Хиральная модель - Chiral model

В ядерная физика, то хиральная модель, представлен Феза Гюрси в 1960 г. феноменологический модель, описывающая эффективное взаимодействие мезоны в хиральный предел (где массы кварки стремятся к нулю), но вообще без упоминания кварков. Это нелинейная сигма-модель с главное однородное пространство из Группа Ли SU (N) как его целевой коллектор, куда N это количество кварков ароматы. В Риманова метрика целевого многообразия задается положительной константой, умноженной на Форма убийства действуя на Форма Маурера-Картана СУ (N).

внутренний глобальная симметрия этой модели - SU (N)_L × SU (N)_р, левая и правая копии соответственно; где левая копия действует как левое действие в целевом пространстве, а правая копия действует как правильное действие. Левая копия представляет вращения ароматов среди левых кварков, в то время как правая копия описывает вращения среди правых кварков, в то время как они, L и R, полностью независимы друг от друга. Осевые части этих симметрий равны самопроизвольно сломанный так что соответствующие скалярные поля являются необходимыми Бозоны Намбу-Голдстоуна.

Эта модель допускает топологические солитоны называется Скирмионы.

Отклонения от точной киральной симметрии рассматриваются в киральная теория возмущений.

Наброски оригинальной модели с двумя вкусами

Киральная модель Гюрси (1960; см. Также Гелл-Манна и Леви) теперь считается эффективной теорией QCD с двумя легкими кварками, ты, и d. Лагранжиан КХД приблизительно инвариантен относительно независимых глобальных флейворовых вращений левого и правого кварковых полей,

{ displaystyle { begin {cases} q_ {L} mapsto q_ {L} '= Lq_ {L} = exp { left (-i { boldsymbol { theta}} _ {L} cdot { tfrac { boldsymbol { tau}} {2}} right)} q_ {L} q_ {R} mapsto q_ {R} '= Rq_ {R} = exp { left (-i { boldsymbol { theta}} _ {R} cdot { tfrac { boldsymbol { tau}} {2}} right)} q_ {R} end {cases}}}

куда τ обозначим матрицы Паули в пространстве ароматов и θ_L, θ_р - соответствующие углы поворота.

Соответствующая группа симметрии ${ displaystyle { text {SU}} (2) _ {L} times { text {SU}} (2) _ {R}}$ это хиральная группа, контролируемая шестью консервативными токами

{ Displaystyle L _ { mu} ^ {i} = { bar {q}} _ {L} gamma _ { mu} { tfrac { tau ^ {i}} {2}} q_ {L} , qquad R _ { mu} ^ {i} = { bar {q}} _ {R} gamma _ { mu} { tfrac { tau ^ {i}} {2}} q_ {R} ,}

которые одинаково хорошо выражаются через векторные и аксиально-векторные токи

{ Displaystyle V _ { mu} ^ {i} = L _ { mu} ^ {i} + R _ { mu} ^ {i}, qquad A _ { mu} ^ {i} = R _ { mu} ^ {i} -L _ { mu} ^ {i}.}

Соответствующие сохраняющиеся заряды порождают алгебру киральной группы,

{ displaystyle left [Q_ {I} ^ {i}, Q_ {I} ^ {j} right] = i epsilon ^ {ijk} Q_ {I} ^ {k} qquad qquad left [Q_ {L} ^ {i}, Q_ {R} ^ {j} right] = 0,}

с I = L, R, или, что то же самое,

{ displaystyle left [Q_ {V} ^ {i}, Q_ {V} ^ {j} right] = i epsilon ^ {ijk} Q_ {V} ^ {k}, qquad left [Q_ { A} ^ {i}, Q_ {A} ^ {j} right] = i epsilon ^ {ijk} Q_ {V} ^ {k}, qquad left [Q_ {V} ^ {i}, Q_ {A} ^ {j} right] = i epsilon ^ {ijk} Q_ {A} ^ {k}.}

Применение этих коммутационных соотношений к адронным реакциям было преобладающим. текущая алгебра расчеты в начале семидесятых годов прошлого века.

