mathrm {d} Omega _ { mathbf {r}}.}

Если мы расширим

{ Displaystyle F ( mathbf {r})}

и

{ Displaystyle F ( mathbf {k})}

в гиперсферических гармониках:

{ displaystyle f ( mathbf {r}) = sum _ {l = 0} ^ {+ infty} sum _ {m} f_ {l, m} (r) Y_ {l, m} ( Omega _ { mathbf {r}}), quad F ( mathbf {k}) = sum _ {l = 0} ^ {+ infty} sum _ {m} F_ {l, m} (k) Y_ {l, m} ( Omega _ { mathbf {k}}),}

преобразование Фурье в гиперсферических координатах упрощается до

{ Displaystyle к ^ {d / 2-1} F_ {l, m} (k) = (2 pi) ^ {d / 2} (- i) ^ {l} int _ {0} ^ {+ infty} r ^ {d / 2-1} f_ {l, m} (r) J_ {d / 2-1 + l} (kr) r mathrm {d} r.}

Это означает, что функции с угловой зависимостью в виде гиперсферической гармоники сохраняют ее при многомерном преобразовании Фурье, в то время как радиальная часть подвергается преобразованию Ганкеля (с точностью до некоторых дополнительных факторов, таких как

{ textstyle r ^ {d / 2-1}}

).

Особые случаи

Преобразование Фурье в двух измерениях

Если двумерная функция $ж (р)$ расширяется в многополюсный ряд,

{ displaystyle f (r, theta) = sum _ {m = - infty} ^ { infty} f_ {m} (r) e ^ {im theta _ { mathbf {r}}},}

то его двумерное преобразование Фурье имеет вид

{ Displaystyle F ( mathbf {k}) = 2 pi sum _ {m} i ^ {- m} e ^ {im theta _ { mathbf {k}}} F_ {m} (k), }

где

{ displaystyle F_ {m} (k) = int _ {0} ^ { infty} f_ {m} (r) J_ {m} (kr) , r , mathrm {d} r}

это

{ textstyle m}

преобразование Ганкеля

{ displaystyle f_ {m} (r)}

(в этом случае

{ textstyle m}

играет роль углового момента, который обозначался как

{ textstyle l}

в предыдущем разделе).

Преобразование Фурье в трех измерениях

Если трехмерная функция $ж (р)$ расширяется в многополюсный ряд над сферические гармоники,

{ displaystyle f (г, theta _ { mathbf {r}}, varphi _ { mathbf {r}}) = sum _ {l = 0} ^ {+ infty} sum _ {m = -l} ^ {+ l} f_ {l, m} (r) Y_ {l, m} ( theta _ { mathbf {r}}, varphi _ { mathbf {r}}),}

то его трехмерное преобразование Фурье дается выражением

{ Displaystyle F (к, theta _ { mathbf {k}}, varphi _ { mathbf {k}}) = (2 pi) ^ {3/2} sum _ {l = 0} ^ {+ infty} (- i) ^ {l} sum _ {m = -l} ^ {+ l} F_ {l, m} (k) Y_ {l, m} ( theta _ { mathbf { k}}, varphi _ { mathbf {k}}),}

где

{ displaystyle { sqrt {k}} F_ {l, m} (k) = int _ {0} ^ {+ infty} { sqrt {r}} f_ {l, m} (r) J_ { l + 1/2} (kr) r mathrm {d} r.}

преобразование Ганкеля

{ displaystyle { sqrt {r}} f_ {l, m} (r)}

порядка

{ textstyle (l + 1/2)}

.

Этот вид преобразования Ганкеля полуцелого порядка также известен как сферическое преобразование Бесселя.

