Многочлен Неймана - Neumann polynomial

В математике Полиномы Неймана, представлен Карл Нойманн для особого случая ${ Displaystyle альфа = 0}$ , представляют собой последовательность многочленов от ${ displaystyle 1 / t}$ используется для расширения функций с точки зрения Функции Бесселя.^[1]

Первые несколько полиномов

{ displaystyle O_ {0} ^ {( alpha)} (t) = { frac {1} {t}},}

{ displaystyle O_ {1} ^ {( alpha)} (t) = 2 { frac { alpha +1} {t ^ {2}}},}

{ displaystyle O_ {2} ^ {( alpha)} (t) = { frac {2+ alpha} {t}} + 4 { frac {(2+ alpha) (1+ alpha)} {t ^ {3}}},}

{ displaystyle O_ {3} ^ {( alpha)} (t) = 2 { frac {(1+ alpha) (3+ alpha)} {t ^ {2}}} + 8 { frac { (1+ alpha) (2+ alpha) (3+ alpha)} {t ^ {4}}},}

{ displaystyle O_ {4} ^ {( alpha)} (t) = { frac {(1+ alpha) (4+ alpha)} {2t}} + 4 { frac {(1+ alpha) ) (2+ alpha) (4+ alpha)} {t ^ {3}}} + 16 { frac {(1+ alpha) (2+ alpha) (3+ alpha) (4+ альфа)} {t ^ {5}}}.}

Общий вид многочлена:

{ Displaystyle O_ {N} ^ {( alpha)} (t) = { frac { alpha + n} {2 alpha}} sum _ {k = 0} ^ { lfloor n / 2 rfloor } (- 1) ^ {nk} { frac {(nk)!} {K!}} {- alpha choose nk} left ({ frac {2} {t}} right) ^ {n + 1-2k},}

и у них есть "производящая функция"

{ displaystyle { frac { left ({ frac {z} {2}} right) ^ { alpha}} { Gamma ( alpha +1)}} { frac {1} {tz}} = sum _ {n = 0} O_ {n} ^ {( alpha)} (t) J _ { alpha + n} (z),}

куда J находятся Функции Бесселя.

Чтобы расширить функцию ж в виде

{ Displaystyle е (г) = сумма _ {п = 0} а_ {п} J _ { альфа + п} (г) ,}

за ${ Displaystyle | г | <с}$ , вычислить

{ displaystyle a_ {n} = { frac {1} {2 pi i}} oint _ {| z | = c '} { frac { Gamma ( alpha +1)} { left ({ frac {z} {2}} right) ^ { alpha}}} f (z) O_ {n} ^ {( alpha)} (z) , dz,}

куда ${ displaystyle c '$ и c расстояние до ближайшей особенности ${ Displaystyle г ^ {- альфа} е (г)}$ из ${ displaystyle z = 0}$ .

Примеры

Примером является расширение

{ displaystyle left ({ tfrac {1} {2}} z right) ^ {s} = Gamma (s) cdot sum _ {k = 0} (- 1) ^ {k} J_ { s + 2k} (z) (s + 2k) {- s choose k},}

или более общая формула Сонина^[2]

{ Displaystyle е ^ {я гамма z} = гамма (s) cdot sum _ {k = 0} я ^ {k} C_ {k} ^ {(s)} ( gamma) (s + k ) { frac {J_ {s + k} (z)} { left ({ frac {z} {2}} right) ^ {s}}}.}.

куда ${ Displaystyle C_ {k} ^ {(s)}}$ является Полином Гегенбауэра. Потом,^{[нужна цитата ]}^{[оригинальное исследование? ]}

{ displaystyle { frac { left ({ frac {z} {2}} right) ^ {2k}} {(2k-1)!}} J_ {s} (z) = sum _ {i = k} (- 1) ^ {ik} {i + k-1 choose 2k-1} {i + k + s-1 choose 2k-1} (s + 2i) J_ {s + 2i} (z ),}

{ displaystyle sum _ {n = 0} t ^ {n} J_ {s + n} (z) = { frac {e ^ { frac {tz} {2}}} {t ^ {s}} } sum _ {j = 0} { frac { left (- { frac {z} {2t}} right) ^ {j}} {j!}} { frac { gamma left (j + s, { frac {tz} {2}} right)} {, Gamma (j + s)}} = int _ {0} ^ { infty} e ^ {- { frac {zx ^ {2}} {2t}}} { frac {zx} {t}} { frac {J_ {s} (z { sqrt {1-x ^ {2}}})} {{ sqrt { 1-x ^ {2}}} ^ {s}}} , dx,}

то конфлюэнтная гипергеометрическая функция

{ Displaystyle M (a, s, z) = Gamma (s) sum _ {k = 0} ^ { infty} left (- { frac {1} {t}} right) ^ {k } L_ {k} ^ {(- ak)} (t) { frac {J_ {s + k-1} left (2 { sqrt {tz}} right)} {({ sqrt {tz} }) ^ {sk-1}}},}

и в частности

{ displaystyle { frac {J_ {s} (2z)} {z ^ {s}}} = { frac {4 ^ {s} Gamma left (s + { frac {1} {2}} right)} { sqrt { pi}}} e ^ {2iz} sum _ {k = 0} L_ {k} ^ {(- s-1/2-k)} left ({ frac {it } {4}} right) (4iz) ^ {k} { frac {J_ {2s + k} left (2 { sqrt {tz}} right)} {{ sqrt {tz}} ^ { 2s + k}}},}

формула сдвига индекса

{ Displaystyle Gamma ( nu - mu) J _ { nu} (z) = Gamma ( mu +1) sum _ {n = 0} { frac { Gamma ( nu - mu + n)} {n! Gamma ( nu + n + 1)}} left ({ frac {z} {2}} right) ^ { nu - mu + n} J _ { mu + n } (z),}

разложение Тейлора (формула сложения)

{ displaystyle { frac {J_ {s} left ({ sqrt {z ^ {2} -2uz}} right)} { left ({ sqrt {z ^ {2} -2uz}} right ) ^ { pm s}}} = sum _ {k = 0} { frac {( pm u) ^ {k}} {k!}} { frac {J_ {s pm k} (z )} {z ^ { pm s}}},}

(ср.^[3]^{[неудачная проверка ]}) и разложения интеграла от функции Бесселя:

{ Displaystyle int J_ {s} (z) dz = 2 sum _ {k = 0} J_ {s + 2k + 1} (z),}

однотипны.

Смотрите также

Примечания

^ Абрамовиц и Стегун, п. 363, 9.1.82 ff.
^ Erdélyi et al. 1955 г. II.7.10.1, стр.64
^ Градштейн Израиль Соломонович; Рыжик Иосиф Моисеевич; Геронимус Юрий Вениаминович; Цейтлин Михаил Юльевич; Джеффри, Алан (2015) [октябрь 2014]. «8.515.1.». В Цвиллингере, Даниэль; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, серий и продуктов. Перевод Scripta Technica, Inc. (8-е изд.). Academic Press, Inc. п. 944. ISBN 0-12-384933-0. LCCN 2014010276.