Полусовершенное число - Semiperfect number

Демонстрация с Удилища Cuisenaire, о совершенстве числа 6

В теория чисел, а полусовершенное число или же псевдосовершенное число это натуральное число п который равен сумме всех или некоторых из собственные делители. Полусовершенное число, равное сумме всех своих собственных делителей, называется идеальное число.

Первые несколько полусовершенных чисел:

6, 12, 18, 20, 24, 28, 30, 36, 40, ... (последовательность A005835 в OEIS )

Характеристики

  • Каждое кратное полусовершенного числа является полусовершенным.[1] Полусовершенное число, которое не делится на меньшее полусовершенное число, называется примитивный.
  • Каждое число формы 2мп для натурального числа м и странный простое число п такой, что п < 2м + 1 тоже полусовершенно.
    • В частности, каждое число вида 2м(2м + 1 - 1) является полусовершенным и действительно совершенным, если 2м + 1 - 1 - это Мерсенн прайм.
  • Наименьшее нечетное полусовершенное число равно 945 (см., например, Friedman 1993).
  • Полусовершенное число обязательно либо идеально, либо обильный. Обильное число, не являющееся полусовершенным, называется странное число.
  • За исключением 2, все первичные псевдосовершенные числа полусовершенные.
  • Каждый практический номер это не степень двойки, это полусовершенно.
  • В естественная плотность множества полусовершенных чисел существует.[2]

Примитивные полусовершенные числа

А примитивное полусовершенное число (также называемый примитивное псевдосовершенное число, неприводимое полусовершенное число или же неприводимое псевдосовершенное число) - полусовершенное число, не имеющее полусовершенного собственного делителя.[2]

Первые несколько примитивных полусовершенных чисел: 6, 20, 28, 88, 104, 272, 304, 350, ... (последовательность A006036 в OEIS )

Таких чисел бесконечно много. Все числа формы 2мп, с п простое число между 2м и 2м+1, примитивно полусовершенно, но это не единственная форма: например, 770.[1][2] Существует бесконечно много нечетных примитивных полусовершенных чисел, наименьшее из которых - 945, результат Пола Эрдеша:[2] существует также бесконечно много примитивных полусовершенных чисел, не являющихся числа гармонического делителя.[1]

Каждое полусовершенное число кратно примитивному полусовершенному числу.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ а б c Захариу + Захариу (1972)
  2. ^ а б c d Гай (2004) стр. 75

Рекомендации

  • Фридман, Чарльз Н. (1993). «Суммы делителей и египетские дроби». Журнал теории чисел. 44 (3): 328–339. Дои:10.1006 / jnth.1993.1057. МИСТЕР  1233293. Zbl  0781.11015. Архивировано из оригинал 10 февраля 2012 г.
  • Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел. Springer-Verlag. ISBN  0-387-20860-7. OCLC  54611248. Zbl  1058.11001. Раздел B2.
  • Серпинский, Вацлав (1965). "Sur les nombres pseudoparfaits". Мат. Весн., Н. Сер. 2 (На французском). 17: 212–213. МИСТЕР  0199147. Zbl  0161.04402.
  • Захариу, Андреас; Захариу, Элени (1972). «Идеальные, полусовершенные и рудные числа». Бык. Soc. Математика. Grèce, n. Сер. 13: 12–22. МИСТЕР  0360455. Zbl  0266.10012.

внешняя ссылка