Преобразование Фурье в $d$ размеры (радиально-симметричный случай)

Если $d$ -мерная функция $ж (р)$ не зависит от угловых координат, то его $d$ -мерное преобразование Фурье $F (k)$ также не зависит от угловых координат и определяется выражением^[5]

{ Displaystyle к ^ {d / 2-1} F (k) = (2 pi) ^ {d / 2} int _ {0} ^ {+ infty} r ^ {d / 2-1} f (r) J_ {d / 2-1} (kr) r mathrm {d} r.}

которое является преобразованием Ганкеля

{ displaystyle r ^ {d / 2-1} f (r)}

порядка

{ textstyle (d / 2-1)}

до фактора

{ displaystyle (2 pi) ^ {d / 2}}

.

2D-функции в ограниченном радиусе

Если двумерная функция $ж (р)$ расширяется в многополюсный ряд а коэффициенты разложения $ж м$ достаточно гладкие вблизи начала координат и равны нулю вне радиуса $р$ , радиальная часть $ж (р)/ р м$ может быть расширен до степенного ряда $1- (г / р) ^ 2$ :

{ displaystyle f_ {m} (r) = r ^ {m} sum _ {t geq 0} f_ {m, t} left (1- left ({ tfrac {r} {R}} right) ^ {2} right) ^ {t}, quad 0 leq r leq R,}

такое, что двумерное преобразование Фурье $ж (р)$ становится

{ Displaystyle { begin {align} F ( mathbf {k}) & = 2 pi sum _ {m} i ^ {- m} e ^ {im theta _ {k}} sum _ {т } f_ {m, t} int _ {0} ^ {R} r ^ {m} left (1- left ({ tfrac {r} {R}} right) ^ {2} right) ^ {t} J_ {m} (kr) r , mathrm {d} r && & = 2 pi sum _ {m} i ^ {- m} e ^ {im theta _ {k}} R ^ {m + 2} sum _ {t} f_ {m, t} int _ {0} ^ {1} x ^ {m + 1} (1-x ^ {2}) ^ {t} J_ {m} (kxR) , mathrm {d} x && (x = { tfrac {r} {R}}) & = 2 pi sum _ {m} i ^ {- m} e ^ { im theta _ {k}} R ^ {m + 2} sum _ {t} f_ {m, t} { frac {t! 2 ^ {t}} {(kR) ^ {1 + t}} } J_ {m + t + 1} (kR), end {align}}}

где последнее равенство следует из §6.567.1.^[6] Коэффициенты разложения $ж м, т$ доступны с дискретное преобразование Фурье техники:^[7] если радиальное расстояние масштабируется с

{ Displaystyle г / р эквив грех тета, квад 1- (г / р) ^ {2} = соз ^ {2} тета,}

коэффициенты ряда Фурье-Чебышева $грамм$ появиться как

{ Displaystyle е (г) эквив г ^ {м} сумма _ {j} g_ {m, j} cos (j theta) = r ^ {m} sum _ {j} g_ {m, j } T_ {j} ( cos theta).}

Использование повторного расширения

{ displaystyle cos (j theta) = 2 ^ {j-1} cos ^ {j} theta - { frac {j} {1}} 2 ^ {j-3} cos ^ {j- 2} theta + { frac {j} {2}} { binom {j-3} {1}} 2 ^ {j-5} cos ^ {j-4} theta - { frac {j } {3}} { binom {j-4} {2}} 2 ^ {j-7} cos ^ {j-6} theta + cdots}

дает $ж м, т$ выражается в виде суммы $грамм м, дж$ .

Это одна из разновидностей техник быстрого преобразования Ганкеля.

Связь с преобразованиями Фурье и Абеля

Преобразование Ханкеля является одним из членов Цикл FHA интегральных операторов. В двух измерениях, если мы определим $А$ как Преобразование Абеля оператор $F$ как преобразование Фурье оператор и $ЧАС$ как оператор преобразования Ганкеля нулевого порядка, то частный случай теорема о проекции для кругово-симметричных функций утверждает, что

{ displaystyle FA = H.}

Другими словами, применение преобразования Абеля к одномерной функции и последующее применение преобразования Фурье к этому результату аналогично применению преобразования Ганкеля к этой функции. Эта концепция может быть расширена на более высокие измерения.

