Модель Весса – Зумино – Виттена. - Wess–Zumino–Witten model

В теоретическая физика и математика, а Весс – Зумино – Виттен (WZW) модель, также называемый Модель Весса – Зумино – Новикова – Виттена., это тип двумерная конформная теория поля названный в честь Юлиус Весс, Бруно Зумино, Сергей Новиков и Эдвард Виттен.^[1][2][3][4] Модель WZW связана с Группа Ли (или супергруппа ), а его алгебра симметрий - аффинная алгебра Ли построен из соответствующих Алгебра Ли (или Супералгебра Ли ). В более широком смысле, модель WZW иногда используется для любой конформной теории поля, алгебра симметрий которой является аффинной алгеброй Ли.^[5]

Действие

Определение

Для ${ displaystyle Sigma}$ а Риманова поверхность, ${ displaystyle G}$ а Группа Ли, и ${ displaystyle k}$ (обычно комплексное) число, определим ${ displaystyle G}$-WZW модель на ${ displaystyle Sigma}$ на уровне ${ displaystyle k}$. Модель представляет собой нелинейная сигма-модель чья действие является функционалом поля ${ displaystyle gamma: Sigma to G}$:

${ displaystyle S_ {k} ( gamma) = - { frac {k} {8 pi}} int _ { Sigma} d ^ {2} x , { mathcal {K}} left ( gamma ^ {- 1} partial ^ { mu} gamma, gamma ^ {- 1} partial _ { mu} gamma right) +2 pi kS ^ { mathrm {W} Z} ( gamma).}$

Вот, ${ displaystyle Sigma}$ оборудован квартирой Евклидова метрика, ${ displaystyle partial _ { mu}}$ это частная производная, и ${ Displaystyle { mathcal {K}}}$ это Форма убийства на Алгебра Ли из ${ displaystyle G}$. В Термин Весса – Зумино действия

${ displaystyle S ^ { mathrm {W} Z} ( gamma) = - { frac {1} {48 pi ^ {2}}} int _ { mathbf {B} ^ {3}} d ^ {3} y , epsilon ^ {ijk} { mathcal {K}} left ( gamma ^ {- 1} partial _ {i} gamma, left [ gamma ^ {- 1} partial _ {j} gamma, gamma ^ {- 1} partial _ {k} gamma right] right).}$

Вот ${ displaystyle epsilon ^ {ijk}}$ это полностью антисимметричный тензор, и ${ displaystyle [.,.]}$ это Кронштейн лжи. Член Весса – Зумино представляет собой интеграл по трехмерному многообразию ${ displaystyle mathbf {B} ^ {3}}$ чья граница ${ Displaystyle partial mathbf {B} ^ {3} = Sigma}$.

Топологические свойства члена Весса – Зумино

Чтобы член Весса – Зумино имел смысл, нам нужно поле ${ displaystyle gamma}$ иметь расширение ${ displaystyle mathbf {B} ^ {3}}$. Это требует гомотопическая группа ${ Displaystyle pi _ {2} (G)}$ быть тривиальным, что имеет место, в частности, для любой компактной группы Ли ${ displaystyle G}$.

Расширение данного ${ displaystyle gamma: Sigma to G}$ к ${ displaystyle mathbf {B} ^ {3}}$ вообще не единственный. Чтобы модель WZW была четко определена, ${ Displaystyle е ^ {iS_ {к} ( гамма)}}$ не должно зависеть от выбора расширения. Член Весса – Зумино инвариантен относительно малых деформаций ${ displaystyle gamma}$, и зависит только от его гомотопический класс. Возможные гомотопические классы контролируются гомотопической группой ${ Displaystyle pi _ {3} (G)}$.

Для любой компактной связной простой группы Ли ${ displaystyle G}$, у нас есть ${ Displaystyle pi _ {3} (G) = mathbb {Z}}$, и различные расширения ${ displaystyle gamma}$ привести к ценностям ${ Displaystyle S ^ { mathrm {W} Z} ( gamma)}$ которые различаются целыми числами. Следовательно, они приводят к одинаковому значению ${ Displaystyle е ^ {iS_ {к} ( гамма)}}$ при условии, что уровень подчиняется

${ Displaystyle к in mathbb {Z}.}$

Целочисленные значения уровня также играют важную роль в теории представлений алгебры симметрий модели, которая является аффинная алгебра Ли. Если уровень - натуральное число, аффинная алгебра Ли имеет унитарный старший вес представления с высшим веса которые являются доминирующим интегралом. Такие представления распадаются на конечномерные подпредставления относительно подалгебр, натянутых на каждое простой корень, соответствующий отрицательный корень и их коммутатор, который является Генератор Картана.

