Группа Матье - Mathieu group

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу-)прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро образ прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа Sп Кляйн четыре группы V Группа диэдра Dп Группа Quaternion Q Дициклическая группа Dicп
Дискретные группы Решетки Целые числа (Z) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2,Z) SL (2,Z) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологический и Группы Ли Соленоид Круг Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Евклидово E (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п) г2 F4 E6 E7 E8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая

В теория групп, тема в абстрактная алгебра, то Матье группы пять спорадические простые группы M₁₁, M₁₂, M₂₂, M₂₃ и M₂₄ представлен Матье  (1861, 1873 ). Они кратно переходные группы перестановок на 11, 12, 22, 23 или 24 объекта. Они были первыми обнаруженными спорадическими группами.

Иногда обозначения M₉, M₁₀, M₂₀ и M₂₁ используется для связанных групп (которые действуют на наборы из 9, 10, 20 и 21 точки соответственно), а именно для стабилизаторов точек в более крупных группах. Хотя это не спорадические простые группы, они являются подгруппами более крупных групп и могут использоваться для создания более крупных. Джон Конвей показал, что эту последовательность можно продолжить и вверх, получив Матьё группоид M₁₃ действует по 13 очкам. M₂₁ проста, но не является спорадической группой, будучи изоморфной PSL (3,4).

История

Матье (1861 г., с.271) представил группу M₁₂ как часть исследования кратно транзитивных групп перестановок и кратко упомянул (на стр. 274) группу M₂₄, отдавая приказ. В Матье (1873) он дал дополнительные подробности, в том числе явные генераторные установки для его групп, но из его аргументов было нелегко увидеть, что генерируемые группы не просто чередующиеся группы, и в течение нескольких лет существование его групп было спорным. Миллер (1898) даже опубликовал статью, ошибочно утверждая, что доказывает, что M₂₄ не существует, хотя вскоре после этого в (Миллер 1900 ) он указал, что его доказательство было неправильным, и дал доказательство того, что группы Матье просты. Витт (1938a, 1938b ) окончательно сняли сомнения в существовании этих групп, построив их как последовательные транзитивные расширения групп перестановок, а также групп автоморфизмов Системы Штайнера.

После групп Матье не было никаких новых спорадических групп до 1965 г., когда группа J₁ был открыт.

Кратно транзитивные группы

Матье было интересно найти кратно переходный группы перестановок, которые теперь будут определены. Для натурального числа k, группа перестановок г действующий на п очков k-переходный если, учитывая два набора точек а₁, ... а_k и б₁, ... б_k с тем свойством, что все а_я отличны, и все б_я различны, есть групповой элемент г в г который отображает а_я к б_я для каждого я от 1 до k. Такая группа называется резко k-переходный если элемент г уникально (т.е. действие на k-tuples есть регулярный, а не просто переходный).

M₂₄ 5-транзитивен, и M₁₂ строго 5-транзитивна, а другие группы Матье (простые или нет) являются подгруппами, соответствующими стабилизаторам группы м точек и соответственно нижней транзитивности (M₂₃ 4-транзитивно и т. д.).

Единственными 4-транзитивными группами являются симметричные группы S_k для k не менее 4, чередующиеся группы А_k для k не менее 6, а группы Матье M₂₄, M₂₃, M₁₂ и M₁₁. (Кэмерон 1999, п. 110) Для полного доказательства требуется классификация конечных простых групп, но некоторые частные случаи известны гораздо дольше.

это классический результат Иордании что симметричный и чередующиеся группы (степени k и k + 2 соответственно), и M₁₂ и M₁₁ единственные резко k-транзитивные группы подстановок для k не менее 4.

Важными примерами кратно транзитивных групп являются 2-транзитивные группы и Группы Цассенхауза. Группы Цассенхауза, в частности, включают проективная общая линейная группа проективной прямой над конечным полем PGL (2,F_q), которая является точно 3-транзитивной (см. перекрестное соотношение ) на ${ displaystyle q + 1}$ элементы.

Таблица порядка и транзитивности

Конструкции групп Матье

Группы Матье можно строить по-разному.

Группы перестановок

M₁₂ имеет простую подгруппу порядка 660, максимальную подгруппу. Эта подгруппа изоморфна группе проективная специальная линейная группа PSL₂(F₁₁) над поле из 11 элементов. С −1 записывается как а и бесконечность как б, два стандартных генератора: (0123456789a) и (0b) (1a) (25) (37) (48) (69). Третий генератор, дающий M₁₂ отправляет элемент Икс из F₁₁ до 4Икс² − 3Икс⁷; как перестановка (26a7) (3945).