Числовая оценка

Простой и эффективный подход к численной оценке преобразования Ханкеля основан на наблюдении, что оно может быть представлено в виде свертка логарифмической заменой переменных^[8]

{ displaystyle r = r_ {0} e ^ {- rho}, quad k = k_ {0} e ^ { kappa}.}

В этих новых переменных преобразование Ханкеля имеет вид

{ displaystyle { tilde {F}} _ { nu} ( kappa) = int _ {- infty} ^ { infty} { tilde {f}} ( rho) { tilde {J} } _ { nu} ( kappa - rho) mathrm {d} rho,}

где

{ Displaystyle { тильда {f}} ( rho) = (r_ {0} e ^ {- rho}) ^ {1-n} f (r_ {0} e ^ {- rho}), quad { tilde {F}} _ { nu} ( kappa) = (k_ {0} e ^ { kappa}) ^ {1 + n} F _ { nu} (k_ {0} e ^ { каппа}), quad { tilde {J}} _ { nu} ( kappa - rho) = (k_ {0} r_ {0} e ^ { kappa - rho}) ^ {1 + n } J _ { nu} (k_ {0} r_ {0} e ^ { kappa - rho}).}

Теперь интеграл можно вычислить численно с помощью

{ textstyle O (N войти N)}

сложность с помощью быстрое преобразование Фурье. Алгоритм может быть дополнительно упрощен, если использовать известное аналитическое выражение для преобразования Фурье

{ textstyle { tilde {J}} _ { nu}}

:^[9]

{ displaystyle int _ {- infty} ^ {+ infty} { tilde {J}} _ { nu} (x) e ^ {- iqx} mathrm {d} x = { frac { Гамма left ({ frac { nu + 1 + n-iq} {2}} right)} { Gamma left ({ frac { nu + 1-n + iq} {2}} right )}} 2 ^ {n-iq} e ^ {iq ln (k_ {0} r_ {0})}.}

Оптимальный выбор параметров

{ textstyle r_ {0}, k_ {0}, n}

зависит от свойств

{ textstyle f (r)}

, в частности его асимптотика при

{ textstyle r rightarrow 0}

и

{ textstyle r rightarrow infty}

.

Этот алгоритм известен как «квази-быстрое преобразование Ганкеля» или просто «быстрое преобразование Ганкеля».

Поскольку он основан на быстрое преобразование Фурье в логарифмических переменных, ${ textstyle f (r)}$ должен быть определен на логарифмической сетке. Для функций, определенных на однородной сетке, существует ряд других алгоритмов, в том числе простой квадратура, методы, основанные на теорема о проекции, и методы, использующие асимптотическое разложение функций Бесселя.^[10]

Некоторые пары преобразований Ханкеля

^[11]