В случае некомпактной простой группы Ли ${ Displaystyle mathrm {SL} (2, mathbb {R})}$, гомотопическая группа ${ Displaystyle pi _ {3} ( mathrm {SL} (2, mathbb {R}))}$ является тривиальным, и уровень не обязательно должен быть целым числом.^[6]

Геометрическая интерпретация члена Весса – Зумино.

Если е_а являются базисными векторами для Алгебра Ли, тогда ${ displaystyle { mathcal {K}} (e_ {a}, [e_ {b}, e_ {c}])}$ являются структурные константы алгебры Ли. Структурные константы полностью антисимметричны, поэтому они определяют 3-форма на групповое многообразие из г. Таким образом, подынтегральное выражение выше - это просто откат гармонической 3-формы к шару ${ displaystyle mathbf {B} ^ {3}.}$ Обозначив гармоническую 3-форму через c и откат ${ displaystyle gamma ^ {*},}$ тогда есть

${ displaystyle S ^ { mathrm {W} Z} ( gamma) = int _ { mathbf {B} ^ {3}} gamma ^ {*} c.}$

Эта форма непосредственно ведет к топологическому анализу WZ-члена.

Геометрически этот член описывает кручение соответствующего коллектора.^[7] Наличие этого кручения заставляет телепараллелизм многообразия, и, таким образом, тривиализация крутильного тензор кривизны; и, следовательно, остановка потока перенормировки, инфракрасная фиксированная точка из ренормгруппа, явление, названное геометростаз.

Алгебра симметрии

Обобщенная групповая симметрия

Модель Весса-Зумино-Виттена не только симметрична относительно глобальных преобразований элементом группы в ${ displaystyle G}$, но также имеет гораздо более богатую симметрию. Эту симметрию часто называют ${ Displaystyle G (z) times G ({ bar {z}})}$ симметрия.^[8] А именно, для любого голоморфного ${ displaystyle G}$-значная функция ${ displaystyle Omega (z)}$, и любые другие (полностью независимые от ${ displaystyle Omega (z)}$) антиголоморфный ${ displaystyle G}$-значная функция ${ displaystyle { bar { Omega}} ({ bar {z}})}$, где мы определили ${ displaystyle z = x + iy}$ и ${ displaystyle { bar {z}} = x-iy}$ в координатах евклидова пространства ${ displaystyle x, y}$, имеет место следующая симметрия:

${ Displaystyle S_ {k} ( gamma) = S_ {k} ( Omega gamma { bar { Omega}} ^ {- 1})}$

Один из способов доказать существование этой симметрии - многократное применение тождества Полякова-Вигмана относительно произведений ${ displaystyle G}$-значные поля:

${ displaystyle S_ {k} ( alpha beta ^ {- 1}) = S_ {k} ( alpha) + S_ {k} ( beta) + { frac {k} {16 pi ^ {2 }}} int d ^ {2} x { textrm {Tr}} ( alpha ^ {- 1} partial _ { bar {z}} alpha beta ^ {- 1} partial _ {z } beta)}$

Голоморфные и антиголоморфные токи ${ Displaystyle J (z) = - { гидроразрыва {1} {2}} к ( partial _ {z} gamma) gamma ^ {- 1}}$ и ${ displaystyle { bar {J}} ({ bar {z}}) = - { frac {1} {2}} k gamma ^ {- 1} partial _ { bar {z}} гамма}$ - сохраняющиеся токи, связанные с этой симметрией. Сингулярное поведение продуктов этих токов с другими квантовыми полями определяет, как эти поля преобразуются при бесконечно малых действиях ${ Displaystyle G (z) times G ({ bar {z}})}$ группа.

