Роджерс-Рамануджан идентичности - Rogers–Ramanujan identities

В математика, то Роджерс-Рамануджан идентичности две идентичности, связанные с базовый гипергеометрический ряд и целые разделы. Тождества были впервые обнаружены и доказаны Леонард Джеймс Роджерс (1894 ), а впоследствии были переоткрыты (без доказательства) Шриниваса Рамануджан незадолго до 1913 года. У Рамануджана не было доказательств, но он заново открыл статью Роджерса в 1917 году, а затем они опубликовали совместное новое доказательство (Роджерс и Рамануджан 1919 ). Иссай Шур (1917 ) независимо переоткрыли и доказали тождества.

Определение

Идентичность Роджерса-Рамануджана

{ displaystyle G (q) = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {q ^ {n ^ {2}}} {(q; q) _ {n}}} = { гидроразрыв {1} {(q; q ^ {5}) _ { infty} (q ^ {4}; q ^ {5}) _ { infty}}} = 1 + q + q ^ {2} + q ^ {3} + 2q ^ {4} + 2q ^ {5} + 3q ^ {6} + cdots}

(последовательность A003114 в OEIS )

и

{ displaystyle H (q) = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {q ^ {n ^ {2} + n}} {(q; q) _ {n}}} = { frac {1} {(q ^ {2}; q ^ {5}) _ { infty} (q ^ {3}; q ^ {5}) _ { infty}}} = 1 + q ^ {2} + q ^ {3} + q ^ {4} + q ^ {5} + 2q ^ {6} + cdots}

(последовательность A003106 в OEIS ).

Вот, ${ Displaystyle ( cdot; cdot) _ {п}}$ обозначает символ q-Pochhammer.

Комбинаторная интерпретация

Обратите внимание на следующее:

${ displaystyle { frac {q ^ {n ^ {2}}} {(q; q) _ {n}}}}$ это производящая функция для перегородок ровно ${ displaystyle n}$ такие детали, что соседние части имеют разницу не менее 2.
${ displaystyle { frac {1} {(q; q ^ {5}) _ { infty} (q ^ {4}; q ^ {5}) _ { infty}}}}$ это производящая функция для таких перегородок, что каждая часть конгруэнтный на 1 или 4 по модулю 5.
${ displaystyle { frac {q ^ {n ^ {2} + n}} {(q; q) _ {n}}}}$ это производящая функция для перегородок ровно ${ displaystyle n}$ такие части, что соседние части имеют разницу не менее 2, а наименьшая часть - не менее 2.
${ displaystyle { frac {1} {(q ^ {2}; q ^ {5}) _ { infty} (q ^ {3}; q ^ {5}) _ { infty}}}}$ это производящая функция для таких разделов, что каждая часть конгруэнтный на 2 или 3 по модулю 5.

Идентичность Роджерса-Рамануджана теперь можно интерпретировать следующим образом. Позволять ${ displaystyle n}$ быть неотрицательным целым числом.

Количество разделов ${ displaystyle n}$ такое, что соседние части отличаются как минимум на 2, равно количеству разделов ${ displaystyle n}$ такая, что каждая часть конгруэнтна 1 или 4 по модулю 5.
Количество разделов ${ displaystyle n}$ такие, что соседние части различаются не менее чем на 2, а наименьшая часть не менее 2 совпадает с количеством разделов ${ displaystyle n}$ такие, что каждая часть конгруэнтна 2 или 3 по модулю 5.

В качестве альтернативы,

Количество разделов ${ displaystyle n}$ так что с ${ displaystyle k}$ части самая маленькая часть не менее ${ displaystyle k}$ равно количеству разделов ${ displaystyle n}$ такие, что каждая часть конгруэнтна 1 или 4 по модулю 5.
Количество разделов ${ displaystyle n}$ так что с ${ displaystyle k}$ частей самая маленькая часть не менее ${ displaystyle k + 1}$ равно количеству разделов ${ displaystyle n}$ такие, что каждая часть конгруэнтна 2 или 3 по модулю 5.

Модульные функции

Если q = e^2πiτ, тогда q^−1/60г(q) и q^11/60ЧАС(q) находятся модульные функции т.

Приложения

Тождества Роджерса-Рамануджана появились в решении Бакстера модель жесткого шестиугольника в статистической механике.

