Ряд Фурье – Бесселя - Википедия - Fourier–Bessel series

В математика, Ряд Фурье – Бесселя это особый вид обобщенный ряд Фурье (ан бесконечная серия разложение на конечном интервале) на основе Функции Бесселя.

Ряды Фурье – Бесселя используются в решении уравнения в частных производных, особенно в цилиндрическая координата системы. Ряд, образованный функцией Бесселя первого рода, известен как Серия Шлёмильха.

Определение

Ряд Фурье – Бесселя функции f (x) с домен из [0,б] удовлетворение f (b) = 0

{ displaystyle f: [0, b] rightarrow mathbb {R}}

представляет собой представление этой функции как линейная комбинация из многих ортогональный версии того же Функция Бесселя первого рода J_α, где аргумент каждой версии п по-разному масштабируется, согласно

{ displaystyle (J _ { alpha}) _ {n} (x): = J _ { alpha} left ({ frac {u _ { alpha, n}} {b}} x right)}

куда ты_{α, n} это корень, пронумерованный п связанный с функцией Бесселя J_α и c_п - присвоенные коэффициенты:

{ displaystyle f (x) sim sum _ {n = 1} ^ { infty} c_ {n} J _ { alpha} left ({ frac {u _ { alpha, n}} {b}} x right).}

Интерпретация

Ряд Фурье – Бесселя можно рассматривать как разложение Фурье по координате ρ цилиндрические координаты. Так же, как Ряд Фурье определен для конечного интервала и имеет аналог, непрерывное преобразование Фурье на бесконечном интервале, поэтому ряд Фурье – Бесселя имеет аналог на бесконечном интервале, а именно Преобразование Ганкеля.

Расчет коэффициентов

Как уже говорилось, функции Бесселя с различным масштабированием ортогональны относительно внутренний продукт

{ displaystyle langle f, g rangle = int _ {0} ^ {b} xf (x) g (x) mathrm {d} x}

в соответствии с

{ displaystyle int _ {0} ^ {1} xJ _ { alpha} (xu _ { alpha, n}) , J _ { alpha} (xu _ { alpha, m}) , dx = { frac { delta _ {mn}} {2}} [J _ { alpha +1} (u _ { alpha, n})] ^ {2}}

,

(куда: ${ displaystyle { delta _ {mn}}}$ - дельта Кронекера). Коэффициенты могут быть получены из проектирование функция f (x) на соответствующие функции Бесселя:

{ displaystyle c_ {n} = { frac { langle f, (J _ { alpha}) _ {n} rangle} { langle (J _ { alpha}) _ {n}, (J _ { alpha }) _ {n} rangle}} = { frac { int _ {0} ^ {b} xf (x) (J _ { alpha}) _ {n} (x) mathrm {d} x} {{ frac {1} {2}} (bJ _ { alpha pm 1} (u _ { alpha, n})) ^ {2}}}}

где знак плюс или минус одинаково допустим.

Заявление

Разложение в ряд Фурье – Бесселя использует в качестве основы апериодические и убывающие функции Бесселя. Расширение ряда Фурье-Бесселя успешно применялось в различных областях, таких как диагностика неисправностей механизма, распознавание запахов в турбулентной окружающей среде, анализ постуральной стабильности, определение времени начала голоса, обнаружение моментов (эпох) закрытия голосовой щели, разделение речевых формант, Сегментация сигнала ЭЭГ, улучшение речи и идентификация говорящего. Разложение в ряд Фурье – Бесселя также использовалось для уменьшения перекрестных членов в распределении Вигнера – Вилля.