Проективная унитарная группа - Projective unitary group

В математика, то проективная унитарная группа $ПУ (п)$ это частное из унитарная группа $U (п)$ правильным умножением его центр, $U (1)$ в виде скаляров. голоморфный группа изометрии из сложное проективное пространство, так же как проективная ортогональная группа группа изометрий реальное проективное пространство.

С точки зрения матрицы, элементы $U (п)$ сложные $п \times п$ унитарные матрицы, а элементы центра - диагональные матрицы, равные $е iθ$ умножается на единичную матрицу. Таким образом, элементы $ПУ (п)$ соответствуют классам эквивалентности унитарных матриц при умножении на постоянную фазу $θ$ .

Абстрактно, учитывая Эрмитское пространство $V$ , группа $ПУ (V)$ образ унитарной группы $U (V)$ в группе автоморфизмов проективного пространства $п (V)$ .

Проективная специальная унитарная группа

Проективный особая унитарная группа БП ( $п$ ) совпадает с проективной унитарной группой, в отличие от ортогонального случая.

Связи между U ( $п$ ), SU ( $п$ ), их центры и проективные унитарные группы показаны справа.

В центр из особая унитарная группа - скалярные матрицы $п$ корни единства:

{ Displaystyle Z ( mathrm {SU} (n)) = mathrm {SU} (n) cap Z ( mathrm {U} (n)) cong mathbf {Z} / n}

Естественная карта

{ displaystyle mathrm {PSU} (n) = mathrm {SU} (n) / Z ( mathrm {SU} (n)) to mathrm {PU} (n) = mathrm {U} (n ) / Z ( mathrm {U} (n))}

является изоморфизмом, согласно вторая теорема об изоморфизме, таким образом

{ Displaystyle mathrm {PU} (n) = mathrm {PSU} (n) = mathrm {SU} (n) / ( mathbf {Z} / n).}

и специальная унитарная группа SU ( $п$ ) является $п$ -кратное покрытие проективной унитарной группы.

Примеры

В п = 1, U (1) абелева и, следовательно, равна своему центру. Следовательно, PU (1) = U (1) / U (1) является тривиальная группа.

В п = 2, ${ Displaystyle mathrm {SU} (2) cong mathrm {Spin} (3) cong mathrm {Sp} (1)}$ , все представляемые кватернионами единичной нормы, и ${ Displaystyle mathrm {PU} (2) cong mathrm {SO} (3)}$ через:

{ Displaystyle mathrm {PU} (2) = mathrm {PSU} (2) = mathrm {SU} (2) / ( mathbf {Z} / 2) cong mathrm {Spin} (3) / ( mathbf {Z} / 2) = mathrm {SO} (3)}

Конечные поля

Можно также определить унитарные группы над конечными полями: с учетом поля порядка q, существует невырожденная эрмитова структура на векторных пространствах над ${ displaystyle mathbf {F} _ {q ^ {2}},}$ единственная с точностью до унитарной конгруэнции, и, соответственно, матричная группа, обозначаемая ${ Displaystyle mathrm {U} (п, д)}$ или же ${ Displaystyle mathrm {U} (п, д ^ {2})}$ а также специальные и проективные унитарные группы. Для удобства в этой статье используется ${ Displaystyle mathrm {U} (п, д ^ {2})}$ соглашение.

Напомним, что группа единиц конечного поля циклическая, поэтому группа единиц ${ displaystyle mathbf {F} _ {q ^ {2}},}$ и, таким образом, группа обратимых скалярных матриц в ${ Displaystyle mathrm {GL} (п, д ^ {2})}$ циклическая группа порядка ${ displaystyle q ^ {2} -1.}$ Центр ${ Displaystyle mathrm {U} (п, д ^ {2})}$ есть заказ q + 1 и состоит из унитарных скалярных матриц, то есть тех матриц ${ displaystyle cI_ {V}}$ с ${ displaystyle c ^ {q + 1} = 1.}$ Центр особой унитарной группы имеет порядок gcd (п, q + 1) и состоит из тех унитарных скаляров, которые также имеют порядок деления п.

Фактор унитарной группы по ее центру равен проективная унитарная группа, ${ displaystyle mathrm {PU} (n, q ^ {2}),}$ а фактор специальной унитарной группы по ее центру равен проективная специальная унитарная группа ${ displaystyle mathrm {PSU} (n, q ^ {2}).}$ В большинстве случаев (п ≥ 2 и ${ Displaystyle (п, д ^ {2}) notin {(2,2 ^ {2}), (2,3 ^ {2}), (3,2 ^ {2}) }}$ ), ${ Displaystyle mathrm {SU} (п, д ^ {2})}$ это идеальная группа и ${ Displaystyle mathrm {PU} (п, д ^ {2})}$ конечный простая группа, (Роща 2002, Thm. 11.22 и 11.26).