${ displaystyle f (r)}$	${ displaystyle F_ {0} (к)}$
${ displaystyle 1}$	${ displaystyle { frac { delta (k)} {k}}}$
${ displaystyle { frac {1} {r}}}$	${ displaystyle { frac {1} {k}}}$
${ displaystyle r}$	${ displaystyle - { frac {1} {k ^ {3}}}}$
${ displaystyle r ^ {3}}$	${ displaystyle { frac {9} {k ^ {5}}}}$
${ displaystyle r ^ {m}}$	${ displaystyle { frac {2 ^ {m + 1} Gamma left ({ tfrac {m} {2}} + 1 right)} {k ^ {m + 2} Gamma left (- { tfrac {m} {2}} right)}}, quad -2 < Re (m) <- { tfrac {1} {2}}}$
${ displaystyle { frac {1} { sqrt {r ^ {2} + z ^ {2}}}}}$	${ displaystyle { frac {e ^ {- k \| z \|}} {k}}}$
${ displaystyle { frac {1} {z ^ {2} + r ^ {2}}}}$	${ displaystyle K_ {0} (kz), quad z in mathbf {C}}$
${ displaystyle { frac {e ^ {iar}} {r}}}$	${ displaystyle { frac {i} { sqrt {a ^ {2} -k ^ {2}}}}, quad a> 0, k$
${ displaystyle { frac {e ^ {iar}} {r}}}$	${ displaystyle { frac {1} { sqrt {k ^ {2} -a ^ {2}}}}, quad a> 0, k> a}$
${ displaystyle e ^ {- { frac {1} {2}} a ^ {2} r ^ {2}}}$	${ displaystyle { frac {1} {a ^ {2}}} e ^ {- { tfrac {k ^ {2}} {2a ^ {2}}}}}$
${ displaystyle { frac {1} {r}} J_ {0} (lr) e ^ {- sr}}$	${ displaystyle { frac {2} { pi { sqrt {(k + l) ^ {2} + s ^ {2}}}}} K { bigg (} { sqrt { frac {4kl}) {(к + 1) ^ {2} + s ^ {2}}}} { bigg)}}$
${ Displaystyle -r ^ {2} е (г)}$	${ displaystyle { frac { mathrm {d} ^ {2} F_ {0}} { mathrm {d} k ^ {2}}} + { frac {1} {k}} { frac { mathrm {d} F_ {0}} { mathrm {d} k}}}$

${ displaystyle f (r)}$	${ Displaystyle F _ { nu} (к)}$
${ displaystyle r ^ {s}}$	${ displaystyle { frac {2 ^ {s + 1}} {k ^ {s + 2}}} { frac { Gamma left ({ tfrac {1} {2}} (2+ nu + s) right)} { Gamma ({ tfrac {1} {2}} ( nu -s))}}}$
${ displaystyle r ^ { nu -2s} Gamma (s, r ^ {2} h)}$	${ displaystyle { tfrac {1} {2}} left ({ tfrac {k} {2}} right) ^ {2s- nu -2} gamma left (1-s + nu, { tfrac {k ^ {2}} {4h}} right)}$
${ Displaystyle е ^ {- г ^ {2}} г ^ { ню} U (а, б, г ^ {2})}$	${ displaystyle { frac { Gamma (2+ nu -b)} {2 Gamma (2+ nu -b + a)}} left ({ tfrac {k} {2}} right) ^ { nu} e ^ {- { frac {k ^ {2}} {4}}} , _ {1} F_ {1} left (a, 2 + a-b + nu, { tfrac {k ^ {2}} {4}} right)}$
${ displaystyle r ^ {n} J _ { mu} (lr) e ^ {- sr}}$	Можно выразить в терминах эллиптические интегралы.^[12]
${ Displaystyle -r ^ {2} е (г)}$	${ displaystyle { frac { mathrm {d} ^ {2} F _ { nu}} { mathrm {d} k ^ {2}}} + { frac {1} {k}} { frac { mathrm {d} F _ { nu}} { mathrm {d} k}} - { frac { nu ^ {2}} {k ^ {2}}} F _ { nu}}$

$K п (z)$ это модифицированная функция Бесселя второго рода. $K (z)$ это полный эллиптический интеграл первого рода.

Выражение

{ displaystyle { frac { mathrm {d} ^ {2} F_ {0}} { mathrm {d} k ^ {2}}} + { frac {1} {k}} { frac { mathrm {d} F_ {0}} { mathrm {d} k}}}

совпадает с выражением для Оператор Лапласа в полярные координаты $(k, θ)$ применительно к сферически симметричной функции $F 0 (k)$ .

Преобразование Ганкеля Многочлены Цернике по сути являются функциями Бесселя (Noll 1976):

{ Displaystyle R_ {n} ^ {m} (r) = (- 1) ^ { frac {nm} {2}} int _ {0} ^ { infty} J_ {n + 1} (к) J_ {m} (kr) , mathrm {d} k}

даже для $п - м \geq 0$ .