На уровне адронов, псевдоскалярных мезонов, в рамках киральной модели, киральной ${ displaystyle { text {SU}} (2) _ {L} times { text {SU}} (2) _ {R}}$ группа самопроизвольно сломанный вплоть до ${ displaystyle { text {SU}} (2) _ {V}}$ , посредством КХД вакуум. То есть реализовано нелинейно, в Режим Намбу-Голдстоуна: The Q_V уничтожить вакуум, но Q_А не! Это хорошо визуализируется с помощью геометрического аргумента, основанного на том факте, что алгебра Ли ${ displaystyle { text {SU}} (2) _ {L} times { text {SU}} (2) _ {R}}$ изоморфна SO (4). Непрерывная подгруппа, реализованная в линейном режиме Вигнера-Вейля, есть ${ displaystyle { text {SO}} (3) subset { text {SO}} (4)}$ который локально изоморфен SU (2) (V: изоспин).

Чтобы построить нелинейная реализация СО (4) - представление, описывающее четырехмерные вращения вектора

{ displaystyle { begin {pmatrix} { boldsymbol { pi}} sigma end {pmatrix}} Equiv { begin {pmatrix} pi _ {1} pi _ {2} pi _ {3} sigma end {pmatrix}},}

для бесконечно малого вращения, параметризованного шестью углами

{ displaystyle left { theta _ {i} ^ {V, A} right }, qquad i = 1,2,3,}

дан кем-то

{ displaystyle { begin {pmatrix} { boldsymbol { pi}} sigma end {pmatrix}} { stackrel {SO (4)} { longrightarrow}} { begin {pmatrix} {{ boldsymbol { pi}} '} sigma' end {pmatrix}} = left [ mathbf {1} _ {4} + sum _ {i = 1} ^ {3} theta _ {i } ^ {V} V_ {i} + sum _ {i = 1} ^ {3} theta _ {i} ^ {A} A_ {i} right] { begin {pmatrix} { boldsymbol { pi}} сигма конец {pmatrix}}}

куда

{ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {3} theta _ {i} ^ {V} V_ {i} = { begin {pmatrix} 0 & - theta _ {3} ^ {V} & theta _ {2} ^ {V} & 0 theta _ {3} ^ {V} & 0 & - theta _ {1} ^ {V} & 0 - theta _ {2} ^ {V} & theta _ {1} ^ {V} & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end {pmatrix}} qquad qquad sum _ {i = 1} ^ {3} theta _ {i} ^ {A} A_ {i} = { begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 & theta _ {1} ^ {A} 0 & 0 & 0 & theta _ {2} ^ {A} 0 & 0 & 0 & theta _ {3} ^ {A} - theta _ { 1} ^ {A} & - theta _ {2} ^ {A} & - theta _ {3} ^ {A} & 0 end {pmatrix}}.}

Четыре реальных количества $(π, σ)$ определяют наименьший нетривиальный киральный мультиплет и представляют содержимое поля линейной сигма-модели.

Чтобы перейти от линейной реализации SO (4) к нелинейной, заметим, что на самом деле только три из четырех компонентов $(π, σ)$ независимы относительно четырехмерных вращений. Эти три независимых компонента соответствуют координатам на гиперсфере. S³, куда $π$ и $σ$ подвержены ограничению

{ displaystyle { boldsymbol { pi}} ^ {2} + sigma ^ {2} = F ^ {2},}

с F а (распад пиона ) постоянная размерной массы.

Используя это для устранения $σ$ дает следующие свойства преобразования $π$ при SO (4),

{ displaystyle { begin {cases} theta ^ {V}: { boldsymbol { pi}} mapsto { boldsymbol { pi}} '= { boldsymbol { pi}} + { boldsymbol { theta}} ^ {V} times { boldsymbol { pi}} theta ^ {A}: { boldsymbol { pi}} mapsto { boldsymbol { pi}} '= { boldsymbol { pi}} + { boldsymbol { theta}} ^ {A} { sqrt {F ^ {2} - { boldsymbol { pi}} ^ {2}}} end {cases}} qquad { boldsymbol { theta}} ^ {V, A} Equiv left { theta _ {i} ^ {V, A} right }, qquad i = 1,2,3.}

Нелинейные члены (сдвигающие $π$ ) в правой части второго уравнения лежат в основе нелинейной реализации SO (4). Хиральная группа ${ displaystyle { text {SU}} (2) _ {L} times { text {SU}} (2) _ {R} simeq { text {SO}} (4)}$ реализуется нелинейно на триплете пионов, которые, однако, по-прежнему линейно преобразуются под действием изоспина ${ displaystyle { text {SU}} (2) _ {V} simeq { text {SO}} (3)}$ вращения параметризованы через углы ${ displaystyle {{ boldsymbol { theta}} _ {V} }.}$ Напротив, ${ displaystyle {{ boldsymbol { theta}} _ {A} }}$ представляют собой нелинейные «сдвиги» (самопроизвольные обрывы).