Аффинная алгебра Ли

Позволять ${ displaystyle z}$ - локальная комплексная координата на ${ displaystyle Sigma}$, ${ Displaystyle {т ^ {а} }}$ ортонормированный базис (относительно Форма убийства ) алгебры Ли ${ displaystyle G}$, и ${ Displaystyle J ^ {а} (г)}$ квантование поля ${ displaystyle { mathcal {K}} (t ^ {a}, partial _ {z} gg ^ {- 1})}$. У нас есть следующие расширение продукта оператора:

${ displaystyle J ^ {a} (z) J ^ {b} (w) = { frac {k delta ^ {ab}} {(zw) ^ {2}}} + { frac {if_ {c } ^ {ab} J ^ {c} (w)} {zw}} + { mathcal {O}} (1),}$

где ${ displaystyle f_ {c} ^ {ab}}$ коэффициенты такие, что ${ displaystyle [t ^ {a}, t ^ {b}] = f_ {c} ^ {ab} t ^ {c}}$. Эквивалентно, если ${ Displaystyle J ^ {а} (г)}$ расширяется в режимах

${ Displaystyle J ^ {a} (z) = sum _ {n in mathbb {Z}} J_ {n} ^ {a} z ^ {- n-1},}$

затем текущая алгебра Сгенерированно с помощью ${ Displaystyle {J_ {п} ^ {а} }}$ это аффинная алгебра Ли ассоциированной с алгеброй Ли ${ displaystyle G}$, с уровнем, совпадающим с уровнем ${ displaystyle k}$ модели WZW.^[5] Если ${ Displaystyle { mathfrak {g}} = mathrm {Lie} (G)}$, обозначение аффинной алгебры Ли ${ displaystyle { hat { mathfrak {g}}} _ {k}}$Коммутационные соотношения аффинной алгебры Ли имеют вид

${ displaystyle [J_ {n} ^ {a}, J_ {m} ^ {b}] = f_ {c} ^ {ab} J_ {m + n} ^ {c} + kn delta ^ {ab} дельта _ {n + m, 0}.}$

Эта аффинная алгебра Ли является киральной алгеброй симметрии, связанной с левыми токами ${ displaystyle { mathcal {K}} (t ^ {a}, partial _ {z} gg ^ {- 1})}$. Вторая копия той же аффинной алгебры Ли связана с правыми токами ${ displaystyle { mathcal {K}} (t ^ {a}, g ^ {- 1} partial _ { bar {z}} g)}$. Генераторы ${ Displaystyle { бар {J}} ^ {а} (г)}$ второй копии антиголоморфны. Полная алгебра симметрий модели WZW является произведением двух копий аффинной алгебры Ли.

Строительство Сугавара

Конструкция Сугавары - это вложение Алгебра Вирасоро в универсальную обертывающую алгебру аффинной алгебры Ли. Существование вложения показывает, что модели WZW являются конформными теориями поля. Более того, это приводит к Уравнения Книжника-Замолодчикова для корреляционных функций.

Конструкция Сугавара максимально лаконично записана на уровне токов: ${ Displaystyle J ^ {а} (г)}$ для аффинной алгебры Ли и тензор энергии-импульса ${ Displaystyle Т (г)}$ для алгебры Вирасоро:

${ displaystyle T (z) = { frac {1} {2 (k + h ^ { vee})}} sum _ {a}: J ^ {a} J ^ {a} :( z), }$

где ${ displaystyle:}$ обозначает нормальный порядок, а ${ displaystyle h ^ { vee}}$ это двойное число Кокстера. Используя OPE токов и вариант Теорема Вика можно сделать вывод, что ОПЕ ${ Displaystyle Т (г)}$ с собой дается^[5]

${ Displaystyle T (y) T (z) = { frac { frac {c} {2}} {(yz) ^ {4}}} + { frac {2T (z)} {(yz) ^ {2}}} + { frac { partial T (z)} {yz}} + { mathcal {O}} (1),}$

что эквивалентно коммутационным соотношениям алгебры Вирасоро. Центральный заряд алгебры Вирасоро дается в терминах уровня ${ displaystyle k}$ аффинной алгебры Ли

${ displaystyle c = { frac {k mathrm {dim} ({ mathfrak {g}})} {k + h ^ { vee}}}.}.$