Смотрите также

Рекомендации

^ Луи де Бранж (1968). Гильбертовы пространства целых функций. Лондон: Прентис-Холл. п.189. ISBN 978-0133889000.
^ Пуларикас, Александр Д. (1996). Справочник преобразований и приложений. Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 0-8493-8342-0. OCLC 32237017.
^ Понсе де Леон, Дж. (2015). «Возвращаясь к ортогональности функций Бесселя первого рода на бесконечном интервале». Европейский журнал физики. 36 (1): 015016. Bibcode:2015EJPh ... 36a5016P. Дои:10.1088/0143-0807/36/1/015016.
^ Эйвери, Джеймс Эмиль, автор. Гиперсферические гармоники и их физические приложения. ISBN 978-981-322-930-3. OCLC 1013827621.CS1 maint: несколько имен: список авторов (связь)
^ Фарис, Уильям Г. (2008-12-06). «Радиальные функции и преобразование Фурье: Notes for Math 583A, Fall 2008» (PDF). Университет Аризоны, факультет математики. Получено 2015-04-25.
^ Градштейн, И. С .; Рыжик И. М. (2015). Цвиллинджер, Даниэль (ред.). Таблица интегралов, серий и продуктов (Восьмое изд.). Академическая пресса. п. 687. ISBN 978-0-12-384933-5.
^ Секада, Хосе Д. (1999). «Численная оценка преобразования Ханкеля». Комп. Phys. Comm. 116 (2–3): 278–294. Bibcode:1999CoPhC.116..278S. Дои:10.1016 / S0010-4655 (98) 00108-8.
^ Зигман, А. Э. (1977-07-01). «Квази быстрое преобразование Ганкеля». Письма об оптике. 1 (1): 13. Bibcode:1977 ОптЛ .... 1 ... 13S. Дои:10.1364 / ol.1.000013. ISSN 0146-9592. PMID 19680315.
^ Талман, Джеймс Д. (октябрь 1978 г.). «Числовые преобразования Фурье и Бесселя в логарифмических переменных». Журнал вычислительной физики. 29 (1): 35–48. Bibcode:1978JCoPh..29 ... 35T. Дои:10.1016/0021-9991(78)90107-9. ISSN 0021-9991.
^ Кри, M.J .; Кости, П.Дж. (июль 1993 г.). «Алгоритмы для численной оценки преобразования Ханкеля». Компьютеры и математика с приложениями. 26 (1): 1–12. Дои:10.1016/0898-1221(93)90081-6. ISSN 0898-1221.
^ Папулис, Афанасиос (1981). Системы и преобразования с приложениями в оптике. Флорида, США: Издательство Кригер. С. 140–175. ISBN 978-0898743586.
^ Kausel, E .; Ирфан Байг, М. М. (2012). «Преобразование Лапласа произведений функций Бесселя: посещение более ранних формул» (PDF). Квартал прикладной математики. 70: 77–97. Дои:10.1090 / s0033-569x-2011-01239-2. HDL:1721.1/78923.