Сквозь спинорная карта, эти четырехмерные вращения $(π, σ)$ также может быть удобно записано с использованием матричной записи 2 × 2 путем введения унитарной матрицы

{ displaystyle U = { frac {1} {F}} left ( sigma mathbf {1} _ {2} + i { boldsymbol { pi}} cdot { boldsymbol { tau}} верно),}

и требуя трансформационных свойств U при киральных вращениях быть

{ displaystyle U longrightarrow U '= LUR ^ { dagger},}

куда ${ displaystyle theta _ {L} = theta _ {V} - theta _ {A}, theta _ {R} = theta _ {V} + theta _ {A}.}$

Далее следует переход к нелинейной реализации:

{ displaystyle U = { frac {1} {F}} left ({ sqrt {F ^ {2} - { boldsymbol { pi}} ^ {2}}} mathbf {1} _ {2 } + i { boldsymbol { pi}} cdot { boldsymbol { tau}} right), qquad { mathcal {L}} _ { pi} ^ {(2)} = { frac { F ^ {2}} {4}} langle partial _ { mu} U partial ^ { mu} U ^ { dagger} rangle,}

куда ${ Displaystyle langle ldots rangle}$ обозначает след в пространстве ароматов. Это нелинейная сигма-модель.

Условия, включающие ${ displaystyle textstyle partial _ { mu} partial ^ { mu} U}$ или же ${ displaystyle textstyle partial _ { mu} partial ^ { mu} U ^ { dagger}}$ не являются независимыми и могут быть приведены к этой форме путем частичной интеграции. Постоянная F²/ 4 выбирается таким образом, чтобы лагранжиан соответствовал обычному свободному члену для безмассовых скалярных полей, записанному в терминах пионов,

{ displaystyle { mathcal {L}} _ { pi} ^ {(2)} = { frac {1} {2}} partial _ { mu} { boldsymbol { pi}} cdot partial ^ { mu} { boldsymbol { pi}} + { frac {1} {2F ^ {2}}} left ( partial _ { mu} { boldsymbol { pi}} cdot { boldsymbol { pi}} right) ^ {2} + { mathcal {O}} ( pi ^ {6}).}

Альтернативная параметризация

Альтернативная, эквивалентная (Gürsey, 1960) параметризация

{ displaystyle { boldsymbol { pi}} mapsto { boldsymbol { pi}} ~ { frac { sin (| pi / F |)} {| pi / F |}},}

дает более простое выражение для U,

{ displaystyle U = mathbf {1} cos | pi / F | + i { widehat { pi}} cdot { boldsymbol { tau}} sin | pi / F | = e ^ { i ~ { boldsymbol { tau}} cdot { boldsymbol { pi}} / F}.}

Обратите внимание на измененные параметры $π$ преобразовать под

{ displaystyle LUR ^ { dagger} = exp (я { boldsymbol { theta}} _ {A} cdot { boldsymbol { tau}} / 2-я { boldsymbol { theta}} _ { V} cdot { boldsymbol { tau}} / 2) exp (i { boldsymbol { pi}} cdot { boldsymbol { tau}} / F) exp (i { boldsymbol { theta }} _ {A} cdot { boldsymbol { tau}} / 2 + i { boldsymbol { theta}} _ {V} cdot { boldsymbol { tau}} / 2)}

Итак, тогда, явно идентично описанному выше при извращениях, $V$ ; и аналогично предыдущему, поскольку

{ displaystyle { boldsymbol { pi}} longrightarrow { boldsymbol { pi}} + { boldsymbol { theta}} _ {A} F + cdots = { boldsymbol { pi}} + { boldsymbol { theta}} _ {A} F (| pi / F | cot | pi / F |)}

при нарушенных симметриях, $А$ , сдвиги. Это более простое выражение легко обобщается (Cronin, 1967) на $N$ легкие кварки, поэтому ${ displaystyle textstyle { text {SU}} (N) _ {L} times { text {SU}} (N) _ {R} / { text {SU}} (N) _ {V} .}$

Хиральная модель - Chiral model

Наброски оригинальной модели с двумя вкусами

Альтернативная параметризация

Рекомендации