Теорема Коши (теория групп) - Википедия - Cauchys theorem (group theory)

В математика, конкретно теория групп, Теорема Коши заявляет, что если $грамм$ это конечная группа и $п$ это простое число разделение порядок из $грамм$ (количество элементов в $грамм$ ), тогда $грамм$ содержит элемент порядка $п$ . То есть есть $Икс$ в $грамм$ такой, что $п$ самый маленький положительный целое число с $Икс$ ^$п$ = $е$ , куда $е$ это элемент идентичности из $грамм$ . Он назван в честь Огюстен-Луи Коши, который открыл его в 1845 году.^[1]^[2]

Теорема связана с Теорема Лагранжа, в котором говорится, что порядок любого подгруппа конечной группы $грамм$ делит порядок $грамм$ . Из теоремы Коши следует, что для любого простого делителя $п$ порядка $грамм$ , существует подгруппа $грамм$ чей заказ $п$ - циклическая группа порожденная элементом теоремы Коши.

Теорема Коши обобщается Первая теорема Силова, откуда следует, что если $п$ ^$п$ это максимальная мощность $п$ разделение порядка $грамм$ , тогда $грамм$ имеет подгруппу порядка $п$ ^$п$ (и используя тот факт, что $п$ -группа разрешимый, можно показать, что $грамм$ имеет подгруппы порядка $п$ ^$р$ для любого $р$ меньше или равно $п$ ).

Заявление и доказательство

Многие тексты доказывают теорему с использованием сильная индукция и уравнение класса, хотя для доказательства теоремы в абелевский дело. Также можно вызвать групповые действия для доказательства.^[3]

Теорема Коши — Позволять $грамм$ быть конечная группа и $п$ быть основной. Если $п$ разделяет порядок из $грамм$ , тогда $грамм$ имеет элемент порядка $п$ .

Доказательство 1

Сначала докажем частный случай, когда $грамм$ является абелевский, а затем общий случай; оба доказательства проводятся индукцией по $п$ = | $грамм$ |, и в качестве начального случая $п$ = $п$ что тривиально, потому что любой неединичный элемент теперь имеет порядок $п$ . Предположим сначала, что $грамм$ абелева. Возьмите любой неидентификационный элемент $а$ , и разреши $ЧАС$ быть циклическая группа он производит. Если $п$ делит | $ЧАС$ |, тогда $а$ ^{| $ЧАС$ |/ $п$} это элемент порядка $п$ . Если $п$ не делит | $ЧАС$ |, то он делит порядок [ $грамм$ : $ЧАС$ ] из факторгруппа $грамм$ / $ЧАС$ , который, следовательно, содержит элемент порядка $п$ по индуктивному предположению. Этот элемент - класс $xH$ для некоторых $Икс$ в $грамм$ , и если $м$ это порядок $Икс$ в $грамм$ , тогда $Икс$ ^$м$ = $е$ в $грамм$ дает ( $xH$ )^$м$ = $eH$ в $грамм$ / $ЧАС$ , так $п$ разделяет $м$ ; как прежде $Икс$ ^{$м$ / $п$} теперь элемент порядка $п$ в $грамм$ , завершая доказательство в абелевом случае.

В общем случае пусть $Z$ быть центр из $грамм$ , которая является абелевой подгруппой. Если $п$ делит | $Z$ |, тогда $Z$ содержит элемент порядка $п$ в случае абелевых групп, и этот элемент работает для $грамм$ также. Итак, мы можем предположить, что $п$ не делит порядок $Z$ . С $п$ делит | $грамм$ |, и $грамм$ дизъюнктное объединение $Z$ и из классы сопряженности нецентральных элементов существует класс сопряженности нецентрального элемента $а$ чей размер не делится на $п$ . Но уравнение класса показывает, что размер [ $грамм$ : $C$ _$грамм$( $а$ )], так $п$ делит порядок централизатор $C$ _$грамм$( $а$ ) из $а$ в $грамм$ , которая является собственной подгруппой, поскольку $а$ не является центральным. Эта подгруппа содержит элемент порядка $п$ по индуктивной гипотезе, и все готово.

Доказательство 2

Это доказательство использует тот факт, что для любого действие (циклической) группы простого порядка $п$ , возможны только размеры орбиты 1 и $п$ , что непосредственно из теорема о стабилизаторе орбиты.

Набор, на котором будет действовать наша циклическая группа, - это множество

{ displaystyle X = {, (x_ {1}, ldots, x_ {p}) in G ^ {p}: x_ {1} x_ {2} cdots x_ {p} = e , }}

из $п$ -наборы элементов $грамм$ чей продукт (по порядку) дает личность. Такой $п$ -tuple однозначно определяется всеми его компонентами, кроме последнего, поскольку последний элемент должен быть обратным произведению этих предыдущих элементов. Также видно, что те $п$ − 1 элементы можно выбирать произвольно, поэтому $Икс$ имеет | $грамм$ |^{$п$ −1} элементов, который делится на $п$ .

