Алгебра Каца – Муди - Kac–Moody algebra

В математика, а Алгебра Каца – Муди (назван в честь Виктор Кац и Роберт Муди, открывший их самостоятельно) Алгебра Ли, обычно бесконечномерный, который может быть определен образующими и отношениями через обобщенная матрица Картана. Эти алгебры образуют обобщение конечномерных полупростые алгебры Ли, и многие свойства, связанные со структурой алгебры Ли, такие как ее корневая система, неприводимые представления, и подключение к многообразия флагов имеют естественные аналоги в установке Каца – Муди.

Класс Алгебры Каца – Муди называется аффинные алгебры Ли имеет особое значение в математике и теоретическая физика, особенно двумерная конформная теория поля и теория точно решаемые модели. Кац обнаружил элегантное доказательство некоторых комбинаторных тождеств: Личности Макдональда, который основан на теории представлений аффинных алгебр Каца – Муди. Говард Гарленд и Джеймс Леповски продемонстрировал, что Роджерс-Рамануджан идентичности можно получить аналогичным образом.^[1]

История алгебр Каца – Муди

Первоначальная конструкция Эли Картан и Вильгельм Киллинг конечномерных простые алгебры Ли от Целые числа Картана зависит от типа. В 1966 г. Жан-Пьер Серр показал, что отношения Клод Шевалле и Хариш-Чандра,^[2] с упрощениями Натан Джейкобсон,^[3] дать определяющую презентацию для Алгебра Ли.^[4] Таким образом, можно описать простую алгебру Ли в терминах генераторов и отношений, используя данные из матрицы целых чисел Картана, которая, естественно, положительно определенный.

"Почти одновременно в 1967 г. Виктор Кац в СССР и Роберт Муди в Канаде разработали то, что впоследствии стало алгеброй Каца – Муди. Кац и Муди заметили, что если Вильгельм Киллинг условия были смягчены, еще можно было связать с Матрица Картана алгебра Ли, которая обязательно была бы бесконечномерной ". - А. Дж. Коулман^[5]

В своей диссертации 1967 г. Роберт Муди рассматривал алгебры Ли, Матрица Картана больше не является положительно определенным.^[6][7] Это все еще привело к возникновению алгебры Ли, но теперь уже бесконечномерной. Одновременно, Z-градуированные алгебры Ли учились в Москве, где И. Л. Кантор представил и изучил общий класс алгебр Ли, включая то, что в конечном итоге стало известно как Алгебры Каца – Муди.^[8] Виктор Кац также изучал простые или почти простые алгебры Ли с полиномиальным ростом. Возникла богатая математическая теория бесконечномерных алгебр Ли. Описание предмета, которое также включает работы многих других, дано в (Kac 1990).^[9] См. Также (Селигман 1987).^[10]

Определение

Алгебру Каца – Муди можно определить, предварительно задав следующее:

1. An п×п обобщенная матрица Картана C = (c_ij) из классифицировать р.
2. А векторное пространство ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ над сложные числа размерности 2п − р.
3. Набор п линейно независимый элементы ${ Displaystyle альфа _ {я} ^ { vee}}$ из ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ и набор п линейно независимые элементы ${ displaystyle alpha _ {я}}$ из двойное пространство ${ displaystyle { mathfrak {h}} ^ {*}}$, так что ${ displaystyle alpha _ {i} left ( alpha _ {j} ^ { vee} right) = c_ {ji}}$. В ${ displaystyle alpha _ {я}}$ являются аналогом простые корни полупростой алгебры Ли и ${ Displaystyle альфа _ {я} ^ { vee}}$ к простым корням.

Алгебра Каца – Муди тогда является алгеброй Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ определяется генераторы ${ displaystyle e_ {i}}$ и ${ Displaystyle е_ {я} влево (я в {1, ldots, п } вправо)}$ и элементы ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ и отношения

• ${ Displaystyle влево [ч, ч ' вправо] = 0 }$ за ${ displaystyle h, h ' in { mathfrak {h}}}$;
• ${ displaystyle left [h, e_ {i} right] = alpha _ {i} (h) e_ {i}}$, за ${ displaystyle h in { mathfrak {h}}}$;
• ${ displaystyle left [h, f_ {i} right] = - alpha _ {i} (h) f_ {i}}$, за ${ displaystyle h in { mathfrak {h}}}$;
• ${ displaystyle left [e_ {i}, f_ {j} right] = delta _ {ij} alpha _ {i} ^ { vee}}$, куда ${ displaystyle delta _ {ij}}$ - дельта Кронекера;
• Если ${ displaystyle i neq j}$ (так ${ displaystyle c_ {ij} leq 0}$) тогда ${ displaystyle { textrm {ad}} (e_ {i}) ^ {1-c_ {ij}} (e_ {j}) = 0}$ и ${ displaystyle operatorname {ad} (f_ {i}) ^ {1-c_ {ij}} (f_ {j}) = 0}$, куда ${ displaystyle operatorname {ad}: { mathfrak {g}} to operatorname {End} ({ mathfrak {g}}), operatorname {ad} (x) (y) = [x, y] ,}$ это присоединенное представительство из ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$.

А настоящий (возможно, бесконечномерный) Алгебра Ли также считается алгеброй Каца – Муди, если ее комплексирование является алгеброй Каца – Муди.

Разложение в корневом пространстве алгебры Каца – Муди

${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ является аналогом Подалгебра Картана для алгебры Каца – Муди ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$.

