Обобщенный ряд Фурье - Generalized Fourier series

В математический анализ, многие обобщения Ряд Фурье оказались полезными. Все они являются частными случаями разложений над ортонормированный базис из внутреннее пространство продукта. Здесь мы считаем, что квадратично интегрируемый функции, определенные на интервал из реальная линия, что важно, в частности, для интерполяция теория.

Определение

Рассмотрим набор квадратично интегрируемый функции со значениями в ${ Displaystyle mathbb {F} = mathbb {C} { mbox {или}} mathbb {R}}$ ,

{ Displaystyle Phi = { varphi _ {n}: [a, b] rightarrow mathbb {F} } _ {n = 0} ^ { infty},}

которые попарно ортогональный для внутренний продукт

{ displaystyle langle f, g rangle _ {w} = int _ {a} ^ {b} f (x) , { overline {g}} (x) , w (x) , dx }

куда ш(Икс) это весовая функция, и ${ displaystyle { overline { cdot}}}$ представляет комплексное сопряжение, т.е. ${ Displaystyle { overline {g}} (х) = г (х)}$ за ${ Displaystyle mathbb {F} = mathbb {R}}$ .

В обобщенный ряд Фурье из квадратично интегрируемый функция ж: [а, б] → ${ Displaystyle mathbb {F}}$ относительно Φ, то

{ displaystyle f (x) sim sum _ {n = 0} ^ { infty} c_ {n} varphi _ {n} (x),}

где коэффициенты даются как

{ displaystyle c_ {n} = { langle f, varphi _ {n} rangle _ {w} over | varphi _ {n} | _ {w} ^ {2}}.}

Если Φ - полный набор, т.е. ортонормированный базис пространства всех квадратично интегрируемых функций на [а, б], в отличие от меньшего ортонормированного множества, соотношение ${ displaystyle sim ,}$ становится равенством в L² смысле, точнее по модулю | · |_ш (не обязательно точечно, ни почти всюду ).

Пример (ряд Фурье – Лежандра)

В Полиномы Лежандра являются решениями Проблема Штурма – Лиувилля.

{ displaystyle left ((1-x ^ {2}) P_ {n} '(x) right)' + n (n + 1) P_ {n} (x) = 0}

и, согласно теории Штурма-Лиувилля, эти многочлены являются собственными функциями задачи и решениями, ортогональными относительно скалярного произведения выше с единичным весом. Таким образом, мы можем сформировать обобщенный ряд Фурье (известный как ряд Фурье – Лежандра), включающий полиномы Лежандра, и

{ displaystyle f (x) sim sum _ {n = 0} ^ { infty} c_ {n} P_ {n} (x),}

{ displaystyle c_ {n} = { langle f, P_ {n} rangle _ {w} over | P_ {n} | _ {w} ^ {2}}}

В качестве примера вычислим ряд Фурье – Лежандра для ƒ(Икс) = cosИкс более [−1, 1]. Сейчас же,

{ displaystyle { begin {align} c_ {0} & = { int _ {- 1} ^ {1} cos {x} , dx over int _ {- 1} ^ {1} (1 ) ^ {2} , dx} = sin {1} c_ {1} & = { int _ {- 1} ^ {1} x cos {x} , dx over int _ { -1} ^ {1} x ^ {2} , dx} = {0 over 2/3} = 0 c_ {2} & = { int _ {- 1} ^ {1} {3x ^ {2} -1 over 2} cos {x} , dx over int _ {- 1} ^ {1} {9x ^ {4} -6x ^ {2} +1 over 4} , dx} = {6 cos {1} -4 sin {1} over 2/5} end {align}}}

и серию, включающую эти термины

{ displaystyle c_ {2} P_ {2} (x) + c_ {1} P_ {1} (x) + c_ {0} P_ {0} (x) = {5 over 2} (6 cos { 1} -4 sin {1}) left ({3x ^ {2} -1 over 2} right) + sin 1}

{ displaystyle = left ({45 over 2} cos {1} -15 sin {1} right) x ^ {2} +6 sin {1} - {15 over 2} cos { 1}}

который отличается от cos Икс примерно на 0,003, примерно на 0. Использование таких рядов Фурье – Лежандра может быть выгодным, поскольку все собственные функции являются полиномами и, следовательно, интегралы и, следовательно, коэффициенты легче вычислить.

Коэффициентные теоремы

Некоторые теоремы о коэффициентах c_п включают:

Неравенство Бесселя

{ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} | c_ {n} | ^ {2} leq int _ {a} ^ {b} | f (x) | ^ {2} w ( x) , dx.}

Теорема Парсеваля

Если Φ - полный набор,

{ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} | c_ {n} | ^ {2} = int _ {a} ^ {b} | f (x) | ^ {2} w (x ) , dx.}