Гаскилл, Джек Д. (1978). Линейные системы, преобразования Фурье и оптика. Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. ISBN 978-0-471-29288-3.
Полянин, А.Д .; Манжиров, А. В. (1998). Справочник интегральных уравнений. Бока-Ратон: CRC Press. ISBN 978-0-8493-2876-3.
Смайт, Уильям Р. (1968). Статическое и динамическое электричество (3-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 179–223.
Оффорд, А. С. (1935). «О превращениях Ганкеля». Труды Лондонского математического общества. 39 (2): 49–67. Дои:10.1112 / плмс / с2-39.1.49.
Исон, G .; Благородный, B .; Снеддон, И. Н. (1955). «О некоторых интегралах типа Липшица-Ганкеля, содержащих произведения функций Бесселя». Философские труды Королевского общества A. 247 (935): 529–551. Bibcode:1955RSPTA.247..529E. Дои:10.1098 / рста.1955.0005. JSTOR 91565.
Килпатрик, Дж. Э .; Кацура, Сигетоши; Иноуэ, Юджи (1967). «Вычисление интегралов от произведений функций Бесселя». Математика вычислений. 21 (99): 407–412. Дои:10.1090 / S0025-5718-67-99149-1.
Маккиннон, Роберт Ф. (1972). «Асимптотические разложения преобразований Ганкеля и связанных с ними интегралов». Математика вычислений. 26 (118): 515–527. Дои:10.1090 / S0025-5718-1972-0308695-9. JSTOR 2003243.
Линц, Питер; Кропп, Т. Э. (1973). «Заметка о вычислении интегралов с использованием произведений тригонометрических функций и функций Бесселя». Математика вычислений. 27 (124): 871–872. Дои:10.2307/2005522. JSTOR 2005522.
Нолл, Роберт Дж (1976). «Полиномы Цернике и атмосферная турбулентность». Журнал Оптического общества Америки. 66 (3): 207–211. Bibcode:1976JOSA ... 66..207N. Дои:10.1364 / JOSA.66.000207.
Зигман, А. Э. (1977). «Квази-быстрое преобразование Ганкеля». Опт. Латыш. 1 (1): 13–15. Bibcode:1977 ОптЛ .... 1 ... 13S. Дои:10.1364 / OL.1.000013. PMID 19680315.
Магни, Витторио; Серулло, Джулио; Де Сильверстри, Сандро (1992). «Высокоточное быстрое преобразование Ганкеля для распространения оптического луча». J. Opt. Soc. Являюсь. А. 9 (11): 2031–2033. Bibcode:1992JOSAA ... 9.2031M. Дои:10.1364 / JOSAA.9.002031.
Agnesi, A .; Reali, Giancarlo C .; Patrini, G .; Томаселли, А. (1993). «Численная оценка преобразования Ханкеля: примечания». Журнал Оптического общества Америки A. 10 (9): 1872. Bibcode:1993JOSAA..10.1872A. Дои:10.1364 / JOSAA.10.001872.
Баракат, Ричард (1996). «Численная оценка преобразования Ганкеля нулевого порядка с использованием квадратурной философии Филона». Письма по прикладной математике. 9 (5): 21–26. Дои:10.1016/0893-9659(96)00067-5. МИСТЕР 1415467.
Феррари, Хосе А .; Perciante, Daniel; Дубра, Альфредо (1999). «Быстрое преобразование Ганкеля n-го порядка». J. Opt. Soc. Являюсь. А. 16 (10): 2581–2582. Bibcode:1999JOSAA..16.2581F. Дои:10.1364 / JOSAA.16.002581.
Видер, Томас (1999). «Алгоритм 794: Численное преобразование Ханкеля с помощью программы на языке Fortran HANKEL». ACM Trans. Математика. Softw. 25 (2): 240–250. Дои:10.1145/317275.317284.
Нокерт, Люк (2000). «Быстрое преобразование Ганкеля с помощью быстрых преобразований синуса и косинуса: связь Меллина» (PDF). IEEE Trans. Сигнальный процесс. 48 (6): 1695–1701. Bibcode:2000ITSP ... 48,1695 К. CiteSeerX 10.1.1.721.1633. Дои:10.1109/78.845927.
Zhang, D.W .; Юань, X.-C .; Ngo, N. Q .; Шум П. (2002). «Быстрое преобразование Ганкеля и его применение для изучения распространения цилиндрических электромагнитных полей». Опт. Экспресс. 10 (12): 521–525. Bibcode:2002OExpr..10..521Z. Дои:10.1364 / oe.10.000521. PMID 19436390.
Маркхэм, Джоанна; Кончелло, Хосе-Анхель (2003). «Численное вычисление преобразований Ганкеля для осциллирующих функций». J. Opt. Soc. Являюсь. А. 20 (4): 621–630. Bibcode:2003JOSAA..20..621M. Дои:10.1364 / JOSAA.20.000621. PMID 12683487.
Perciante, César D .; Феррари, Хосе А. (2004). «Быстрое преобразование Ханкеля n-го порядка с улучшенной производительностью». J. Opt. Soc. Являюсь. А. 21 (9): 1811–2. Bibcode:2004JOSAA..21.1811P. Дои:10.1364 / JOSAA.21.001811. PMID 15384449.
Гизар-Сикаирос, Мануэль; Гутьеррес-Вега, Хулио К. (2004). «Вычисление квазидискретного преобразования Ханкеля целого порядка для распространения оптических волновых полей». J. Opt. Soc. Являюсь. А. 21 (1): 53–58. Bibcode:2004JOSAA..21 ... 53G. Дои:10.1364 / JOSAA.21.000053. PMID 14725397.
Cerjan, Чарльз (2007). «Представление Цернике-Бесселя и его приложение к преобразованиям Ганкеля». J. Opt. Soc. Являюсь. А. 24 (6): 1609–1616. Bibcode:2007JOSAA..24.1609C. Дои:10.1364 / JOSAA.24.001609. PMID 17491628.

