Алгебра Вирасоро - Virasoro algebra

В математика, то Алгебра Вирасоро (назван в честь физика Мигель Анхель Вирасоро )^[1] это сложный Алгебра Ли, уникальный центральное расширение из Алгебра Витта. Он широко используется в двумерная конформная теория поля И в теория струн.

Определение

В Алгебра Вирасоро является охватывал к генераторы $L п$ за $п \in ℤ$ и центральный заряд $c$ .Эти генераторы удовлетворяют ${ displaystyle [c, L_ {n}] = 0}$ и

${ displaystyle [L_ {m}, L_ {n}] = (mn) L_ {m + n} + { frac {c} {12}} (m ^ {3} -m) delta _ {m + n, 0}.}$

Коэффициент 1/12 - это просто вопрос условности. Для вывода алгебры как единственного центрального расширения Алгебра Витта, видеть вывод алгебры Вирасоро.

Алгебра Вирасоро имеет презентация с точки зрения 2 генераторов (например, $L$ ₃ и $L$ ₋₂) и 6 отношений.^[2]^[3]

Теория представлений

Представления наивысшего веса

А представление наивысшего веса алгебры Вирасоро является представлением, порожденным первичное состояние: вектор ${ displaystyle v}$ такой, что

{ Displaystyle L_ {n> 0} v = 0, quad L_ {0} v = hv,}

где число $час$ называется конформное измерение или же конформный вес из ${ displaystyle v}$ .^[4]

Представление со старшим весом натянуто на собственные состояния ${ displaystyle L_ {0}}$ . Собственные значения принимают вид ${ displaystyle h + N}$ , где целое число ${ displaystyle N geq 0}$ называется уровень соответствующего собственного состояния.

Точнее, представление со старшим весом натянуто на ${ displaystyle L_ {0}}$ -собственные состояния типа ${ displaystyle L _ {- n_ {1}} L _ {- n_ {2}} cdots L _ {- n_ {k}} v}$ с ${ Displaystyle 0 <п_ {1} leq n_ {2} leq cdots n_ {k}}$ и ${ Displaystyle к geq 0}$ , чьи уровни ${ Displaystyle N = сумма _ {я = 1} ^ {k} п_ {я}}$ . Любое состояние, уровень которого не равен нулю, называется потомок из ${ displaystyle v}$ .

Для любой пары комплексных чисел $час$ и $c$ , то Модуль Верма ${ displaystyle { mathcal {V}} _ {c, h}}$ - максимально возможное представление с наибольшим весом. (То же письмо $c$ используется как для элемента $c$ алгебры Вирасоро и ее собственное значение в представлении.)

Штаты ${ displaystyle L _ {- n_ {1}} L _ {- n_ {2}} cdots L _ {- n_ {k}} v}$ с ${ Displaystyle 0 <п_ {1} leq n_ {2} leq cdots n_ {k}}$ и ${ Displaystyle к geq 0}$ составляют основу модуля Верма. Модуль Верма неразложим, и для общих значений $час$ и $c$ это также несводимо. Когда он сводится, существуют другие представления старшего веса с этими значениями $час$ и $c$ , называется вырожденные представления, которые являются смежными классами модуля Верма. В частности, единственное неприводимое представление старшего веса с этими значениями $час$ и $c$ является фактором модуля Верма по его максимальному подмодулю.

Модуль Верма неприводим тогда и только тогда, когда он не имеет особых векторов.

Особые векторы

А сингулярный вектор или же нулевой вектор представления наивысшего веса - это состояние, которое одновременно является потомком и первичным.