На уровне генераторов аффинной алгебры Ли конструкция Сугавары имеет вид

${ displaystyle L_ {n neq 0} = { frac {1} {2 (k + h ^ { vee})}} sum _ {a} sum _ {m in mathbb {Z}} J_ {nm} ^ {a} J_ {m} ^ {a},}$

${ displaystyle L_ {0} = { frac {1} {2 (k + h ^ { vee})}} left (2 sum _ {a} sum _ {m = 1} ^ { infty } J _ {- m} ^ {a} J_ {m} ^ {a} + J_ {a} ^ {0} J_ {a} ^ {0} right).}$

где генераторы ${ displaystyle L_ {n}}$ алгебры Вирасоро являются модами тензора энергии-импульса, ${ Displaystyle Т (г) = сумма _ {п в mathbb {Z}} L_ {п} г ^ {- п-2}}$.

Спектр

Модели WZW с компактными односвязными группами

Если группа Ли ${ displaystyle G}$ компактна и односвязна, то WZW-модель рациональна и диагональна: рациональна, потому что спектр строится из (зависящего от уровня) конечного набора неприводимых представлений аффинной алгебры Ли, называемого интегрируемым представления наивысшего веса, и диагональной, потому что представление алгебры, движущейся влево, связано с тем же представлением алгебры, движущейся вправо.^[5]

Например, спектр ${ displaystyle SU (2)}$ Модель WZW на уровне ${ Displaystyle к в mathbb {N}}$ является

${ displaystyle { mathcal {S}} _ {k} = bigoplus _ {j = 0, { frac {1} {2}}, 1, dots, { frac {k} {2}}} { mathcal {R}} _ {j} otimes { bar { mathcal {R}}} _ {j} ,}$

где ${ Displaystyle { mathcal {R}} _ {j}}$ - аффинное представление спина со старшим весом ${ displaystyle j}$: представление, порожденное состоянием ${ displaystyle | v rangle}$ такой, что

${ Displaystyle J_ {п <0} ^ {a} | v rangle = J_ {0} ^ {-} | v rangle = 0 ,}$

где ${ displaystyle J ^ {-}}$ ток, который соответствует генератору ${ Displaystyle т ^ {-}}$ алгебры Ли ${ displaystyle SU (2)}$.

Модели WZW с другими типами групп

Если группа ${ displaystyle G}$ компактна, но не односвязна, модель WZW рациональна, но не обязательно диагональна. Например, ${ Displaystyle SO (3)}$ Модель WZW существует для четных целочисленных уровней ${ Displaystyle к ин 2 mathbb {N}}$, а его спектр представляет собой недиагональную комбинацию конечного числа интегрируемых представлений старшего веса.^[5]

Если группа ${ displaystyle G}$ не компактна, модель WZW нерациональна. Более того, его спектр может включать в себя представления не самого высокого веса. Например, спектр ${ Displaystyle SL (2, mathbb {R})}$ Модель WZW построена на основе представлений старшего веса и их образов при автоморфизмах спектрального потока аффинной алгебры Ли.^[6]

Если ${ displaystyle G}$ это супергруппа, спектр может включать представления, не факторизуемые как тензорные произведения представлений лево- и правовращающихся алгебр симметрий. Это происходит, например, в случае ${ Displaystyle G = GL (1 | 1)}$,^[9]а также в более сложных супергруппах, таких как ${ displaystyle G = PSU (1,1 | 2)}$.^[10]Нефакторизуемые представления ответственны за то, что соответствующие модели WZW логарифмические конформные теории поля.

Другие теории, основанные на аффинных алгебрах Ли

Известные конформные теории поля, основанные на аффинных алгебрах Ли, не ограничиваются WZW-моделями. Например, в случае аффинной алгебры Ли ${ displaystyle SU (2)}$ Модель WZW, модульные инвариантные статистические суммы тора подчиняются классификации ADE, где ${ displaystyle SU (2)}$ Модель WZW относится только к серии A.^[11] Серия D соответствует ${ Displaystyle SO (3)}$ Модель WZW, а серия E не соответствует ни одной модели WZW.