Топология ПУ (ЧАС)

ПУ (ЧАС) - классифицирующее пространство для круговых расслоений

Та же конструкция может быть применена к матрицам, действующим на бесконечномерном Гильбертово пространство ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ .

Пусть U (ЧАС) обозначают пространство унитарных операторов в бесконечномерном гильбертовом пространстве. Когда ж: Икс → U (ЧАС) - непрерывное отображение компактного пространства Икс в унитарную группу, можно использовать конечномерную аппроксимацию ее образа и простой K-теоретический прием

{ displaystyle u oplus 1 _ { ell ^ {2}} sim u oplus 1 _ { ell ^ {2}} oplus 1 _ { ell ^ {2}} oplus cdots sim u oplus u ^ {- 1} oplus u oplus u ^ {- 1} oplus cdots sim 1 _ { ell ^ {2}} oplus 1 _ { ell ^ {2}} oplus cdots, qquad u in { rm {U}} (H),}

чтобы показать, что оно на самом деле гомотопно тривиальному отображению в единственную точку. Это означает, что U (ЧАС) слабо стягиваемо, и дополнительный аргумент показывает, что он действительно стягиваем. Обратите внимание, что это чисто бесконечномерное явление, в отличие от конечномерных кузенов U (п) и их предел U (∞) при отображениях включения, которые не стягиваются, допускающие гомотопически нетривиальные непрерывные отображения на U (1), заданные определителем матриц.

Центр бесконечномерной унитарной группы ${ Displaystyle mathrm {U} ({ mathcal {H}})}$ есть, как и в конечномерном случае, U (1), который снова действует на унитарную группу посредством умножения на фазу. Поскольку унитарная группа не содержит нулевой матрицы, это действие является бесплатным. Таким образом ${ Displaystyle mathrm {U} ({ mathcal {H}})}$ стягиваемое пространство с действием U (1), которое идентифицирует его как ЕС (1) а пространство U (1) орбит как BU (1), то классификация пространства для U (1).

Гомотопия и (ко) гомологии PU (ЧАС)

${ displaystyle mathrm {PU} ({ mathcal {H}})}$ определяется в точности как пространство орбит действия U (1) на ${ Displaystyle mathrm {U} ({ mathcal {H}})}$ , таким образом ${ displaystyle mathrm {PU} ({ mathcal {H}})}$ является реализацией классифицирующего пространства BU (1). В частности, используя изоморфизм

{ displaystyle pi _ {n} (X) = pi _ {n + 1} (BX)}

между гомотопические группы пространства X и гомотопических групп его классифицирующего пространства BX в сочетании с гомотопическим типом окружности U (1)

{ displaystyle pi _ {k} ( mathrm {U} (1)) = { begin {cases} mathbf {Z} & k = 1 0 & k neq 1 end {cases}}}

мы находим гомотопические группы ${ displaystyle mathrm {PU} ({ mathcal {H}})}$

{ displaystyle pi _ {k} ( mathrm {PU} ({ mathcal {H}})) = { begin {cases} mathbf {Z} & k = 2 0 & k neq 2 end {cases }}}

таким образом определяя ${ displaystyle mathrm {PU} ({ mathcal {H}})}$ как представитель Пространство Эйленберга – Маклейна K (Z, 2).

Как следствие, ${ displaystyle mathrm {PU} ({ mathcal {H}})}$ должен быть того же гомотопического типа, что и бесконечномерный сложное проективное пространство, который также представляет собой K (Z, 2). Это, в частности, означает, что они имеют изоморфные гомология и когомология группы:

{ displaystyle { begin {align} mathrm {H} ^ {2n} ( mathrm {PU} ({ mathcal {H}})) & = mathrm {H} _ {2n} ( mathrm {PU } ({ mathcal {H}})) = mathbf {Z} mathrm {H} ^ {2n + 1} ( mathrm {PU} ({ mathcal {H}})) & = mathrm {H} _ {2n + 1} ( mathrm {PU} ({ mathcal {H}})) = 0 end {выровнено}}}

Представления

Присоединенное представление

ПУ (п) вообще не имеет п-мерные представления, так же как SO (3) не имеет двумерных представлений.