Достаточное условие для модуля Верма ${ displaystyle { mathcal {V}} _ {c, h}}$ иметь особый вектор на уровне ${ displaystyle N}$ является ${ displaystyle h = h_ {r, s} (c)}$ для некоторых положительных целых чисел ${ displaystyle r, s}$ такой, что ${ displaystyle N = rs}$ , с

{ displaystyle h_ {r, s} (c) = { frac {1} {4}} { Big (} (b + b ^ {- 1}) ^ {2} - (br + b ^ {- 1} s) ^ {2} { Big)} , quad { text {where}} quad c = 1 + 6 (b + b ^ {- 1}) ^ {2} .}

Особенно, ${ displaystyle h_ {1,1} (c) = 0}$ , и приводимый модуль Верма ${ displaystyle { mathcal {V}} _ {c, 0}}$ имеет особый вектор ${ displaystyle L _ {- 1} v}$ на уровне ${ Displaystyle N = 1}$ . потом ${ displaystyle h_ {2,1} (c) = - { frac {1} {2}} - { frac {3} {4}} b ^ {2}}$ , а соответствующий приводимый модуль Верма имеет сингулярный вектор ${ displaystyle (L _ {- 1} ^ {2} + b ^ {2} L _ {- 2}) v}$ на уровне ${ Displaystyle N = 2}$ .

Это условие существования сингулярного вектора на уровне ${ displaystyle N}$ не обязательно. В частности, имеется особый вектор на уровне ${ displaystyle N}$ если ${ displaystyle N = rs + r's '}$ с ${ displaystyle h = h_ {r, s} (c)}$ и ${ displaystyle h + rs = h_ {r ', s'} (c)}$ . Этот сингулярный вектор теперь является потомком другого сингулярного вектора на уровне ${ displaystyle rs}$ . Однако этот тип сингулярных векторов может существовать только в том случае, если центральный заряд имеет тип

{ displaystyle c = 1-6 { frac {(p-q) ^ {2}} {pq}} quad { text {with}} quad p, q in mathbb {Z}}

.

(За ${ displaystyle p> q geq 2}$ взаимно простые, это центральные обвинения минимальные модели.)^[4]

Эрмитова форма и унитарность

Представление наивысшего веса с действительным значением ${ displaystyle c}$ имеет уникальный Эрмитова форма такой, что примыкающий к ${ displaystyle L_ {n}}$ является ${ displaystyle L _ {- n}}$ , а норма первичного состояния равна единице. унитарный если эта эрмитова форма положительно определена. Поскольку любой сингулярный вектор имеет нулевую норму, все унитарные представления со старшим весом неприводимы.

В Определитель грамма основы уровня ${ displaystyle N}$ дается Формула определителя Каца,

{ Displaystyle A_ {N} prod _ {1 leq r, s leq N} { big (} h-h_ {r, s} (c) { big)} ^ {p (N-rs) },}

где функция п(N) это функция распределения, и А_N положительная константа, не зависящая от ${ displaystyle h}$ или же ${ displaystyle c}$ . Формула определителя Каца была сформулирована В. Кац (1978), а его первое опубликованное доказательство было дано Фейгиным и Фуксом (1984).

Неприводимое представление старшего веса со значениями $час$ и $c$ унитарен тогда и только тогда, когда либо $c$ ≥ 1 и $час$ ≥ 0, или

{ displaystyle c in left {1 - { frac {6} {m (m + 1)}} right } _ {m = 2,3,4, ldots} = left {0 , { frac {1} {2}}, { frac {7} {10}}, { frac {4} {5}}, { frac {6} {7}}, { frac {25 } {28}}, ldots right }}

и час одна из ценностей

{ displaystyle h = h_ {r, s} (c) = { frac {{ big (} (m + 1) r-ms { big)} ^ {2} -1} {4m (m + 1 )}}}

за р = 1, 2, 3, ..., м - 1 и s = 1, 2, 3, ..., р.

Даниэль Фридан, Zongan Qiu и Стивен Шенкер (1984) показали, что эти условия необходимы, и Питер Годдард, Адриан Кент и Дэвид Олив (1986) использовали конструкция смежного класса или же Строительство ГКО (идентификация унитарных представлений алгебры Вирасоро в тензорных произведениях унитарных представлений аффинных Алгебры Каца – Муди ), чтобы показать, что их достаточно.

