Граница Богомольный – Прасад – Соммерфилд - Википедия - Bogomolnyi–Prasad–Sommerfield bound

В Граница Богомольного – Прасада – Соммерфилда (названный в честь Евгений Богомольный, М.К. Прасад и Чарльз Соммерфилд )^[1][2] это серия неравенство для решений уравнения в частных производных в зависимости от гомотопический класс решения на бесконечности. Этот набор неравенств очень полезен для решения солитон уравнения. Часто, настаивая на выполнении оценки (называемой «насыщенной»), можно прийти к более простому набору дифференциальных уравнений в частных производных для решения - уравнений Богомольного. Решения, насыщающие границу, называются "BPS государства "и играют важную роль в теории поля и теория струн.

Пример

В теории U (1) Янга – Миллса – Хиггса, энергия в данный момент времени т дан кем-то

${ displaystyle E = int d ^ {3} x , left [{ frac {1} {2}} { overrightarrow {D varphi}} ^ {T} cdot { overrightarrow {D varphi }} + { frac {1} {2}} pi ^ {T} pi + V ( varphi) + { frac {1} {2g ^ {2}}} operatorname {Tr} left [ { vec {E}} cdot { vec {E}} + { vec {B}} cdot { vec {B}} right] right]}$

куда D это ковариантная производная и V это потенциал. Если предположить, что V неотрицательна и равна нулю только для вакуума Хиггса и что поле Хиггса находится в присоединенное представительство, то в силу тождества Янга – Миллса Бьянки

${ displaystyle { begin {align} E & geq int d ^ {3} x , left [{ frac {1} {2}} operatorname {Tr} left [{ overrightarrow {D varphi }} cdot { overrightarrow {D varphi}} right] + { frac {1} {2g ^ {2}}} operatorname {Tr} left [{ vec {B}} cdot { vec {B}} right] right] & geq int d ^ {3} x , operatorname {Tr} left [{ frac {1} {2}} left ({ overrightarrow {D varphi}} mp { frac {1} {g}} { vec {B}} right) ^ {2} pm { frac {1} {g}} { overrightarrow {D varphi}} cdot { vec {B}} right] & geq pm { frac {1} {g}} int d ^ {3} x , operatorname {Tr} left [ { overrightarrow {D varphi}} cdot { vec {B}} right] & = pm { frac {1} {g}} int _ {S ^ {2} mathrm { граница}} operatorname {Tr} left [ varphi { vec {B}} cdot d { vec {S}} right]. end {выравнивается}}}$

Следовательно,

${ displaystyle E geq left | int _ {S ^ {2}} operatorname {Tr} left [ varphi { vec {B}} cdot d { vec {S}} right] right |.}$

Насыщенность достигается при ${ displaystyle pi = 0}$, и

${ displaystyle { overrightarrow {D varphi}} mp { frac {1} {g}} { vec {B}} = 0,}$

уравнение Богомольного. Другое условие насыщения состоит в том, что масса Хиггса и самодействие равны нулю, что имеет место в N = 2 суперсимметричных теориях.

Эта величина является абсолютной величиной магнитный поток.

Также существует небольшое обобщение, применимое к дионам. Для этого поле Хиггса должно быть комплексным сопряженным, а не действительным сопряженным.

Суперсимметрия

В суперсимметрии граница BPS является насыщенной, когда половина (или четверть или восьмая) генераторов SUSY не нарушены. Это происходит, когда масса равна центральное расширение, который обычно топологический заряд.^[3]

Фактически, большинство бозонных оценок BPS на самом деле происходит из бозонного сектора суперсимметричной теории, и это объясняет их происхождение.

Рекомендации