ПУ (п) имеет присоединенное действие на SU (п), поэтому ${ Displaystyle (п ^ {2} -1)}$ -мерное изображение. Когда п = 2 это соответствует трехмерному представлению SO (3). Сопряженное действие определяется размышлением об элементе PU (п) как класс эквивалентности элементов U (п), различающиеся по фазам. Затем можно предпринять присоединенное действие по отношению к любому из этих U (п) представители, и фазы коммутируют со всем и так отменяют. Таким образом, действие не зависит от выбора представителя и поэтому четко определено.

Проективные представления

Во многих приложениях ПУ (п) действует не в линейном представлении, а в проективное представление, которое является представлением с точностью до фазы, не зависящей от вектора, на который действует. Они полезны в квантовой механике, поскольку физические состояния определены только с точностью до фазы. Например, массивные фермионные состояния трансформируются при проективном представлении, но не при представлении малой группы PU (2) = SO (3).

Проективные представления группы классифицируются ее вторым интегралом когомология, который в данном случае

{ Displaystyle mathrm {H} ^ {2} ( mathrm {PU} (n)) = mathbf {Z} / n}

или же

{ displaystyle mathrm {H} ^ {2} ( mathrm {PU} ({ mathcal {H}})) = mathbf {Z}.}

Группы когомологий в конечном случае могут быть получены из длинная точная последовательность для расслоений и тот факт, что SU (п) это Z/п связка поверх ПУ (п). Когомологии в бесконечном случае доказывались выше из изоморфизма с когомологиями бесконечного комплексного проективного пространства.

Таким образом, PU (п) наслаждается п проективные представления, первое из которых является фундаментальным представлением своего SU (п) крышка, а ${ displaystyle mathrm {PU} ({ mathcal {H}})}$ имеет счетно бесконечное число. Как обычно, проективные представления группы являются обычными представлениями группы. центральное расширение группы. В этом случае центральная расширенная группа, соответствующая первому проективному представлению каждой проективной унитарной группы, является просто исходной унитарная группа из которых мы взяли фактор по U (1) в определении PU.

Приложения

Витая K-теория

Присоединенное действие бесконечной проективной унитарной группы полезно в геометрических определениях скрученная K-теория. Здесь сопряженное действие бесконечномерного ${ displaystyle mathrm {PU} ({ mathcal {H}})}$ на любом Фредгольмовы операторы или бесконечное унитарная группа используется.

В геометрических конструкциях скрученной K-теории с твистом ЧАС, то ${ displaystyle mathrm {PU} ({ mathcal {H}})}$ - слой жгута, а разные скрутки ЧАС соответствуют разным расслоениям. Как показано ниже, топологически ${ displaystyle mathrm {PU} ({ mathcal {H}})}$ представляет Пространство Эйленберга – Маклейна K (Z, 2), поэтому классифицирующее пространство ${ displaystyle mathrm {PU} ({ mathcal {H}})}$ расслоения - это пространство Эйленберга – Маклейна K (Z, 3). K (Z, 3) также является классифицирующим пространством для третьего интеграла когомология группа, поэтому ${ displaystyle mathrm {PU} ({ mathcal {H}})}$ расслоения классифицируются по третьим интегральным когомологиям. В итоге возможные повороты ЧАС скрученной K-теории - это в точности элементы третьих целочисленных когомологий.

Чистая калибровочная теория Янга – Миллса

В чистом SU Янга – Миллса (п) калибровочная теория, которая является калибровочной теорией с глюоны и вне зависимости от фундаментальности все поля преобразуются в присоединенную к калибровочной группе SU (п). В Z/п центр СУ (п) коммутирует, находясь в центре, с SU (п) -значные поля, поэтому присоединенное действие центра тривиально. Следовательно, калибровочная симметрия - это фактор SU (п) к Z/п, то есть PU (п) и действует на поля, используя сопряженное действие, описанное выше.

В этом контексте различие между SU (п) и ПУ (п) имеет важное физическое последствие. SU (п) односвязна, но фундаментальная группа PU (п) является Z/п, циклическая группа порядка п. Следовательно, ПУ (п) калибровочная теория с присоединенными скалярами будет иметь нетривиальную коразмерность 2 вихри в котором математические ожидания скаляров наматываются вокруг PU (п) нетривиальный цикл, когда каждый окружает вихрь. Следовательно, эти вихри также имеют заряды в Z/п, что означает, что они притягиваются друг к другу и когда п вступая в контакт, они аннигилируют. Примером такого вихря является струна Дугласа – Шенкера в SU (п) Калибровочные теории Зайберга – Виттена.