Символы

В персонаж представительства ${ Displaystyle { mathcal {R}}}$ алгебры Вирасоро - это функция

{ displaystyle chi _ { mathcal {R}} (q) = operatorname {Tr} _ { mathcal {R}} q ^ {L_ {0} - { frac {c} {24}}}. }

Характер модуля Верма ${ displaystyle { mathcal {V}} _ {c, h}}$ является

{ displaystyle chi _ {{ mathcal {V}} _ {c, h}} (q) = { frac {q ^ {h - { frac {c} {24}}}} { prod _ {n = 1} ^ { infty} (1-q ^ {n})}} = { frac {q ^ {h - { frac {c-1} {24}}}} { eta (q )}} = q ^ {h - { frac {c} {24}}} left (1 + q + 2q ^ {2} + 3q ^ {3} + 5q ^ {4} + cdots right) ,}

куда ${ displaystyle eta}$ это Функция Дедекинда эта.

Для любого ${ displaystyle c in mathbb {C}}$ и для ${ displaystyle r, s in mathbb {N} ^ {*}}$ , модуль Верма ${ displaystyle { mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s}}}$ приводимо из-за существования сингулярного вектора на уровне ${ displaystyle rs}$ . Этот сингулярный вектор порождает подмодуль, изоморфный модулю Верма ${ displaystyle { mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s} + rs}}$ . Частное от ${ displaystyle { mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s}}}$ этим подмодулем неприводимо, если ${ displaystyle { mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s}}}$ не имеет других особых векторов и имеет характер

{ displaystyle chi _ {{ mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s}} / { mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s} + rs}} = chi _ {{ mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s}}} - chi _ {{ mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s} + rs}} = (1 -q ^ ​​{rs}) chi _ {{ mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s}}}.}.

Позволять ${ displaystyle c = c_ {p, p '}}$ с ${ displaystyle 2 leq p$ и ${ displaystyle p, p '}$ coprime, и ${ Displaystyle 1 Leq г Leq р-1}$ и ${ displaystyle 1 leq s leq p'-1}$ . (Потом ${ displaystyle (r, s)}$ находится в таблице Каца соответствующего минимальная модель ). Модуль Верма ${ displaystyle { mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s}}}$ имеет бесконечно много сингулярных векторов и поэтому сводится с бесконечным числом подмодулей. Этот модуль Верма имеет неприводимый фактор по своему наибольшему нетривиальному подмодулю. (Спектры минимальных моделей строятся из таких неприводимых представлений.) Неприводимый фактор имеет характер

{ displaystyle { begin {align} & chi _ {{ mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s}} / ({ mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s } + rs} + { mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s} + (pr) (p'-s)})} & = sum _ {k in mathbb {Z }} left ( chi _ {{ mathcal {V}} _ {c, { frac {1} {4pp '}} left ((p'r-ps + 2kpp') ^ {2} - ( p-p ') ^ {2} right)}} - chi _ {{ mathcal {V}} _ {c, { frac {1} {4pp'}} left ((p'r + ps + 2kpp ') ^ {2} - (p-p') ^ {2} right)}} right). End {align}}}

Это выражение представляет собой бесконечную сумму, потому что подмодули ${ displaystyle { mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s} + rs}}$ и ${ displaystyle { mathcal {V}} _ {c, h_ {r, s} + (p-r) (p'-s)}}$ имеют нетривиальное пересечение, которое само по себе является сложным подмодулем.

Приложения

Конформная теория поля

В двух измерениях алгебра локальных конформные преобразования состоит из двух экземпляров Алгебра Витта Отсюда следует, что алгебра симметрий двумерная конформная теория поля это алгебра Вирасоро. Технически конформный бутстрап подход к двумерной CFT опирается на Конформные блоки Вирасоро, специальные функции, которые включают и обобщают характеры представлений алгебры Вирасоро.

Теория струн

Поскольку алгебра Вирасоро содержит образующие конформной группы мировой лист, то тензор напряжений в теория струн подчиняется коммутационным соотношениям (двух копий) алгебры Вирасоро. Это связано с тем, что конформная группа распадается на отдельные диффеоморфизмы прямого и заднего световых конусов. Из инвариантности диффеоморфизма мирового листа дополнительно следует, что тензор напряжений обращается в нуль. Это известно как Ограничение Вирасоро, а в квантовая теория, не может применяться ко всем состояниям теории, а только к физическим состояниям (ср. Формализм Гупты – Блейлера ).