Эта группа оказывается не изоморфной ни одному члену бесконечных семейств конечных простых групп и называется спорадической. M₁₁ является стабилизатором точки в M₁₂, и оказывается также спорадической простой группой. M₁₀, стабилизатор двух точек, не спорадический, а почти простая группа чья коммутаторная подгруппа это переменная группа А₆. Таким образом, это связано с исключительный внешний автоморфизм из А₆. Стабилизатор 3 балла - это проективная специальная унитарная группа БП (3,2²), которая разрешима. Стабилизатор 4 балла - это группа кватернионов.

Точно так же M₂₄ имеет максимальную простую подгруппу порядка 6072, изоморфную PSL₂(F₂₃). Один генератор добавляет 1 к каждому элементу поля (оставляя точку N на бесконечности фиксированной), т. е. (0123456789ABCDEFGHIJKLM) (N), а другой - перестановка с изменением порядка, (0N) (1M) (2B) (3F) (4H) (59) (6J) (7D) (8K) (AG) (CL) (EI). Третий генератор, дающий M₂₄ отправляет элемент Икс из F₂₃ до 4Икс⁴ − 3Икс¹⁵ (который отправляет идеальные квадраты через ${ displaystyle x ^ {4}}$ и несовершенные квадраты через ${ displaystyle 7x ^ {4}}$); вычисления показывают, что в качестве перестановки это (2G968) (3CDI4) (7HABM) (EJLKF).

Стабилизаторы 1 и 2 балла, M₂₃ и M₂₂ также оказываются спорадическими простыми группами. Стабилизатор из 3-х точек прост и изоморфен проективная специальная линейная группа PSL₃(4).

Эти конструкции цитировались Кармайкл (1956 С. 151, 164, 263). Диксон и Мортимер (1996), с.209) приписывают перестановки Матье.

Группы автоморфизмов систем Штейнера

Существует вплоть до эквивалентность уникальный S(5,8,24) Система Штейнера W₂₄ (в Дизайн Витта ). Группа M₂₄ - группа автоморфизмов этой системы Штейнера; то есть набор перестановок, которые отображают каждый блок в какой-то другой блок. Подгруппы M₂₃ и M₂₂ определяются как стабилизаторы одной и двух точек соответственно.

Аналогично, с точностью до эквивалентности существует единственная S (5,6,12) система Штейнера W₁₂, а группа M₁₂ - его группа автоморфизмов. Подгруппа M₁₁ является стабилизатором точки.

W₁₂ можно построить из аффинная геометрия на векторное пространство F₃×F₃, S(2,3,9) система.

Альтернативная конструкция W₁₂ котенок Кертис (1984).

Введение в конструкцию W₂₄ через Чудо-октадный генератор аналога Р. Т. Кертиса и Конвея для W₁₂, miniMOG, можно найти в книге Конвея и Sloane.

Группы автоморфизмов на коде Голея

Группа M₂₄ это группа перестановочных автоморфизмов из расширенный двоичный код Голея W, т.е. группа перестановок на 24 координатах, отображающих W себе. Все группы Матье могут быть построены как группы перестановок двоичного кода Голея.

M₁₂ имеет индекс 2 в своей группе автоморфизмов, и M₁₂: 2 оказывается изоморфной подгруппе M₂₄. M₁₂ стабилизатор додекада, кодовое слово из 12 единиц; M₁₂: 2 стабилизирует разбиение на 2 дополнительных додекада.

Между группами Матье и более крупными Конвей группы, поскольку Решетка пиявки был построен на двоичном коде Голея, и на самом деле оба лежат в пространствах размерности 24. Группы Конвея, в свою очередь, находятся в Группа монстров. Роберт Грисс относится к 20 спорадическим группам, обнаруженным в Монстре, как Счастливая семья, а группам Матье как первое поколение.

Детские аксессуары

Группы Матье могут быть построены с помощью детские рисунки, с рисунком, связанным с M₁₂ предположительно названный "Месье Матье" Ле Брюйн (2007).

