Формализм Гупты – Блейлера - Gupta–Bleuler formalism

В квантовая теория поля, то Формализм Гупты – Блейлера это способ квантование в электромагнитное поле. Формулировка обусловлена физики-теоретики Сурадж Н. Гупта^[1] и Конрад Блейлер.^[2]

Обзор

Во-первых, рассмотрим одиночный фотон. А основа однофотонного векторного пространства (объясняется, почему это не Гильбертово пространство ниже) дается собственные состояния ${ displaystyle | k, epsilon _ { mu} rangle}$ куда ${ displaystyle k}$, 4-импульс является ноль (${ displaystyle k ^ {2} = 0}$) и ${ displaystyle k_ {0}}$ компонент, энергия, положительный и ${ displaystyle epsilon _ { mu}}$ это единица вектор поляризации и индекс ${ displaystyle mu}$ колеблется от 0 до 3. Итак, ${ displaystyle k}$ однозначно определяется пространственным импульсом ${ displaystyle { vec {k}}}$. С использованием обозначение бюстгальтера, это пространство оборудовано полуторалинейная форма определяется

${ displaystyle langle { vec {k}} _ {a}; epsilon _ { mu} | { vec {k}} _ {b}; epsilon _ { nu} rangle = (- eta _ { mu nu}) , 2 | { vec {k}} _ {a} | , delta ({ vec {k}} _ {a} - { vec {k}} _ {b})}$,

где ${ displaystyle 2 | { vec {k}} _ {a} |}$ фактор заключается в реализации Ковариация Лоренца. В метрическая подпись здесь используется + −−−. Однако эта полуторалинейная форма дает положительные нормы для пространственных поляризаций, но отрицательные нормы для поляризаций, подобных времени. Отрицательные вероятности нефизичны, не говоря уже о том, что физический фотон имеет только два поперечный поляризации, а не четыре.

Если включить калибровочную ковариацию, можно понять, что фотон может иметь три возможных поляризации (две поперечные и одну продольную (т.е. параллельную 4-импульсу)). Это дается ограничением ${ Displaystyle к cdot epsilon = 0}$. Однако продольная составляющая - это просто нефизический измеритель. Хотя было бы неплохо определить более строгое ограничение, чем указанное выше, которое оставляет только два поперечных компонента, легко проверить, что это не может быть определено в Ковариант Лоренца таким образом, потому что то, что поперечно в одной системе отсчета, больше не поперечно в другой.

Чтобы решить эту проблему, сначала посмотрите на подпространство с тремя поляризациями. Ограниченная им полуторалинейная форма просто полуопределенный, что лучше неопределенного. Кроме того, подпространство с нулевой нормой оказывается не чем иным, как калибровочными степенями свободы. Итак, определите физическое Гильбертово пространство быть факторное пространство трехполяризационного подпространства его подпространством нулевой нормы. В этом пространстве есть положительно определенный форме, что делает его истинным гильбертовым пространством.

Аналогичным образом этот метод можно распространить на бозонный Пространство фока многочастичных фотонов. Используя стандартный прием сопряженного творчество и операторы аннигиляции, но с помощью этого частного трюка можно сформулировать свободное поле векторный потенциал операторно-оценочное распределение ${ displaystyle A}$ удовлетворение

${ Displaystyle partial ^ { mu} partial _ { mu} A = 0}$

с условием

${ Displaystyle langle chi | partial ^ { mu} A _ { mu} | psi rangle = 0}$

для физических состояний ${ displaystyle | chi rangle}$ и ${ displaystyle | psi rangle}$ в пространстве Фока (понимается, что физические состояния на самом деле являются классами эквивалентности состояний, которые отличаются состоянием с нулевой нормой).

Это не то же самое, что

${ Displaystyle partial ^ { mu} A _ { mu} = 0}$.

Отметим, что если O - любой калибровочно-инвариантный оператор,

${ displaystyle langle chi | O | psi rangle}$

не зависит от выбора представителей классов эквивалентности, а значит, эта величина определена корректно.

В общем случае это неверно для калибровочно-инвариантных операторов, поскольку Датчик Лоренца по-прежнему оставляет остаточные калибровочные степени свободы.

Во взаимодействующей теории квантовая электродинамика, условие калибровки Лоренца по-прежнему применяется, но ${ displaystyle A}$ больше не удовлетворяет уравнению свободной волны.

Смотрите также

• БРСТ формализм
• Квантовая калибровочная теория
• Квантовая электродинамика
• ξ калибровка

Примечания

Рекомендации

• Блейлер, К. (1950), "Eine neue Methode zur Behandlung der longitudinalen und skalaren Photonen", Helv. Phys. Acta (на немецком), 23 (5): 567–586, Дои:10.5169 / пломбы-112124 (доступна загрузка в формате pdf)
• Гупта, С. (1950), "Теория продольных фотонов в квантовой электродинамике", Proc. Phys. Soc., 63А (7): 681–691, Bibcode:1950PPSA ... 63..681G, Дои:10.1088/0370-1298/63/7/301