Обобщения

Супер алгебры Вирасоро

Есть два суперсимметричный N = 1 расширение алгебры Вирасоро, называемой Алгебра Невё – Шварца и Алгебра Рамона. Их теория похожа на теорию алгебры Вирасоро, теперь с участием Числа Грассмана. Существуют и другие расширения этих алгебр с большей суперсимметрией, такие как N = 2 суперконформная алгебра.

W-алгебры

W-алгебры - это ассоциативные алгебры, содержащие алгебру Вирасоро и играющие важную роль в двумерная конформная теория поля. Среди W-алгебр алгебра Вирасоро имеет особенность быть алгеброй Ли.

Аффинные алгебры Ли

Алгебра Вирасоро является подалгеброй универсальной обертывающей алгебры любой аффинной алгебры Ли, как показано Строительство Сугавара. В этом смысле аффинные алгебры Ли являются расширениями алгебры Вирасоро.

Мероморфные векторные поля на римановых поверхностях

Алгебра Вирасоро является центральным расширением алгебры Ли мероморфных векторных полей с двумя полюсами на римановой поверхности рода 0. На компактной римановой поверхности высшего рода алгебра Ли мероморфных векторных полей с двумя полюсами также имеет центральное расширение: которое является обобщением алгебры Вирасоро.^[5] В дальнейшем это можно обобщить на супермногообразия.^[6]

Вершинная алгебра Вирасоро и конформная алгебра Вирасоро

Алгебра Вирасоро также имеет вершинно-алгебраический и конформно-алгебраический двойники, которые в основном возникают из объединения всех базовых элементов в создание серий и работы с отдельными объектами.

История

Алгебра Витта (алгебра Вирасоро без центрального расширения) была открыта É. Картан (1909). Его аналоги над конечными полями изучались Э. Витт примерно в 1930-е гг. Центральное расширение алгебры Витта, дающее алгебру Вирасоро, было впервые найдено (в характеристике п > 0) по Р. Э. Блок (1966, стр. 381) и независимо переоткрытый (в характеристике 0) И. М. Гельфанд и Д. Б. Фукс [де ] (1968). Вирасоро (1970) записал несколько операторов, порождающих алгебру Вирасоро (позже известную как Операторы Вирасоро) во время учебы модели двойного резонанса, правда центрального расширения он не нашел. Центральное расширение, дающее алгебру Вирасоро, было переоткрыто в физике вскоре после этого Дж. Х. Вайсом, согласно Брауэру и Торну (1971, сноска на стр. 167).

Смотрите также

Примечания

^ М. А. Вирасоро (1970). «Вспомогательные условия и призраки в моделях двойного резонанса». Физический обзор D. 1 (10): 2933–2936. Bibcode:1970ПхРвД ... 1,2933В. Дои:10.1103 / PhysRevD.1.2933.
^ Fairlie, D. B .; Nuyts, J .; Захос, К. К. (1988). «Презентация алгебр Вирасоро и супервирасоро». Коммуникации по математической физике. 117 (4): 595. Bibcode:1988CMaPh.117..595F. Дои:10.1007 / BF01218387.
^ Урецкий, Дж. Л. (1989). «Избыточность условий для алгебры Вирасоро». Коммуникации по математической физике. 122 (1): 171–173. Bibcode:1989CMaPh.122..171U. Дои:10.1007 / BF01221412.
^ ^а ^б П. Ди Франческо, П. Матье и Д. Сенешаль, Конформная теория поля, 1997, ISBN 0-387-94785-X.
^ Кричевер, И. М .; Новиков, С.П. (1987). «Алгебры типа Вирасоро, римановы поверхности и структуры теории солитонов». Функц. Анальный. Приложение. 21 (2): 46–63. Дои:10.1007 / BF01078026.
^ Рабин, Дж. М. (1995). «Суперэллиптические кривые». Журнал геометрии и физики. 15 (3): 252–280. arXiv:hep-th / 9302105. Bibcode:1995JGP .... 15..252R. Дои:10.1016 / 0393-0440 (94) 00012-S.