Если ${ Displaystyle х neq 0}$ является элементом ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ такой, что

${ displaystyle forall h in { mathfrak {h}}, [h, x] = lambda (h) x}$

для некоторых ${ displaystyle lambda in { mathfrak {h}} ^ {*} backslash {0 }}$, тогда ${ displaystyle x}$ называется корневой вектор и ${ displaystyle lambda}$ это корень из ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$. (Нулевой функционал не считается корнем по соглашению.) Множество всех корней ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ часто обозначается как ${ displaystyle Delta}$ а иногда ${ displaystyle R}$. Для данного корня ${ displaystyle lambda}$, обозначается через ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ { lambda}}$ в корневое пространство из ${ displaystyle lambda}$; то есть,

${ displaystyle { mathfrak {g}} _ { lambda} = {x in { mathfrak {g}}: forall h in { mathfrak {h}}, [h, x] = lambda (з) х }}$.

Из определяющих соотношений ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ который ${ Displaystyle е_ {я} ин { mathfrak {g}} _ { альфа _ {я}}}$ и ${ displaystyle f_ {i} in { mathfrak {g}} _ {- alpha _ {i}}}$. Кроме того, если ${ displaystyle x_ {1} in { mathfrak {g}} _ { lambda _ {1}}}$ и ${ displaystyle x_ {2} in { mathfrak {g}} _ { lambda _ {2}}}$, тогда ${ displaystyle left [x_ {1}, x_ {2} right] in { mathfrak {g}} _ { lambda _ {1} + lambda _ {2}}}$ посредством Личность Якоби.

Фундаментальный результат теории состоит в том, что любую алгебру Каца – Муди можно разложить на прямая сумма из ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ и его корневые пространства, то есть

${ displaystyle { mathfrak {g}} = { mathfrak {h}} oplus bigoplus _ { lambda in Delta} { mathfrak {g}} _ { lambda}}$,

и что каждый корень ${ displaystyle lambda}$ можно записать как ${ Displaystyle лямбда = сумма _ {я = 1} ^ {п} z_ {я} альфа _ {я}}$ со всеми ${ displaystyle z_ {i}}$ существование целые числа того же самого знак.

Типы алгебр Каца – Муди.

Свойства алгебры Каца – Муди контролируются алгебраическими свойствами ее обобщенной матрицы Картана C. Для классификации алгебр Каца – Муди достаточно рассмотреть случай неразложимый матрица C, т.е. предположим, что не существует декомпозиции множества индексов я в непересекающееся объединение непустых подмножеств я₁ и я₂ такой, что C_ij = 0 для всех я в я₁ и j в я₂. Любое разложение обобщенной матрицы Картана приводит к разложению в прямую сумму соответствующей алгебры Каца – Муди:

${ Displaystyle { mathfrak {g}} (C) simeq { mathfrak {g}} left (C_ {1} right) oplus { mathfrak {g}} left (C_ {2} right ),}$

где две алгебры Каца – Муди в правой части связаны с подматрицами матрицы C соответствующие индексным наборам я₁ и я₂.

Важный подкласс алгебр Каца – Муди соответствует симметризуемый обобщенные матрицы Картана C, который можно разложить как DS, куда D это диагональная матрица с положительными целыми числами и S это симметричная матрица. В предположении, что C симметризуема и неразложима, алгебры Каца – Муди делятся на три класса:

• А положительно определенная матрица S приводит к конечномерному простая алгебра Ли.
• А положительно полуопределенная матрица S порождает бесконечномерную алгебру Каца – Муди аффинный тип, или аффинная алгебра Ли.
• An неопределенная матрица S порождает алгебру Каца – Муди неопределенный тип.
• Поскольку диагональные элементы C и S положительные, S не может быть отрицательно определенный или отрицательный полуопределенный.

Полностью классифицированы симметризуемые неразложимые обобщенные матрицы Картана конечного и аффинного типов. Они соответствуют Диаграммы Дынкина и аффинные диаграммы Дынкина. Об алгебрах Каца – Муди неопределенного типа известно немного, хотя группы, соответствующие этим алгебрам Каца – Муди, были построены над произвольными полями Жаком Титсом.^[11]

Среди алгебр Каца – Муди неопределенного типа большая часть работ посвящена тем гиперболический тип, для которого матрица S неопределенно, но для каждого собственного подмножества я, соответствующая подматрица положительно определена или положительно полуопределена. Гиперболические алгебры Каца – Муди имеют ранг не выше 10 и полностью классифицированы.^[12] Ранга 2 бесконечно много, и 238 рангов с 3 по 10.

Смотрите также

• Формула характера Вейля – Каца
• Обобщенная алгебра Каца – Муди.
• Интегрируемый модуль

Примечания

Рекомендации

• Роберт В. Муди, Новый класс алгебр Ли, Журнал алгебры, 10 (1968), 211–230. Дои:10.1016/0021-8693(68)90096-3 МИСТЕР0229687
• Виктор Кац, Бесконечномерные алгебры Ли, 3-е издание, Cambridge University Press (1990) ISBN  0-521-46693-8 [1]
• Энтони Вассерманн, Конспект лекций по алгебрам Каца – Муди и Вирасоро
• «Алгебра Каца – Муди», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Виктор Г. Кац, Простые неприводимые градуированные алгебры Ли конечного роста Математика. Изв. СССР, 2 (1968) с. 1271–1311, Изв. Акад. АН СССР сер. Матем., 32 (1968) с. 1923–1967
• Шраван Кумар, Группы Каца – Муди, их многообразия флагов и теория представлений, 1-е издание, Birkhäuser (2002). ISBN  3-7643-4227-7.

внешняя ссылка

• SIGMA: специальный выпуск по алгебрам Каца – Муди и их приложениям