Другой пример - ${ displaystyle H_ {3} ^ {+}}$ модель. Эта модель основана на той же алгебре симметрии, что и ${ Displaystyle SL (2, mathbb {R})}$ Модель WZW, с которой связана вращением Вика. Однако ${ displaystyle H_ {3} ^ {+}}$ строго говоря, не является моделью WZW, так как ${ Displaystyle Н_ {3} ^ {+} = SL (2, mathbb {C}) / SU (2)}$ не группа, а смежный класс.^[12]

Поля и корреляционные функции

Поля

Учитывая простой представление ${ displaystyle rho}$ алгебры Ли ${ displaystyle G}$, аффинное первичное поле ${ Displaystyle Phi ^ { rho} (г)}$ это поле, которое принимает значения в пространстве представления ${ displaystyle rho}$, так что

${ Displaystyle J ^ {a} (y) Phi ^ { rho} (z) = - { frac { rho (t ^ {a}) Phi ^ { rho} (z)} {yz} } + O (1) .}$

Аффинное первичное поле также является основное поле для алгебры Вирасоро, полученной в результате конструкции Сугавары. Конформная размерность аффинного примарного поля дается в терминах квадратичной функции Казимира ${ Displaystyle C_ {2} ( rho)}$ представительства ${ displaystyle rho}$ (т.е. собственное значение квадратичной Элемент Казимира ${ displaystyle K_ {ab} t ^ {a} t ^ {b}}$ где ${ displaystyle K_ {ab}}$ является обратной матрицей ${ Displaystyle { mathcal {K}} (т ^ {а}, т ^ {Ь})}$ формы убийства)

${ Displaystyle Delta _ { rho} = { frac {C_ {2} ( rho)} {2 (k + h ^ { vee})}} .}$

Например, в ${ displaystyle SU (2)}$ Модель WZW, конформная размерность первичного поля вращение ${ displaystyle j}$ является

${ displaystyle Delta _ {j} = { frac {j (j + 1)} {k + 2}} .}$

По соответствию поля состояния аффинные первичные поля соответствуют аффинные первичные состояния, которые являются состояниями наивысшего веса представления наивысшего веса аффинной алгебры Ли.

Корреляционные функции

Если группа ${ displaystyle G}$ компактна, спектр модели WZW состоит из представлений с наибольшим весом, и все корреляционные функции могут быть выведены из корреляционных функций аффинных первичных полей с помощью Идентификаторы прихода.

Если риманова поверхность ${ displaystyle Sigma}$ - сфера Римана, корреляционные функции аффинных примарных полей подчиняются Уравнения Книжника-Замолодчикова. На римановых поверхностях высшего рода корреляционные функции подчиняются Уравнения Книжника-Замолодчикова-Бернара, которые содержат производные не только от положения полей, но и от модулей поверхности.^[13]

Измеренные модели WZW

Для подгруппы Ли ${ Displaystyle H подмножество G}$, то ${ displaystyle G / H}$ калиброванная модель WZW (или модель смежного класса) - нелинейная сигма-модель, целевым пространством которой является фактор ${ Displaystyle G / H}$ для сопряженное действие из ${ displaystyle H}$ на ${ displaystyle G}$. Эта калиброванная модель WZW является конформной теорией поля, алгебра симметрий которой является фактором двух аффинных алгебр Ли ${ displaystyle G}$ и ${ displaystyle H}$ Модели WZW, центральный заряд которых равен разности их центральных зарядов.

Приложения

Модель WZW, группа Ли которой универсальный чехол группы ${ Displaystyle mathrm {SL} (2, mathbb {R})}$ использовался Хуан Малдасена и Хироси Оогури описывать бозонный теория струн на трехмерном пространство анти-де Ситтера ${ displaystyle AdS_ {3}}$.^[6] Суперструны на ${ displaystyle AdS_ {3} times S ^ {3}}$ описываются моделью WZW на супергруппе ${ displaystyle PSU (1,1 | 2)}$, или его деформация, если включен флюс Рамона-Рамона.^[14][10]

Модели WZW и их деформации были предложены для описания перехода плато в целочисленную квантовый эффект холла.^[15]

В ${ Displaystyle SL (2, mathbb {R}) / U (1)}$ калиброванная модель WZW имеет интерпретацию в теория струн так как Виттен двумерная евклидова черная дыра.^[16]Эта же модель также описывает некоторые двумерные статистические системы при критичности, такие как критический антиферромагнитный Модель Поттса.^[17]

использованная литература