Теперь из того, что в группе, если $ab$ = $е$ тогда также $ба$ = $е$ , отсюда следует, что любая циклическая перестановка компонент элемента $Икс$ снова дает элемент $Икс$ . Следовательно, можно определить действие циклической группы $C$ _$п$ порядка $п$ на $Икс$ циклическими перестановками компонентов, другими словами, когда выбранный генератор $C$ _$п$ отправляет

{ Displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {p}) mapsto (x_ {2}, ldots, x_ {p}, x_ {1})}

.

Как уже отмечалось, орбиты в $Икс$ под этим действием либо размер 1, либо размер $п$ . Первое происходит именно с этими кортежами ${ Displaystyle (х, х, ldots, х)}$ для которого ${ displaystyle x ^ {p} = e}$ . Подсчет элементов $Икс$ по орбитам и уменьшая по модулю $п$ , видно, что количество элементов, удовлетворяющих ${ displaystyle x ^ {p} = e}$ делится на $п$ . Но $Икс$ = $е$ один из таких элементов, поэтому должно быть не менее $п$ − 1 другие решения для $Икс$ , и эти решения являются элементами порядка $п$ . Это завершает доказательство.

Использует

Практически непосредственным следствием теоремы Коши является полезная характеристика конечных $п$ -группы, куда $п$ это простое число. В частности, конечная группа $грамм$ это $п$ -группа (т.е. все ее элементы имеют порядок $п$ ^$k$ для некоторых натуральное число $k$ ) если и только если $грамм$ есть заказ $п$ ^$п$ для некоторого натурального числа $п$ . Абелев случай теоремы Коши можно использовать в индуктивном доказательстве.^[4] из первой теоремы Силова, аналогично первому доказательству выше, хотя есть также доказательства, которые не делают этот частный случай отдельно.

Пример1

Позволять $грамм$ конечная группа, где $Икс 2 = е$ для всего элемента $Икс$ из $грамм$ . потом $грамм$ имеет заказ $2 п$ для некоторого неотрицательного целого числа $п$ . Позволять $| грамм |$ является $м$ . В случае $м$ равно 1, то $грамм = {е}$ . В случае $м \geq 2$ , если $м$ имеет нечетный простой фактор $п$ , $грамм$ имеет элемент $Икс$ куда $Икс п = е$ из теоремы Коши. Это противоречит предположению. Следовательно $м$ должно быть $2 п$ .^[5] Хорошо известный пример: Кляйн четыре группы.

Пример2

Абелевец простая группа либо ${е}$ или же циклическая группа $C п$ чей порядок - простое число $п$ . Позволять $грамм$ абелева группа, то все ее подгруппы $грамм$ находятся нормальные подгруппы. Так что если $грамм$ простая группа, $грамм$ имеет только нормальную подгруппу, которая либо ${е}$ или же $грамм$ . Если $| грамм | = 1$ , тогда $грамм$ является ${е}$ . Это подходит. Если $| грамм | \geq 2$ , позволять $а \in грамм$ не является $е$ , циклическая группа $⟨ а ⟩$ является подгруппой $грамм$ и $⟨ а ⟩$ не является ${е}$ , тогда $грамм = ⟨ а ⟩$ . Позволять $п$ это порядок $⟨ а ⟩$ . Если $п$ бесконечно, то

{ displaystyle {e } subsetneqq langle a ^ {2} rangle subsetneqq langle a rangle = G.}

Так что в данном случае это не подходит. потом $п$ конечно. Если $п$ составной, $п$ делится на простое число $q$ что меньше чем $п$ . По теореме Коши подгруппа $ЧАС$ будет существовать чей порядок $q$ , это не подходит. Следовательно, $п$ должно быть простым числом.

Примечания

^ Коши 1845.
^ Коши 1932.
^ Маккей 1959.
^ Якобсон 2009, п. 80.
^ Конечные группы, где $Икс 2 = e$ есть заказ $2 п$ , Обмен стеками, 23.09.2015

внешняя ссылка

[FOOTNOTECauchy1845-1] Коши 1845.

[FOOTNOTECauchy1932-2] Коши 1932.

[FOOTNOTEMcKay1959-3] Маккей 1959.

[FOOTNOTEJacobson200980-4] Якобсон 2009, п. 80.

[5] Конечные группы, где $Икс 2 = e$ есть заказ $2 п$ , Обмен стеками, 23.09.2015

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]