[1] Луи де Бранж (1968). Гильбертовы пространства целых функций. Лондон: Прентис-Холл. п.189. ISBN 978-0133889000.

[2] Пуларикас, Александр Д. (1996). Справочник преобразований и приложений. Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 0-8493-8342-0. OCLC 32237017.

[3] Понсе де Леон, Дж. (2015). «Возвращаясь к ортогональности функций Бесселя первого рода на бесконечном интервале». Европейский журнал физики. 36 (1): 015016. Bibcode:2015EJPh ... 36a5016P. Дои:10.1088/0143-0807/36/1/015016.

[4] Эйвери, Джеймс Эмиль, автор. Гиперсферические гармоники и их физические приложения. ISBN 978-981-322-930-3. OCLC 1013827621.CS1 maint: несколько имен: список авторов (связь)

[5] Фарис, Уильям Г. (2008-12-06). «Радиальные функции и преобразование Фурье: Notes for Math 583A, Fall 2008» (PDF). Университет Аризоны, факультет математики. Получено 2015-04-25.

[6] Градштейн, И. С .; Рыжик И. М. (2015). Цвиллинджер, Даниэль (ред.). Таблица интегралов, серий и продуктов (Восьмое изд.). Академическая пресса. п. 687. ISBN 978-0-12-384933-5.

[7] Секада, Хосе Д. (1999). «Численная оценка преобразования Ханкеля». Комп. Phys. Comm. 116 (2–3): 278–294. Bibcode:1999CoPhC.116..278S. Дои:10.1016 / S0010-4655 (98) 00108-8.

[8] Зигман, А. Э. (1977-07-01). «Квази быстрое преобразование Ганкеля». Письма об оптике. 1 (1): 13. Bibcode:1977 ОптЛ .... 1 ... 13S. Дои:10.1364 / ol.1.000013. ISSN 0146-9592. PMID 19680315.

[9] Талман, Джеймс Д. (октябрь 1978 г.). «Числовые преобразования Фурье и Бесселя в логарифмических переменных». Журнал вычислительной физики. 29 (1): 35–48. Bibcode:1978JCoPh..29 ... 35T. Дои:10.1016/0021-9991(78)90107-9. ISSN 0021-9991.

[10] Кри, M.J .; Кости, П.Дж. (июль 1993 г.). «Алгоритмы для численной оценки преобразования Ханкеля». Компьютеры и математика с приложениями. 26 (1): 1–12. Дои:10.1016/0898-1221(93)90081-6. ISSN 0898-1221.

[11] Папулис, Афанасиос (1981). Системы и преобразования с приложениями в оптике. Флорида, США: Издательство Кригер. С. 140–175. ISBN 978-0898743586.

[12] Kausel, E .; Ирфан Байг, М. М. (2012). «Преобразование Лапласа произведений функций Бесселя: посещение более ранних формул» (PDF). Квартал прикладной математики. 70: 77–97. Дои:10.1090 / s0033-569x-2011-01239-2. HDL:1721.1/78923.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]