использованная литература

• Кэмерон, Питер Дж. (1999), Группы перестановок, Студенческие тексты Лондонского математического общества, 45, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-65378-7
• Кармайкл, Роберт Д. (1956) [1937], Введение в теорию групп конечного порядка, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN  978-0-486-60300-1, Г-Н  0075938
• Чой, К. (май 1972a), "О подгруппах в M₂₄. I: Стабилизаторы подмножеств », Труды Американского математического общества, 167: 1–27, Дои:10.2307/1996123, JSTOR  1996123
• Чой, К. (май 1972b). "О подгруппах в M₂₄. II: максимальные подгруппы в M₂₄". Труды Американского математического общества. 167: 29–47. Дои:10.2307/1996124. JSTOR  1996124.
• Конвей, Джон Хортон (1971), «Три лекции об исключительных группах» в Powell, M. B .; Хигман, Грэм (ред.), Конечные простые группы, Материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институтом перспективных исследований НАТО), Оксфорд, сентябрь 1969 г., Бостон, Массачусетс: Академическая пресса, стр. 215–247, ISBN  978-0-12-563850-0, Г-Н  0338152 Перепечатано в Конвей и Слоан (1999), 267–298)
• Конвей, Джон Хортон; Паркер, Ричард А.; Нортон, Саймон П.; Curtis, R.T .; Уилсон, Роберт А. (1985), Атлас конечных групп, Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853199-9, Г-Н  0827219
• Конвей, Джон Хортон; Слоан, Нил Дж. А. (1999), Сферические упаковки, решетки и группы, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 290 (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4757-2016-7, ISBN  978-0-387-98585-5, Г-Н  0920369
• Кертис, Р. Т. (1976), "Новый комбинаторный подход к M₂₄", Математические труды Кембриджского философского общества, 79 (1): 25–42, Дои:10.1017 / S0305004100052075, ISSN  0305-0041, Г-Н  0399247
• Кертис, Р. Т. (1977), "Максимальные подгруппы в M₂₄", Математические труды Кембриджского философского общества, 81 (2): 185–192, Дои:10.1017 / S0305004100053251, ISSN  0305-0041, Г-Н  0439926
• Кертис, Р. Т. (1984), «Система Штейнера S (5, 6, 12), группа Матье M₁₂ и« котенок »"", в Аткинсоне, Майкл Д. (ред.), Вычислительная теория групп. Труды симпозиума Лондонского математического общества, проходившего в Дареме 30 июля - 9 августа 1982 г., Бостон, Массачусетс: Академическая пресса, стр. 353–358, ISBN  978-0-12-066270-8, Г-Н  0760669
• Кайперс, Ганс, Группы Матье и их геометрии (PDF)
• Диксон, Джон Д .; Мортимер, Брайан (1996), Группы перестановок, Тексты для выпускников по математике, 163, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4612-0731-3, ISBN  978-0-387-94599-6, Г-Н  1409812
• Фробениус, Фердинанд Георг (1904), Über die Charaktere der mehrfach transitiven Gruppen, Берлин Берихте, Мутон Де Грюйтер, стр. 558–571, ISBN  978-3-11-109790-9
• Джилл, Ник; Хьюз, Сэм (2019), "Таблица характеров строго 5-транзитивной подгруппы знакопеременной группы степени 12", Международный журнал теории групп, Дои:10.22108 / IJGT.2019.115366.1531
• Грисс, Роберт Л. мл. (1998), Двенадцать спорадических групп, Springer Monographs in Mathematics, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-3-662-03516-0, ISBN  978-3-540-62778-4, Г-Н  1707296
• Хьюз, Сэм (2018), Теория представлений и характеров малых групп Матье (PDF)
• Матье, Эмиль (1861), "Mémoire sur l'étude des fonctions de plusieurs Quantités, sur la manière de les previous et sur les замен, qui les laissent неизменные", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 6: 241–323
• Матье, Эмиль (1873), "Sur la fonction cinq fois transitive de 24 Quantités", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (На французском), 18: 25–46, JFM  05.0088.01
• Миллер, Г.А. (1898), «О предполагаемой пятикратной переходной функции 24 элементов и 19! / 48 значений»., Посланник математики, 27: 187–190
• Миллер, Г.А. (1900), "Sur plusieurs groupes simples", Bulletin de la Société Mathématique de France, 28: 266–267, Дои:10.24033 / bsmf.635
• Ронан, Марк (2006), Симметрия и чудовище, Оксфорд, ISBN  978-0-19-280722-9 (введение для непрофессионального читателя, описывающее группы Матьё в историческом контексте)
• Томпсон, Томас М. (1983), От кодов с исправлением ошибок до сферических упаковок и простых групп, Математические монографии Каруса, 21, Математическая ассоциация Америки, ISBN  978-0-88385-023-7, Г-Н  0749038
• Витт, Эрнст (1938a), "über Steinersche Systeme", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 12: 265–275, Дои:10.1007 / BF02948948, ISSN  0025-5858
• Витт, Эрнст (1938b), "Die 5-fach transitiven Gruppen von Mathieu", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, 12: 256–264, Дои:10.1007 / BF02948947

внешние ссылки

• АТЛАС: группа Матье M₁₀
• АТЛАС: группа Матье M₁₁
• АТЛАС: группа Матье M₁₂
• АТЛАС: группа Матье M₂₀
• АТЛАС: группа Матье M₂₁
• АТЛАС: группа Матье M₂₂
• АТЛАС: группа Матье M₂₃
• АТЛАС: группа Матье M₂₄
• ле Брюн, Ливен (2007), Месье Матье, в архиве из оригинала от 01.05.2010
• Рихтер, Дэвид А., Как сделать группу Матье M₂₄, получено 2010-04-15
• Группа Матье M₉ на GroupNames
• Scientific American Набор головоломок на основе математики групп Матье
• Спорадический M12 Приложение для iPhone, которое решает головоломки на основе M₁₂, представленный как одна перестановка "вращения" и выбираемая перестановка "перестановки"