Непрерывная дробь Рамануджана является

{ displaystyle 1 + { frac {q} {1 + { frac {q ^ {2}} {1 + { frac {q ^ {3}} {1+ cdots}}}}}} = { frac {G (q)} {H (q)}}.}

Связь с аффинными алгебрами Ли и алгебрами вершинных операторов

Джеймс Леповски и Роберт Ли Уилсон были первыми, кто доказал тождество Роджерса – Рамануджана, полностью используя теоретико-представительный техники. Они доказали эти тождества, используя модули уровня 3 для аффинной алгебры Ли ${ displaystyle { widehat {{ mathfrak {sl}} _ {2}}}}$ . В ходе этого доказательства они изобрели и использовали то, что они назвали ${ displaystyle Z}$ -алгебры. Подход Леповски и Вильсона универсален в том смысле, что он способен лечить все аффинные алгебры Ли на всех уровнях. Его можно использовать для поиска (и подтверждения) идентичности новых разделов. Первый такой пример - личность Каппарелли, открытая Стефано Каппарелли используя модули уровня 3 для аффинной алгебры Ли ${ displaystyle A_ {2} ^ {(2)}}$ .

Смотрите также

Полиномы Роджерса

использованная литература

Роджерс, Л. Дж .; Рамануджан, Шриниваса (1919), «Доказательство некоторых тождеств в комбинаторном анализе», Cambr. Фил. Soc. Proc., 19: 211–216, Перепечатано как Бумага 26 в сборнике статей Рамануджана.
Роджерс, Л. Дж. (1892 г.), «О расширении некоторых бесконечных продуктов», Proc. Лондонская математика. Soc., 24 (1): 337–352, Дои:10.1112 / плмс / с1-24.1.337, JFM 25.0432.01
Роджерс, Л. Дж. (1893 г.), «Второй мемуар о расширении некоторых бесконечных продуктов», Proc. Лондонская математика. Soc., 25 (1): 318–343, Дои:10.1112 / плмс / с1-25.1.318
Роджерс, Л. Дж. (1894 г.), «Третий мемуар о расширении некоторых бесконечных продуктов», Proc. Лондонская математика. Soc., 26 (1): 15–32, Дои:10.1112 / плмс / с1-26.1.15
Шур, Иссай (1917), "Ein Beitrag zur addn Zahlentheorie und zur Theorie der Kettenbrüche", Sitzungsberichte der Berliner Akademie: 302–321
W.N. Бейли, Обобщенный гипергеометрический ряд(1935) Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, № 32, Cambridge University Press, Кембридж.
Джордж Гаспер и Мизан Рахман, Базовая гипергеометрическая серия, 2-е издание, (2004), Энциклопедия математики и ее приложений, 96, Cambridge University Press, Кембридж. ISBN 0-521-83357-4.
Брюс С. Берндт, Хенг Хуат Чан, Сен-Шань Хуанг, Сун-И Кан, Джебом Сон, Сын Хван Сон, Непрерывная дробь Роджерса-Рамануджана, J. Comput. Appl. Математика. 105 (1999), стр. 9–24.
Cilanne Boulet, Игорь Пак, Комбинаторное доказательство тождеств Роджерса-Рамануджана и Шура, Журнал комбинаторной теории, сер. А, т. 113 (2006), 1019–1030.
Слейтер, Л. Дж. (1952), "Дальнейшие тождества типа Роджерса-Рамануджана", Труды Лондонского математического общества, Серия 2, 54 (2): 147–167, Дои:10.1112 / плмс / с2-54.2.147, ISSN 0024-6115, Г-Н 0049225
Джеймс Леповски и Роберт Л. Уилсон, Построение аффинной алгебры Ли ${ displaystyle A_ {1} ^ {(1)}}$ , Comm. Математика. Phys. 62 (1978) 43-53.
Джеймс Леповски и Роберт Л. Уилсон, Новое семейство алгебр, лежащих в основе тождеств Роджерса-Рамануджана, Proc. Natl. Акад. Sci. Соединенные Штаты Америки 78 (1981), 7254-7258.
Джеймс Леповски и Роберт Л. Уилсон, Структура стандартных модулей, I: универсальные алгебры и тождества Роджерса-Рамануджана, Изобрет. Математика. 77 (1984), 199-290.
Джеймс Леповски и Роберт Л. Уилсон, Состав стандартных модулей, II: Корпус ${ displaystyle A_ {1} ^ {(1)}}$ , основная градация, Изобрет. Математика. 79 (1985), 417-442.
Стефано Каппарелли, Вершинные операторные соотношения для аффинных алгебр и комбинаторных тождеств, Докторская диссертация - Рутгерский университет штата Нью-Джерси - Нью-Брансуик. 1988. 107 с.